排列组合与概率初步.pptx
引入：两个基本原理引入：两个基本原理第1页/共50页分类计数原理（亦称加法原理）分类计数原理（亦称加法原理）做一件事，完成它可以有 n 类方案，在第 一类方案中有 m1 1 种不同的方法，在第二类方案中有 m2 2 种不同的方法，在 第n 类办法中有 mn n 种不同的方法 那么 完成这件事共有 Nm1 1 十 m2 2 十 十 mn n 种不同的方法 第2页/共50页A地B地飞机有a班次火车有b班次汽车有c班次那么从那么从A A地到地到B B地的方法有地的方法有a+b+ca+b+c种种第3页/共50页分步计数原理（亦称乘法原理）分步计数原理（亦称乘法原理）做一件事，需要分成 n 个步骤，做第一 步有 m1 1 种不同的方法，做第二步有 m2 2 种不同的方法，做第 n 步有 mn n 种 不同的方法，那么完成这件事共有：Nm1 1m2 2mn n 种不同的方法第4页/共50页那么从那么从A A地到地到B B地的方法有地的方法有abab种种从从A A地到地到B B地须经由地须经由C C地转车地转车A地B地C地火车有a班次汽车有b班次第5页/共50页有何区别？有何区别？(o?)o?)第6页/共50页备选方案中选哪一种方案都行，方案中的每一种方法 都能实现目的A地B地飞机有a班次火车有b班次汽车有c班次第7页/共50页任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同A地B地C地火车有a班次汽车有b班次第8页/共50页Example 书架上层放有书架上层放有 6 6 本不同的数学书，下层放本不同的数学书，下层放 有有 5 5 本不同的语文书本不同的语文书 1 1）从中任取一本，取法种数有（）从中任取一本，取法种数有（）A.5 B.6 C.10 D.11 A.5 B.6 C.10 D.11 2 2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？A.5 B.6 C.10 D.30 A.5 B.6 C.10 D.30第9页/共50页排列组合第10页/共50页排列排列所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序从n个不同元素中，任取m(mn)个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不 同元素中取出m个元素的一个排列第11页/共50页排列数排列数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排 列数，用符号 A(n,m)表示。A(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!/(n-m)!此外规定0!=1第12页/共50页Example 有0,1,2,，8这9个数字用这9 个数字组 成4位位数互不相同的密码，共有多少个不同的密码？A(9，4)=9!/5!第13页/共50页Example 有0,1,2,，8这9个数字用这9 个数字组 成位数互不相同的四位数，共有多少个不同的密码？8A(8，3)A(9，4)-A(8，3)第14页/共50页组合组合组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序从n个不同元素中，任取m(mn)个元 素并成一组，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个组合第15页/共50页组合数组合数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m)表示。C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/(n-m)!m!)C(n,m)=C(n,n-m)第16页/共50页Example 从4名男生中和3名女生中选出男女各2人参加某个座谈会，则不同的选法有多少种？C(4，2)C(3，2)第17页/共50页二项式定理二项式定理（a+b)n=C（n，0）anb0+C（n，1）a(n-1）b1+C（n，n）a0bn第18页/共50页二项式定理二项式定理（a+b)n的二项展开式共有n+1项，其中各项的系数C（n，r）(r0，1，2，n)叫做二项式系数。第19页/共50页二项式定理二项式定理二项展开式的通项公式（简称通项）为C（n，r）(a)(n-r)br，用Tr+1表示（其中“r+1”为角标），即通项为展开式的第r+1项第20页/共50页二项式定理与杨辉三角二项式定理与杨辉三角杨辉三角的第n行就是n项二项式 展开式的系数列第21页/共50页Example(x+2)10(x2-1)的展开式中x10的系数为 22C(10,2)-1=179第22页/共50页排列组合综合例题排列组合综合例题打包法插空法反面法第23页/共50页打包法打包法在解决某几个元素要求相邻问题时，可在解决某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个大元素整体考虑将相邻元素视为一个大元素第24页/共50页Example 有有8 8个不同的球，其中红球个不同的球，其中红球3 3个，黑球个，黑球2 2个，个，白球白球3 3个，若将这些球排成一列，则红球恰好排在一起，黑球也恰好排在一个，若将这些球排成一列，则红球恰好排在一起，黑球也恰好排在一起的起的 排法共有多少种？排法共有多少种？A(3,3)A(2,2)A(5,5)第25页/共50页Example 若有若有A,B,C,D,EA,B,C,D,E五个人排成一排照相，五个人排成一排照相，A A和和B B不不 能相邻，则不同的排法有多少种？能相邻，则不同的排法有多少种？C(3,1)A(2,2)A(3,3)+A(3,2)A(2,2)A(2,2)+A(3,3)A(2,2)第26页/共50页插空法插空法插空法一般用于解决间隔问题（要求某插空法一般用于解决间隔问题（要求某些元素不能相邻，由其他元素将其隔开的些元素不能相邻，由其他元素将其隔开的问题），解决此类问题，可以先将其他的问题），解决此类问题，可以先将其他的元素排号，再将指定的不相邻元素插入元素排号，再将指定的不相邻元素插入他们的空隙及两端位置他们的空隙及两端位置第27页/共50页Example 若有若有A,B,C,D,EA,B,C,D,E五个人排成一排照相，五个人排成一排照相，A A和和B B不不 能相邻，则不同的排法有多少种？能相邻，则不同的排法有多少种？A(3,3)A(4,2)第28页/共50页反面法反面法含含“至多至多”、“至少至少”的排列组合问题是需的排列组合问题是需要分类的，有时从反面思考，能够简化运要分类的，有时从反面思考，能够简化运算算第29页/共50页Example 在一批共在一批共100100件产品中，有件产品中，有3 3件次品，件次品，9797件件 正品，某次质检过程中须从这批产品中抽检正品，某次质检过程中须从这批产品中抽检3 3件，则抽到次品的抽法有多少件，则抽到次品的抽法有多少种？种？C(100,3)-A(97,3)第30页/共50页组合中的分组问题组合中的分组问题非平均分组与分配平均分组与分配部分平均分组与分配第31页/共50页非平均分组与分配非平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师位评委老师(1)若将若将9位评委老师分成三组进行打分，使一组位评委老师分成三组进行打分，使一组2人、一组人、一组3人、一组人、一组4人的不同人的不同分法共有多少种？分法共有多少种？C(9,2)C(7,3)C(4,4)第32页/共50页非平均分组与分配非平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师位评委老师(2)若将若将9位评委老师分到赛场周围的东、南、西三个位置进行打分，使一处位评委老师分到赛场周围的东、南、西三个位置进行打分，使一处2人，人，一处一处3人，一处人，一处4人的不同分法有多少种？人的不同分法有多少种？C(9,2)C(7,3)C(4,4)A(3,3)第33页/共50页非平均分组与分配非平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了9位评委老师位评委老师(3)若将若将9位评委老师分到赛场周围的东、南、西三个位置进行打分，使东边位评委老师分到赛场周围的东、南、西三个位置进行打分，使东边2人，人，南边南边3人，西边人，西边4人的不同分法有多少种？人的不同分法有多少种？C(9,2)C(7,3)C(4,4)第34页/共50页非平均分组与分配非平均分组与分配总结：若总结：若n个元素分成个元素分成m组，组，m1,m2,.,mm为各组的元素个数且各不相等，则非为各组的元素个数且各不相等，则非平均非组的方法种数平均非组的方法种数N=C(n,m1)C(n-m1,m2)C(n-m1-m2,m3).C(mm,mm);不定向分不定向分配的分法种数配的分法种数M=NA(m,m);定向的非平定向的非平均分配问题与非平均分组一样均分配问题与非平均分组一样第35页/共50页平均分组与分配平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了邀请了9位评委老师位评委老师(1)若将若将9位评委老师平均分成三组打分，则位评委老师平均分成三组打分，则不同分法有多少种？不同分法有多少种？C(9,3)C(6,3)C(3,3)/A(3,3)第36页/共50页平均分组与分配平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了邀请了9位评委老师位评委老师(2)若将若将9位评委老师平均分成三组，并分到位评委老师平均分成三组，并分到东、西、南三个位置打分，则不同分法东、西、南三个位置打分，则不同分法有多少种？有多少种？C(9,3)C(6,3)C(3,3)第37页/共50页平均分组与分配平均分组与分配总结：总结：(1)问由于平均分组在分步取的过程中隐含了排列问题，而实际中不含排列问由于平均分组在分步取的过程中隐含了排列问题，而实际中不含排列问题，故要除以组数的全排列数，而第二问则直接得出了答案。也可以理解为问题，故要除以组数的全排列数，而第二问则直接得出了答案。也可以理解为(2)问问的答案为的答案为(1)问的答案乘以组数的全排列数问的答案乘以组数的全排列数第38页/共50页部分平均分组与分配部分平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了邀请了9位评委老师位评委老师(1)若将若将9位评委老师平均分成四组打分，一位评委老师平均分成四组打分，一组组3人，其余每组人，其余每组2人，则不同分法有多人，则不同分法有多少种？少种？C(9,3)C(6,2)C(4,2)C(2,2)/A(3,3)第39页/共50页部分平均分组与分配部分平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了邀请了9位评委老师位评委老师(2)若将若将9位评委老师分到东、南、西、北四位评委老师分到东、南、西、北四处打分，一处处打分，一处3人，其余每处人，其余每处2人，则不人，则不同分法有多少种？同分法有多少种？C(9,3)C(6,2)C(4,2)C(2,2)/A(3,3)A(4,4)第40页/共50页部分平均分组与分配部分平均分组与分配某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了邀请了9位评委老师位评委老师(3)若将若将9位评委老师分到四处打分，使东位评委老师分到四处打分，使东边边3人，其余每处人，其余每处2人，则不同分法有多人，则不同分法有多少种？少种？C(9,3)C(6,2)C(4,2)C(2,2)第41页/共50页部分平均分组与分配部分平均分组与分配总结：部分平均分组问题先按总结：部分平均分组问题先按“非平均分组非平均分组”列式后再除以等分组的阶乘；部分均列式后再除以等分组的阶乘；部分均匀分配问题可以遵循先分组后排列的原则匀分配问题可以遵循先分组后排列的原则第42页/共50页概率第43页/共50页相互独立事件相互独立事件事件事件A A是否发生对事件是否发生对事件B B发生的概率没有影发生的概率没有影响，则称两个事件响，则称两个事件A A、B B相互独立相互独立第44页/共50页二项分布二项分布用用表示随机试验的结果表示随机试验的结果如果事件发生的概率是如果事件发生的概率是P,P,则不发生的概则不发生的概 率率q=1-pq=1-p，N N次独立重复实验中发生次独立重复实验中发生K K次的概次的概率是率是P(=K)=C(n,k)pk (1-p)(n-k)P(=K)=C(n,k)pk (1-p)(n-k)第45页/共50页Example 随机抛掷随机抛掷100100次硬币，恰有次硬币，恰有5050次正面朝上的概率是多少？次正面朝上的概率是多少？C(100，50)(1/2)50(1-1/2)50第46页/共50页几何分布几何分布几何分布（几何分布（Geometric distributionGeometric distribution）是离散型）是离散型概率分布。其中一种定义为：在第概率分布。其中一种定义为：在第n n次伯努次伯努 利试验中，试验利试验中，试验k k次才得到第一次成功的机次才得到第一次成功的机率。详细的说，是：前率。详细的说，是：前k-1k-1次皆失败，第次皆失败，第k k次成功的概率次成功的概率P(=K)=(1-p)k pP(=K)=(1-p)k p第47页/共50页Example 随机抛掷若干次硬币，抛到第十次才出第一次现正面的概率是多少？随机抛掷若干次硬币，抛到第十次才出第一次现正面的概率是多少？(1-1/2)9(1/2)第48页/共50页谢谢观赏何妨袖手闲看704797297第49页/共50页感谢您的观看。第50页/共50页
