高等数学之一阶线性微分方程.ppt

高等数学之一阶线性微分方程现在学习的是第1页，共23页一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法1.线性齐次方程线性齐次方程(使用分离变量法使用分离变量法)齐次方程的通解为齐次方程的通解为现在学习的是第2页，共23页2.线性非齐次方程线性非齐次方程讨论讨论两边积分两边积分非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比现在学习的是第3页，共23页常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质实质:未知函数的变量代换未知函数的变量代换.作变换作变换现在学习的是第4页，共23页积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解现在学习的是第5页，共23页非齐次线性方程的通解非齐次线性方程的通解相应齐方程的通解相应齐方程的通解等于等于与非齐次方程的一个特解之和与非齐次方程的一个特解之和即即非齐通解非齐通解 =齐通解齐通解 +非齐特解非齐特解线性微分方程线性微分方程解的结构解的结构，是很优良的性质。，是很优良的性质。例例1 1解解现在学习的是第6页，共23页解方程解方程解解相应齐方程相应齐方程解得解得令令例例2现在学习的是第7页，共23页代入非齐方程代入非齐方程解得解得故非齐次方程的通解为故非齐次方程的通解为现在学习的是第8页，共23页例例3解方程解方程解解这是一个二阶线性方程这是一个二阶线性方程由于其中不含变量由于其中不含变量 y 若令若令化成一阶线性方程化成一阶线性方程其通解为其通解为即即再积分再积分即为原二阶方程的通解即为原二阶方程的通解现在学习的是第9页，共23页例例4 4 如图所示，平行与如图所示，平行与 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积,求曲线求曲线 .解解两边求导得两边求导得解此微分方程解此微分方程现在学习的是第10页，共23页所求曲线为所求曲线为现在学习的是第11页，共23页一阶线性微分方程的通解也可写成一阶线性微分方程的通解也可写成方程方程令令即化为一阶线性微分方程即化为一阶线性微分方程注注现在学习的是第12页，共23页二、伯努利方程二、伯努利方程伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式方程为方程为线性微分方程线性微分方程.方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.解法解法:需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.现在学习的是第13页，共23页代入上式代入上式求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得现在学习的是第14页，共23页例例 5解解现在学习的是第15页，共23页例例6 6 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程:解解所求通解为所求通解为现在学习的是第16页，共23页解解分离变量法得分离变量法得所求通解为所求通解为现在学习的是第17页，共23页解解代入原式代入原式分离变量法得分离变量法得所求通解为所求通解为另解另解现在学习的是第18页，共23页 注注 利用变量代换将一个微分方程化为变量可分离利用变量代换将一个微分方程化为变量可分离的方程或化为已知其求解步骤的方程是求解微分方程的方程或化为已知其求解步骤的方程是求解微分方程的一种最常用的思想方法的一种最常用的思想方法如如 齐次型、可化为齐次型、一阶线性方程齐次型、可化为齐次型、一阶线性方程、Bernoulli 方程等方程等都是通过变量代换来求解方程的。都是通过变量代换来求解方程的。将将变换为变换为 也是经常可以考虑的也是经常可以考虑的现在学习的是第19页，共23页三、小结三、小结1.齐次方程齐次方程2.线性非齐次方程线性非齐次方程3.伯努利方程伯努利方程思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解.现在学习的是第20页，共23页思考题解答思考题解答现在学习的是第21页，共23页练练 习习 题题现在学习的是第22页，共23页现在学习的是第23页，共23页