重积分应用学习.pptx

利用二重积分可以计算空间立体的体积.例例1 1 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为第1页/共37页则所求体积为第2页/共37页被圆柱面所截得的解:设由对称性可知例2 求球体(含在柱面内的)立体的体积.第3页/共37页例3 3 求半径为R的球面:与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积.Rr=2R cos.Mrz 0 xy =第4页/共37页二、曲面的面积设曲面的方程为：如图，第5页/共37页曲面S的面积元素曲面面积公式为：第6页/共37页解解第7页/共37页例例 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,则所求体积为第8页/共37页例3、求 x2+y2=a2 与 x2+z2=a2 相截得立体的表面积 .解解例4、求球面x2+y2+z2=a2的表面积 .第9页/共37页设曲面的方程为：曲面面积公式为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得第10页/共37页三、质心(重心)1、平面薄片的质心(重心)设有一平面薄片，占有xOy面上的有界闭区域D，其面密度为 (x,y)，设 (x,y)在D上连续，则由得平面薄片的重心 为 .第11页/共37页当薄片是均匀的，质心称为形心(或中心中心).第12页/共37页解解因区域 D 关于 y 轴对称，故形心在 y 轴上，区域D的面积第13页/共37页回顾定积分公式为正偶数为大于1的正奇数第14页/共37页2、空间物体的重心第15页/共37页当物体是均匀的，重心称为形心形心.第16页/共37页第17页/共37页四、转动惯量1、平面薄片的转动惯量薄片对于 x 轴的转动惯量薄片对于 y 轴的转动惯量 设有一平面薄片，占有xOy面上的有界闭区域D，其面密度为 (x,y)，设 (x,y)在D上连续，则薄片对于原点的转动惯量第18页/共37页解解如图建立坐标系：对 y 轴的转动惯量为：同理：对 x 轴的转动惯量为：第19页/共37页解解第20页/共37页第21页/共37页2、空间物体的转动惯量对于 x 轴的转动惯量：对于 y 轴的转动惯量：对于 z 轴的转动惯量：第22页/共37页解解第23页/共37页第24页/共37页G为引力常数物体对点 处处单位质点的引力五、引力 1、空间物体对质点的引力第25页/共37页解解由积分区域的对称性知第26页/共37页解解由积分区域的对称性知第27页/共37页薄片对 轴上单位质点的引力G为引力常数 2、平面薄片对质点的引力第28页/共37页解解由积分区域的对称性知第29页/共37页所求引力为第30页/共37页几何应用：立体的体积、曲面的面积物理应用：质心、转动惯量、对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）六、小结第31页/共37页思考题思考题例3、求 x+y+z=1 被三坐标割线的第一卦限部分的面积 .第32页/共37页薄片关于 轴对称思考题解答思考题解答第33页/共37页练练 习习 题题第34页/共37页第35页/共37页练习题答案练习题答案第36页/共37页感谢您的观看！第37页/共37页