高数第十二章微分方程.ppt

高数第十二章微分方程1现在学习的是第1页，共27页第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 微分方程及微分方程的阶微分方程及微分方程的阶 微分方程的解微分方程的解 通解与特解通解与特解 初值问题初值问题2现在学习的是第2页，共27页解解一、问题的提出一、问题的提出3现在学习的是第3页，共27页解解4现在学习的是第4页，共27页代入条件后知代入条件后知故故开始制动到列车完全停住共需开始制动到列车完全停住共需5现在学习的是第5页，共27页定义：定义：表示未知函数、表示未知函数、未知函数的导数未知函数的导数与自变量之间的与自变量之间的关系的方程叫做关系的方程叫做微分方程微分方程.例例二、微分方程的定义二、微分方程的定义6现在学习的是第6页，共27页微分方程的阶微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数高阶导数的阶数.一阶微分方程一阶微分方程微分方程组微分方程组高阶高阶(n)微分方程微分方程(n 阶显式微分方程)7现在学习的是第7页，共27页微分方程的解微分方程的解:三、微分方程的解三、微分方程的解 通解与特解通解与特解8现在学习的是第8页，共27页通解通解:微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数,且任意常数且任意常数 的个数与微分方程的阶数相同的个数与微分方程的阶数相同.特解特解:确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解.微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线:微分方程的解的图形微分方程的解的图形.通解的图形叫积分曲线族通解的图形叫积分曲线族.9现在学习的是第9页，共27页三、初值问题三、初值问题利用初始条件利用初始条件,可用来确定通解中的任意常数可用来确定通解中的任意常数.初值问题初值问题:求微分方程的满足初始条件的解的问题求微分方程的满足初始条件的解的问题.10现在学习的是第10页，共27页在例1中 通解:特解:初值问题：在例2中初值问题：通解:特解:11现在学习的是第11页，共27页二阶微分方程的初值问题二阶微分方程的初值问题:几何意义几何意义:求微分方程过定点求微分方程过定点 的积分曲线的积分曲线.几何意义几何意义:求过定点求过定点 且在定点的切线的斜且在定点的切线的斜 率为定值率为定值 的积分曲线的积分曲线.一阶微分方程的初值问题一阶微分方程的初值问题:12现在学习的是第12页，共27页解解13现在学习的是第13页，共27页所求特解为所求特解为14现在学习的是第14页，共27页求该曲线所满足的微分方程.2.已知曲线上点 P(x,y)处的法线与 x 轴交点为 Q解解:如图所示,令 Y=0,得 Q 点的横坐标即点 P(x,y)处的法线方程为且线段 PQ 被 y 轴平分,思考思考题15现在学习的是第15页，共27页第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 微分方程的隐式通解微分方程的隐式通解16现在学习的是第16页，共27页一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程17现在学习的是第17页，共27页二、微分方程的隐式通解二、微分方程的隐式通解18现在学习的是第18页，共27页19现在学习的是第19页，共27页20现在学习的是第20页，共27页解解分离变量分离变量两端积分两端积分21现在学习的是第21页，共27页22现在学习的是第22页，共27页23现在学习的是第23页，共27页解解由题设条件由题设条件衰变规律衰变规律24现在学习的是第24页，共27页 例例4 有高为有高为1米的半球形容器米的半球形容器,水从它的底部小孔流水从它的底部小孔流出出,小孔横截面积为小孔横截面积为1平方厘米平方厘米(如图如图).开始时容器内开始时容器内盛满了水盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高求水从小孔流出过程中容器里水面的高度度h(水面与孔口中心间的距离水面与孔口中心间的距离)随时间随时间t的变化规律的变化规律.解解由力学知识得由力学知识得,水从孔口流出水从孔口流出的流量为的流量为流量系数流量系数孔口截面面积孔口截面面积重力加速度重力加速度25现在学习的是第25页，共27页设在微小的时间间隔设在微小的时间间隔水面的高度由水面的高度由h降至降至 ,比较比较(1)和和(2)得得:26现在学习的是第26页，共27页即为未知函数即为未知函数h=h(t)应满足的微分方程应满足的微分方程.可分离可分离变量的变量的微分方程微分方程所求规律为所求规律为27现在学习的是第27页，共27页