正余弦定理习题课.pptx
(2)a=2RsinA,b=2RsinB,;(3)sinA=sinB=,sinC=等形式,以解决不同的三角形问题.返回目录 1.正弦定理正弦定理:其中其中R是三角形外接圆的半径是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为由正弦定理可以变形为:a:b:c=sinA:sinB:sinC;(1)2R c=2RsinC 第1页/共38页返回目录 2.余弦定理余弦定理:a2=,b2=,c2=.余弦定余弦定理可以变形为理可以变形为:cosA=,cosB=,cosC=.3.S ABC=absinC=acsinB=(a+b+c)r（r是三角形内切圆的半径），并可由是三角形内切圆的半径），并可由此计算此计算R,r.b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosCbcsinA 第2页/共38页A A为锐角为锐角A A为钝角为钝角或直角或直角图图 形形关系式关系式a=bsinAa=bsinAbsinAabsinAabbab解的个数解的个数一解一解两角两角一解一解一解一解返回目录 解三角形的类型ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:第3页/共38页返回目录 7.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线夹角，目标视线在水平视线 叫仰叫仰角，目标视线在水平视线角，目标视线在水平视线 叫叫俯角（如图俯角（如图3-7-1中中).6.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.上方 下方 第4页/共38页 (2)方位角 指从 方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为（如图3-7-1).(3)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.返回目录 正北 第5页/共38页返回目录(1)在在ABC中中,a=,b=,B=45.求角求角A,C和边和边c;(2)在在ABC中中,a=8,B=60,C=75,求边求边b和和c.【分析分析分析分析】已知两边及一边对角或已知两角及一边已知两边及一边对角或已知两角及一边,可利用正弦定理解这个三角形可利用正弦定理解这个三角形,但要注意解的判断但要注意解的判断.考点一考点一 正弦定理的应用正弦定理的应用 第6页/共38页返回目录【解析解析解析解析】(1)由正弦定理由正弦定理 得得sinA=.ab,A=60或或A=120.当当A=60时时,C=180-45-60=75,c=.当当A=120时时,C=180-45-120=15,c=.由由知知,A=60,C=75,c=或或A=120,C=15,c=.第7页/共38页(2)B=60,C=75,A=45.由正弦定理 ,得b=a=4 ,c=a=4 +4.返回目录 第8页/共38页在在ABC中中,a,b,c分别是角分别是角A,B,C的对边的对边,且且 .(1)求求B的大小的大小;(2)若若b=,a+c=4,求求ABC的面积的面积.【分析分析分析分析】由由 ,利用利用余弦定理转化为边的关系求解余弦定理转化为边的关系求解.考点二考点二 余弦定理的应用余弦定理的应用 返回目录 第9页/共38页返回目录 【解析解析解析解析】(1)由余弦定理知由余弦定理知,cosB=,cosC=.将上式代入得将上式代入得 整理得整理得a2+c2-b2=-ac,cosB=B为三角形的内角，为三角形的内角，B=.第10页/共38页 (2)将b=,a+c=4,B=代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosB，b2=16-2ac(1-),ac=3.SABC=acsinB=.返回目录 第11页/共38页对应演练对应演练在在ABC中中,a,b,c为为A,B,C的对边的对边,B=,b=,a+c=4,求求a.由余弦定理由余弦定理b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2accos=a2+c2+ac=(a+c)2-ac,a+c=4,b=,ac=3,a+c=4 ac=3,返回目录 联立解得a=1或a=3.第12页/共38页返回目录 在在ABC中，角中，角A，B，C的对边分别为的对边分别为a,b,c,且且b2+c2-a2+bc=0.(1)求角求角A的大小的大小;(2)若若a=,求求bc的最大值的最大值;(3)求求 的值的值.考点三考点三 正、余弦定理的综合应正、余弦定理的综合应 用用 第13页/共38页返回目录 【解析解析解析解析】(1)cosA=又又A(0,180),A=120.(2)由由a=,得得b2+c2=3-bc,又又b2+c22bc（当且仅当（当且仅当c=b时取等号），时取等号），3-bc2bc(当且仅当当且仅当c=b时取等号）时取等号）.即当且仅当即当且仅当c=b=1时时,bc取得最大值为取得最大值为1.第14页/共38页(3)由正弦定理得 返回目录 第15页/共38页返回目录 对应演练对应演练已知已知ABC是半径为是半径为R的圆内接三角形的圆内接三角形,且且2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB.(1)求角求角C;(2)试求试求ABC面积面积S的最大值的最大值(1)由2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,两边同乘以2R,得(2RsinA)2-(2RsinC)2=(a-b)2RsinB,根据正弦定理,得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,a2-c2=(a-b)b,即a2+b2-c2=ab.第16页/共38页再由余弦定理再由余弦定理,得得cosC=,又又0C,C=.(2)C=,A+B=.S=absinC=(2RsinA)(2RsinB)=R2sinAsinB=-R2cos(A+B)-cos(A-B)=R2 +cos(A-B).0A,0B,-A-B,当且仅当当且仅当A-B=0,即即A=B=时时,sin(A-B)=1,S取到最取到最大值大值 R2.返回目录 第17页/共38页返回目录 已知方程已知方程x2-(bcosA)x+acosB=0的两根之积等于两根的两根之积等于两根之和，且之和，且a,b为为ABC的两边，的两边，A,B为两内角，试判定为两内角，试判定这个三角形的形状这个三角形的形状.考点四考点四 判断三角形的形状判断三角形的形状 【分析分析分析分析】先由已知条件得出三角形的边角关系先由已知条件得出三角形的边角关系.要要判定三角形的形状，只需将边角关系转化为边之间或判定三角形的形状，只需将边角关系转化为边之间或角之间的关系即可判定角之间的关系即可判定.第18页/共38页返回目录【解析解析解析解析】方法一方法一:设方程的两根为设方程的两根为x1,x2，由韦达定理知，由韦达定理知x1+x2=bcosA,x1x2=acosB.由题意有由题意有bcosA=acosB,根据余弦定理得根据余弦定理得b =a ,b2+c2-a2=a2+c2-b2,化简得化简得a=b,ABC为等腰三角形为等腰三角形.第19页/共38页方法二:同方法一得bcosA=acosB,由正弦定理得2RsinBcosA=2RsinAcosB,sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0.0A,0B，-A-B.A-B=0，即A=B.故ABC为等腰三角形.返回目录 第20页/共38页对应演练对应演练在在ABC中，中，sinA=，试判断，试判断ABC的的形状形状.返回目录 第21页/共38页解法一解法一：由条件：由条件,得得 0(否则否则A=),2sin2 =1,即即cosA=0.又又0A,A=,即即ABC为直角三角形为直角三角形.返回目录 第22页/共38页解法二:用正、余弦定理得a()=a+b.化简，得a2=b2+c2,故ABC为直角三角形.返回目录 第23页/共38页考点七考点七 解三角形解三角形 在ABC中，BC=a，AC=b，a,b是方程x2-2 x+2=0的两个根，且2cos(A+B)=1.求：（1）角C的度数；（2）AB的长；（3）ABC的面积.【分析分析】解三角形时要注意利用隐含条件A+B+C=,然后再利用正、余弦定理求之.返回目录 第24页/共38页 【解析解析】(1)由题意知cosC=cos-(A+B)=-cos(A+B)=-,C=120.(2)a,b是方程x2-2 x+2=0的两个根,a+b=2 ab=2.AB2=AC2+BC2-2ACBCcosC =b2+a2-2abcos120 =b2+a2+ab=(a+b)2-ab =(2 )2-2=10.AB=.返回目录 第25页/共38页(3)SABC=absinC=absin120=2 =.【评析评析】在ABC中已知两边a,b的关系，需再知一个条件，才能确定第三边.这样，需充分利用2cos(A+B)=1，并注意利用韦达定理、余弦定理及面积公式.返回目录 第26页/共38页再见第27页/共38页返回目录 某观测站在城某观测站在城A的南偏西的南偏西20的方向的方向,由城由城A出发的一条出发的一条公路公路,走向是南偏东走向是南偏东40,在在C处测得公路上处测得公路上B处有一人处有一人,距距C为为31千米千米,正沿公路向正沿公路向A城走去城走去,走了走了20千米后到达千米后到达D处处,此时此时CD间的距离为间的距离为21千米千米,问问:这人还要走多少千米才这人还要走多少千米才能到达能到达A城城?【分析分析分析分析】正确画出图形正确画出图形,综合运用正弦定理与余弦定理综合运用正弦定理与余弦定理解题解题.考点五考点五 测量问题测量问题 第28页/共38页返回目录 【解析解析解析解析】本题为解斜三角形的本题为解斜三角形的应用问题应用问题,要求这人走多少路可到达要求这人走多少路可到达A城城,也就是要求也就是要求AD的长的长.在在ACD中中,已知已知CD=21千米千米,CAD=60,只需再求出一个量即可只需再求出一个量即可.如图如图,令令ACD=,CDB=,在在CBD中中,由余弦定理得由余弦定理得 第29页/共38页sin=.而sin=sin(-60)=sincos60-sin60cos=在ACD中,AD=15(千米).这个人再走15千米就可到达A城.返回目录 第30页/共38页返回目录 如图，测量河对岸的塔高如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底时，可以选与塔底B在同在同一水平面内的两个测点一水平面内的两个测点C与与D.现测得现测得BCD=,BDC=,CD=s，并在点，并在点C测得塔顶测得塔顶A的仰的仰角为角为，求塔高，求塔高AB.对应演练对应演练 第31页/共38页在BCD中，CBD=-.由正弦定理，得 .所以在RtABC中，AB=BCtanACB=返回目录 第32页/共38页返回目录 沿一条小路前进，从沿一条小路前进，从A到到B，方位角（从正北方向顺，方位角（从正北方向顺时针转到时针转到AB方向所成的角）是方向所成的角）是50,距离是距离是3km,从从B到到C,方位角是方位角是110,距离是距离是3km,从从C 到到 D,方位角是方位角是140,距离是距离是(9+3 )km.试画出示意图试画出示意图,并计算出并计算出从从A到到D的方位角和距离的方位角和距离(结果保留根号结果保留根号).【分析分析分析分析】画出示意图画出示意图,要求要求A到到D的方位角的方位角,需要构需要构造三角形造三角形,连接连接AC,在在ABC中中,可知可知BAC=30,用余用余弦定理求出弦定理求出AC,再在再在ACD中中,求出求出AD和和CAD.考点六考点六 求角度、高度问题求角度、高度问题 第33页/共38页返回目录【解析解析解析解析】示意图如图所示示意图如图所示,连接连接AC,在在ABC中中,ABC=50+(180-110)=120,又又AB=BC=3,BAC=BCA=30.由余弦定理可得由余弦定理可得 第34页/共38页在ACD中,ACD=360-140-(70+30)=120,CD=3 +9.由余弦定理得由正弦定理得sinCAD=返回目录 第35页/共38页CAD=45,于是AD的方位角为50+30+45=125,从A到D的方位角是125，距离为返回目录 第36页/共38页连结连结BC，由余弦定理得，由余弦定理得BC2=202+102-22010cos120=700.于是于是BC=10 .ACB90,ACB=41.乙船应朝北偏东乙船应朝北偏东71方向沿直线前往方向沿直线前往B处救援处救援.返回目录 第37页/共38页感谢您的观看！第38页/共38页
