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量子力学基础()第1页，此课件共39页哦16-1 波函数及其统计诠释波函数及其统计诠释 量子力学中描述微观粒子的波函数本身是没有直接物理意义的量子力学中描述微观粒子的波函数本身是没有直接物理意义的,具有具有直接物理意义的是波函数的模的平方，它代表了粒子出现的概率。直接物理意义的是波函数的模的平方，它代表了粒子出现的概率。微观粒子的运动状态称为微观粒子的运动状态称为量子态量子态，是用，是用波函数波函数 来描述来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动性，就是德布罗意波。的，这个波函数所反映的微观粒子波动性，就是德布罗意波。（量子力学的基本假设之一）（量子力学的基本假设之一）玻恩指出：玻恩指出：德布罗意波或波函数德布罗意波或波函数 不代表实际物理量的不代表实际物理量的波动，而是描述粒子在空间的概率分布的概率波。波动，而是描述粒子在空间的概率分布的概率波。第2页，此课件共39页哦 或或 概率密度为概率密度为波函数是单值的、连续的和有限的。波函数是单值的、连续的和有限的。波函数允许包含一个波函数允许包含一个任意的常数因子。任意的常数因子。归一化条件归一化条件 微观粒子的概率波的波函数是微观粒子的概率波的波函数是 ，那么概率，那么概率正比于正比于波函数波函数 和和A A (A A是常数是常数)描述了同一个量子态，描述了同一个量子态，对于空间任意两点对于空间任意两点 和和 有有第3页，此课件共39页哦态叠加原理态叠加原理（一个基本假设）（一个基本假设）如果波函数如果波函数 ,都是描述系统的可能的都是描述系统的可能的量子态，那么它们的线性叠加量子态，那么它们的线性叠加 也是这个系统的一个可能的量子态。也是这个系统的一个可能的量子态。宇称宇称：是描述微观粒子波函数在空间反演下所具有的一种对称性。：是描述微观粒子波函数在空间反演下所具有的一种对称性。偶宇称偶宇称(或正宇称或正宇称)奇宇称奇宇称(或负宇称或负宇称)第4页，此课件共39页哦例例1:1:已知描述粒子的归一化波函数为已知描述粒子的归一化波函数为(t,x,y,zt,x,y,z)，求在，求在t t时刻、在时刻、在x x到到x x+d+dx x的无限大薄层内发现粒子的概率。的无限大薄层内发现粒子的概率。解解:体积元内的概率为体积元内的概率为 该薄层中发现粒子的概率该薄层中发现粒子的概率 例例2:2:用电子束进行双缝衍射实验，先将狭缝用电子束进行双缝衍射实验，先将狭缝B B遮盖，电子穿过狭缝遮盖，电子穿过狭缝A A到达屏上任意一点到达屏上任意一点P P的状态为的状态为 1 1，后将狭缝，后将狭缝A A遮盖，电子穿过狭缝遮盖，电子穿过狭缝B B到到达屏上任意一点的达屏上任意一点的P P状态为状态为 2 2。求将两狭缝打开，电子同时穿过。求将两狭缝打开，电子同时穿过A A和和B B两两个狭缝到达屏上点个狭缝到达屏上点P P的概率密度。的概率密度。解解:由线性叠加，得由线性叠加，得 屏上点屏上点P P发现电子的概率密度为发现电子的概率密度为 第5页，此课件共39页哦16-2 薛定谔方程薛定谔方程 一、含时薛定谔方程一、含时薛定谔方程 自由粒子的平面波函数为自由粒子的平面波函数为根据德布罗意关系式，得根据德布罗意关系式，得将上两式代入前式，得将上两式代入前式，得第6页，此课件共39页哦将平面波函数对时间微商将平面波函数对时间微商,得得 二次微商，得二次微商，得式中式中 2 2称为拉普拉斯算符。称为拉普拉斯算符。根据上式和上述等价关系，得根据上式和上述等价关系，得 E E p p2 2 或者或者 p p 自由粒子的动能与动量关系为自由粒子的动能与动量关系为 由上两式得到等价关系为由上两式得到等价关系为 粒子处于力场中时，有粒子处于力场中时，有所以所以薛定谔方程薛定谔方程 第7页，此课件共39页哦二、定态薛定谔方程二、定态薛定谔方程 因势场只是坐标的函数，所以有因势场只是坐标的函数，所以有 将上式代入薛定谔方程，得将上式代入薛定谔方程，得 由于时间和坐标是独立变量，上式可分成两个方程。由于时间和坐标是独立变量，上式可分成两个方程。方程方程1:1:其解为其解为方程方程2:2:定态薛定谔方程定态薛定谔方程 特解为特解为概率密度分布为概率密度分布为 第8页，此课件共39页哦三、概率守恒和概率流密度矢量三、概率守恒和概率流密度矢量 概率密度随时间的变化为概率密度随时间的变化为 将薛定谔方程及其共轭方程将薛定谔方程及其共轭方程 代入上式，并利用公式代入上式，并利用公式 得得令令 将上式代入前式，得将上式代入前式，得 概率守恒的微分形式概率守恒的微分形式 第9页，此课件共39页哦将上式积分，再利用高斯定理，得将上式积分，再利用高斯定理，得 概率守恒的积分形式概率守恒的积分形式 此式表明：在空间某体积此式表明：在空间某体积V V内发现粒子的概率在单位时内发现粒子的概率在单位时间内的增量，必定等于在同一时间内间内的增量，必定等于在同一时间内 通过通过V V 的边界面的边界面S S 流入体积流入体积V V 的概率。的概率。第10页，此课件共39页哦15-3 力学量的算符表示和平均值力学量的算符表示和平均值 一、力学量的算符表示一、力学量的算符表示 量子力学中描述系统的每一个力学量对应一个算符。量子力学中描述系统的每一个力学量对应一个算符。与动量相对应的算符与动量相对应的算符 动量分量的算符动量分量的算符 与动量平方相对应的算符是与动量平方相对应的算符是 与能量相对应的算符与能量相对应的算符 称为哈密顿算符称为哈密顿算符 第11页，此课件共39页哦角动量算符为角动量算符为 直角坐标系中的分量式直角坐标系中的分量式 球坐标系中的分量式球坐标系中的分量式 角动量平方算符为角动量平方算符为 式中算符式中算符 第12页，此课件共39页哦角动量平方算符也可以表示为角动量平方算符也可以表示为 二、本征函数、本征值和平均值二、本征函数、本征值和平均值 算符是代表对波函数的一种运算，是把一个波函数或量子态变换成另一算符是代表对波函数的一种运算，是把一个波函数或量子态变换成另一个波函数或量子态。个波函数或量子态。此式为力学量的此式为力学量的本征值方程本征值方程，常量，常量A A称为力学量的称为力学量的本征值本征值。引入哈密顿算符后，定态薛定谔方程可以简化为引入哈密顿算符后，定态薛定谔方程可以简化为 量子力学中，任何一个力学量的平均值都可以用下式计算量子力学中，任何一个力学量的平均值都可以用下式计算 第13页，此课件共39页哦16-3 一维势阱和势垒问题一维势阱和势垒问题 一、一维无限深方势阱一、一维无限深方势阱 对于一维无限深方势阱有对于一维无限深方势阱有 0aU(x)势阱内势阱内U U(x x)=0)=0，哈密顿算符为，哈密顿算符为定态薛定谔方程为定态薛定谔方程为 令令 薛定谔方程的解为薛定谔方程的解为第14页，此课件共39页哦根据根据 ，可以确定，可以确定 =0=0或或m m，m m=1,2,3,=1,2,3,。于是上式改写为。于是上式改写为根据根据，得，得ka=n，n=1,2,3,因为当因为当n=0时，必定时，必定k=0，定态薛定谔方程应有，定态薛定谔方程应有 解得解得(x)C x+D 所以所以由此式知：一维无限深方势阱的能谱是分立谱由此式知：一维无限深方势阱的能谱是分立谱,这个这个分立分立的能谱的能谱就是就是量子化了的能级量子化了的能级。基态的能量为基态的能量为 零点能零点能 第15页，此课件共39页哦与能量本征值与能量本征值E En n相对应的本征函数相对应的本征函数 n n(x x)为为 利用归一化条件利用归一化条件 ，得，得 归一化波函数为归一化波函数为 一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度稳定的驻波能级稳定的驻波能级第16页，此课件共39页哦二、势垒穿透和隧道效应二、势垒穿透和隧道效应 有限高的势垒有限高的势垒 在在P P区和区和S S区薛定谔方程的形式为区薛定谔方程的形式为 其中其中 在在Q Q区粒子应满足下面的方程式区粒子应满足下面的方程式 式中式中 第17页，此课件共39页哦用分离变量法求解，得用分离变量法求解，得 (P区区)(Q区区)(S区区)在在P区，区，势垒反势垒反 射系数射系数 在在Q区，区，势垒透势垒透射系数射系数 粒子能够穿透比其动能高粒子能够穿透比其动能高的势垒的现象，称为隧道的势垒的现象，称为隧道效应效应。如图是在隧道效应中。如图是在隧道效应中波函数分布的示意图。波函数分布的示意图。隧道效应的应用：隧道效应的应用：扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜(STM)(STM)隧道二极管隧道二极管 第18页，此课件共39页哦 例例1:1:证明无限深方势阱中，不同能级的粒子波函证明无限深方势阱中，不同能级的粒子波函数具有下面数具有下面正交性正交性的性质：的性质：即不同能级的波函数互相正交。即不同能级的波函数互相正交。解解:波函数波函数 取其复共轭取其复共轭 相乘并积分，相乘并积分，得得 第19页，此课件共39页哦把波函数的正交性和归一性表示在一起，把波函数的正交性和归一性表示在一起，其中其中 当当m m=n n 时时 ,mnmn =1 1 当当m m n n 时时 ,mn mn =0 0 mnmn 称为克罗内克符号。称为克罗内克符号。第20页，此课件共39页哦16-4 一维谐振子问题一维谐振子问题 一、一维谐振子的定态薛定谔方程一、一维谐振子的定态薛定谔方程 经典力学中，简谐振动为经典力学中，简谐振动为系统的势能为系统的势能为简谐振子的能量为简谐振子的能量为 将势能形式代入定态薛定谔方程，得将势能形式代入定态薛定谔方程，得 令令 第21页，此课件共39页哦将变量将变量x变换为变换为 所以所以求解这个方程，并使解满足束缚态条件，就可以得到求解这个方程，并使解满足束缚态条件，就可以得到一维谐振子的能量本征函数和能量本征值。一维谐振子的能量本征函数和能量本征值。二、一维谐振子的本征函数和能量本征值二、一维谐振子的本征函数和能量本征值 波函数的一般形式为波函数的一般形式为或者或者 式中式中Hn()称为称为厄米多项式厄米多项式，具体形式，具体形式为为 第22页，此课件共39页哦由此得出由此得出n n=0,1,2,3,4=0,1,2,3,4的厄米多项式分别为的厄米多项式分别为 由归一化条件由归一化条件 ，得，得时间因子的一维谐振子的定态波函数为时间因子的一维谐振子的定态波函数为 第23页，此课件共39页哦当当 时，应有时，应有0，所以，所以上式的解为上式的解为这表示这表示一维谐振子的能量只能取一系列分立值，并一维谐振子的能量只能取一系列分立值，并且相邻能级是等间距的，等于且相邻能级是等间距的，等于 。基态能量为基态能量为零点能零点能 经典经典禁区禁区经典经典禁区禁区经典力学的结论，振子是不可能经典力学的结论，振子是不可能进入进入x x A A 的经典禁区。的经典禁区。量子力学中，由于隧道效应，量子力学中，由于隧道效应，粒子可以到达经典禁区，即不粒子可以到达经典禁区，即不存在什么禁区。存在什么禁区。第24页，此课件共39页哦图中画出了对应于量子数图中画出了对应于量子数n n=0,1,2=0,1,2三种情况的波函数，三种情况的波函数，以及相应的概率密度。以及相应的概率密度。由图可以看出，量子数由图可以看出，量子数n n较小时，粒子位置的概率密度较小时，粒子位置的概率密度分布与经典结论明显不同。随着量子数分布与经典结论明显不同。随着量子数n n的增大的增大,概率概率密度的平均分布将越来越接近于经典结论。密度的平均分布将越来越接近于经典结论。第25页，此课件共39页哦 例例1:1:一个电子被束缚在一维无限深势阱内，势阱一个电子被束缚在一维无限深势阱内，势阱 宽度宽度为为1.011.01 1010-10-10 m m。求当电子处于基态时对阱壁的平均冲力。求当电子处于基态时对阱壁的平均冲力。解解:设电子的质量为设电子的质量为m me e，速度为，速度为v vx x，动量为，动量为p px x ，势阱宽度为势阱宽度为a a。则冲力为。则冲力为 将算符将算符 代入上式，得代入上式，得因电子是处于基态，则因电子是处于基态，则 第26页，此课件共39页哦*16-5 氢原子氢原子 一、有心力场中的薛定谔方程一、有心力场中的薛定谔方程 系统的势能为系统的势能为哈密顿算符为哈密顿算符为 定态薛定谔方程为定态薛定谔方程为 将拉普拉斯算符写为球坐标的形式将拉普拉斯算符写为球坐标的形式 第27页，此课件共39页哦其中其中 将上式代入前式，得将上式代入前式，得波函数表示为波函数表示为将上式代入前式，得将上式代入前式，得设这个常量为设这个常量为，于是由上式，得，于是由上式，得第28页，此课件共39页哦上式的具体形式是上式的具体形式是 将将Y(,)表示为两个函数的乘积表示为两个函数的乘积 将上式代入前式，得将上式代入前式，得 设常数设常数m2，则上式分成两个方程，则上式分成两个方程 第29页，此课件共39页哦氢原子中电子波函数氢原子中电子波函数(r r,)的三个组成部分的三个组成部分R R(r r)、()和和()分别满足的方程为：分别满足的方程为：二、角动量的本征函数和相应的量子数二、角动量的本征函数和相应的量子数 方位角波函数方位角波函数()是上式的解，即是上式的解，即()是单值的，满足是单值的，满足()=)=(+2+2)，即，即 m只能取整数只能取整数0,1,2,第30页，此课件共39页哦根据归一化条件，得根据归一化条件，得归一化系数为归一化系数为 归一化方位角波函数为归一化方位角波函数为 为确保极角波函数为确保极角波函数()的的有限性，有限性，必须满足必须满足 =l(l+1),l=0,1,2,并且并且 m l ，即，即 m=0,1,2,l 将将()和和()合并，并正交归一化，得合并，并正交归一化，得 球谐函数球谐函数第31页，此课件共39页哦将将=l(l+1)和球谐函数代入和球谐函数代入得得将角动量平方算符代入上式，得将角动量平方算符代入上式，得 其本征值为：其本征值为：L2=l(l+1)动量的本征值为动量的本征值为 L L 称为称为轨道量子数轨道量子数或或角量子数角量子数，表示电子相对于原子核，表示电子相对于原子核的角动量的大小。核外电子相对于核的角动量，称为的角动量的大小。核外电子相对于核的角动量，称为轨轨道角动量道角动量。第32页，此课件共39页哦球谐函数球谐函数Y Ylm lm(,)既是算符既是算符 的本征函数，也是算的本征函数，也是算符符 的本征函数，故有的本征函数，故有 算符的本征值为算符的本征值为 m=0,1,2,l m m称为称为磁量子数磁量子数，表示电子轨道角动量的，表示电子轨道角动量的z z分量的大小。分量的大小。轨道角动量在空间不能任意取向，而只能取某些特定轨道角动量在空间不能任意取向，而只能取某些特定方向的性质，称为方向的性质，称为角动量的空间量子化角动量的空间量子化。第33页，此课件共39页哦三、径向波函数和氢原子的能级三、径向波函数和氢原子的能级 将将 =l l(l l+1)+1)代入径向波函数代入径向波函数R R(r r)所满足的方程所满足的方程,得得令令 于是于是势能为势能为 其中其中 因因E 0，将上式代入式，得，将上式代入式，得 第34页，此课件共39页哦由上式解得的径向波函数，为由上式解得的径向波函数，为 归一化系数为归一化系数为 式中式中 n=1,2,3,l=0,1,2,(n-1)径向波函数径向波函数Rnl(r)中中 的也是一个的也是一个特殊函数，称为特殊函数，称为(l+1-n)阶合流超几何多项式阶合流超几何多项式。a的具体形式为的具体形式为 第35页，此课件共39页哦满足束缚态条件时，有满足束缚态条件时，有由上式可得氢原子的能量本征值为由上式可得氢原子的能量本征值为 这就是这就是氢原子的能级公式氢原子的能级公式，与玻尔氢原子理论中的能级公式，与玻尔氢原子理论中的能级公式完全一致。完全一致。从能级公式可以看到，从能级公式可以看到，E=0，这就是电离。，这就是电离。当当n=1，即氢原子处于基态时，能量为，即氢原子处于基态时，能量为 第36页，此课件共39页哦四、能量的本征函数和能级的简并度四、能量的本征函数和能级的简并度 En 的本征函数的本征函数 本征函数本征函数nlm(r,)也就是在一定的主量子数也就是在一定的主量子数n、角、角量子数量子数l和磁量子数和磁量子数m时氢原子时氢原子(或者说氢原子中的电子或者说氢原子中的电子)所所处的量子态。这个量子态的本征能量处的量子态。这个量子态的本征能量En 只决定于主量只决定于主量子数子数n，而与角量子数，而与角量子数l和磁量子数和磁量子数m无关。无关。对于任何一个主量子数对于任何一个主量子数n，共有，共有 个量子态都对应于相同的能量本征值个量子态都对应于相同的能量本征值En ，这种情形就称，这种情形就称为为能级能级E En n 是简并的是简并的，或者更具体地说，或者更具体地说，定态能级定态能级En的简的简并度是并度是n2。第37页，此课件共39页哦五、类氢离子五、类氢离子 势能为势能为 其中其中 定态波函数仍为定态波函数仍为 径向波函数径向波函数Rnl(r)中的中的a应以应以a=a/Z代替，则有代替，则有 能级公式能级公式 关于氢原子的其他结论都可依此类推，而用于类氢离子。关于氢原子的其他结论都可依此类推，而用于类氢离子。第38页，此课件共39页哦电子对阱壁的平均冲力为电子对阱壁的平均冲力为 第39页，此课件共39页哦