几类不同增长的函数模型liushihonmg.ppt
：3.2.1几类不同增几类不同增 长的函数模型长的函数模型一般思路可表示如下：一般思路可表示如下：解决应用题的一般程序是：解决应用题的一般程序是：审审题题：弄弄清清题题意意，分分清清条条件件和和结结论论，理理顺数量关系；顺数量关系；建建模模：将将文文字字语语言言转转化化为为数数学学语语言言，利利用数学知识，建立相应的数学模型；用数学知识，建立相应的数学模型；解模：求解数学模型，得出数学结论；解模：求解数学模型，得出数学结论；还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义还原为实际问题的意义 例例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报方案一：每天回报40元；元；方案二：第一天回报方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多元，以后每天比前一天多回报回报10元；元；方案三：第一天回报方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比元，以后每天的回报比前一天翻一番前一天翻一番 请问，你会选择哪种投资方案？请问，你会选择哪种投资方案？题目中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些题目中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？数量关系？解：设第解：设第x天所得回报是天所得回报是y元，则元，则方案一：方案一：方案二：方案二：方案三：方案三：例题讲解例题讲解我们来计算三种方案所得回报的增长情况：我们来计算三种方案所得回报的增长情况：x/天天方案一方案一y=40方案二方案二y=10 x方案三方案三y=0.42x-1y/元元y/元元y/元元增加量增加量增加量增加量增加量增加量1234040400010203010100.40.81.60.4 0.804567830 4040404040400000040506070803001010101010103.26.412.825.651.2 214748364.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6107374182.4从从表格中获取信息，体会表格中获取信息，体会三种函数的增长差异三种函数的增长差异。底数为底数为2 的指数函数模的指数函数模型比线性函数型比线性函数模型增长速度模型增长速度要快得多从要快得多从中你对中你对“指数指数爆炸爆炸”的函义的函义有什么新的理有什么新的理解？解？你能通过图象描述一下三种你能通过图象描述一下三种方案的特点吗？方案的特点吗？下面再看累计的回报数：下面再看累计的回报数：结论结论：投资投资16天天,应选择方案一应选择方案一;投资投资7天，应选择方案一或方案二；投资天，应选择方案一或方案二；投资8 10天，应选择方案二；投资天，应选择方案二；投资11天天(含含11天天)以上，应选择方案三。以上，应选择方案三。天天数数回报回报/元元方案方案一一二二三三401 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1180 120 160 200 240 280 320 360 400 440 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 6600.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8 例例2 某公司为了实现某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万万元时，按销售利润进行奖励，且奖金元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随（单位：万元）随销售利润销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过超过5万元，同时奖金不超过利润的万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖。现有三个奖励模型：励模型：其中哪个模型能符合公司的要求？其中哪个模型能符合公司的要求？题目中涉及了哪几类函数模型？本例的实质是什题目中涉及了哪几类函数模型？本例的实质是什么？么？线性函数、对数函数、指数函数线性函数、对数函数、指数函数对比三种函数的增长差异对比三种函数的增长差异例题讲解例题讲解y0.25X 一次函数一次函数 对数函数对数函数 指数函数指数函数 模型限制条件：模型限制条件：1.奖金总数不超过奖金总数不超过5万元万元2.奖金不超过利润的奖金不超过利润的25%我们不妨先作出函数图象：我们不妨先作出函数图象：通过观察函数图象通过观察函数图象得到初步结论：按得到初步结论：按对数模型进行奖励对数模型进行奖励时符合公司的要求。时符合公司的要求。400600800 1000 1200200 1 2 3 45678xyo对数增长模型比对数增长模型比较适合于描述增较适合于描述增长速度平缓的变长速度平缓的变化规律。化规律。y=5y=0.25x下面列表计算确认上述判断：下面列表计算确认上述判断：y2.51.02 2.1851.04 2.544.954.445.044.4424.55模型模型奖金奖金/万元万元利润利润10208008101000y0.25X我们来看函数我们来看函数 的图象的图象:7综上所述综上所述:模型模型 确实符合公司要求确实符合公司要求.1log+=xy问题问题:当当 时时,奖金是否不超过利润的奖金是否不超过利润的25%呢呢?xo10比较函数比较函数的增长快慢的增长快慢.8642-22468xyO你能分别求出使你能分别求出使成立的成立的x的取值的取值范围吗？范围吗？例例3 3 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示：的关系如图所示：（1 1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；的实际含义；（2 2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为程前的读数为2004 km2004 km，试建立汽车行驶这段路试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数程时汽车里程表读数s kms km与时间与时间t ht h的函数解析的函数解析式，并作出相应的图象式，并作出相应的图象908070605040302010vt12345解解(1)(1)阴影部分的面积为阴影部分的面积为阴影部分的面积表示汽车在这阴影部分的面积表示汽车在这5 5小时小时内行驶的路程为内行驶的路程为360km360km (2)(2)根据图形可得根据图形可得：这个函数的图像如下图所示：这个函数的图像如下图所示：例例4，一家报刊推销员从报社买进报纸一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份的价格是每份0.20元，卖出的价格是每元，卖出的价格是每份份0.30元，卖不完的还可以以每份元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社在一个月（以元的价格退回报社在一个月（以30天天计算）有计算）有20天每天可卖出天每天可卖出400份，其余份，其余10天只能卖天只能卖250份，但每天从报社买进份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？计算每月最多能赚多少钱？解析：本题所给条件较多，数量关系比较复解析：本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析：杂，可以列表分析：y在在x 250，400上是一次函数上是一次函数 数量(份)价格(元)金额(元)买进30 x0.206x卖出20 x+10*2500.306x+750退回10(x-250)0.080.8x-200则每月获利润则每月获利润y（6x750）（）（0.8x200）6x0.8x550（250 x400）x400份份时，时，y取得最大值取得最大值870元元 答：每天从报社买进答：每天从报社买进400份时，每月获的利润最大，最大利润份时，每月获的利润最大，最大利润为为870元元 例例2一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格元，卖出的价格是每份是每份0.30元，卖不完的还可以以每份元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社在一个月元的价格退回报社在一个月（以（以30天计算）有天计算）有20天每天可卖出天每天可卖出400份，其余份，其余10天只能卖天只能卖250份，但每份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？例例52.某桶装水经营部每天的房租、人员工某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为资等固定成本为200元，每桶水的进价元，每桶水的进价是是5元元.销售单价与日均销售量的关系如销售单价与日均销售量的关系如下表所示：下表所示：销售单价销售单价/元元6789101112日均销售日均销售量量/桶桶480 440 400 360320280240请据以上数据作出分析，这个经营部怎请据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？样定价才能获得最大利润？解：设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元。而此时，日均销售量为480-40（x-1）=520-40 x又因为x0,且520-40 x0,所以0 x13结合函数的图象，容易知道当x=6.5时，y有最大值所以，当单价定为6.5+5=11.5(元)时,就可以获得最大利润.6.5130 xy例6 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表:身高/cm60708090100110120130140150160170体重/kg6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05分析:根据表格的数据画出散点图.(1)根据表格提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系?试写出这个函数模型的解析式.(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175cm,体重为78kg的在校男生的体重是否正常?xy0观察发现,这些点的连线是一条向上弯曲的曲线.根据这些点的分布情况,可考虑用 这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重y与身高x的函数关系.例6 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表:身高/cm60708090100110120130140150160170体重/kg6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)根据表格提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系?试写出这个函数模型的解析式.解:(1)以身高为横坐标,体重为纵坐标,画出散点图.根据点的分布特征可考虑用 这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重与身高的函数模型.这样我们就得到一个函数模型:将已知数据代入上述函数解析式,或作出上述函数的图象,可发现这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.例例6 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表:身高/cm60708090100110120130140150160170体重/kg6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖倍为偏胖,低低于于0.8倍为偏瘦倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为那么这个地区一名身高为175cm,体重为体重为78kg的在校男生的体重是否正常的在校男生的体重是否正常?所以,这个男生偏胖.
