定积分学习教程.pptx
abxyo实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）一、两个实例一、两个实例第1页/共37页abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积（四个小矩形）（九个小矩形）第2页/共37页解决步骤解决步骤:1)分割分割:在区间 a,b 中任意插入 n 1 个分点用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2)近似近似:在第i 个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得第3页/共37页3)求和求和:4)取极限取极限:令则曲边梯形面积第4页/共37页1 1 化整为零化整为零2 2 以直代曲以直代曲 (以常代变以常代变)3 3 积零为整积零为整yxoy=f(x)ab.分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值 曲边梯形的面积曲边梯形的面积f(i).第5页/共37页4 4 取极限取极限yxoy=f(x)令分法无限变细令分法无限变细.ab.分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值1 1 化整为零化整为零2 2 以直代曲以直代曲 (以常代变以常代变)3 3 积零为整积零为整f(i)曲边梯形的面积曲边梯形的面积第6页/共37页4 4 取极限取极限yxoy=f(x)令分法无限变细令分法无限变细.分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值1 1 化整为零化整为零2 2 以直代曲以直代曲 (以常代变以常代变)3 3 积零为整积零为整f(i)A=.A.ab 曲边梯形的面积曲边梯形的面积第7页/共37页 实例实例2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干个小段，每思路：把整段时间分割成若干个小段，每小段上速度看作不变。求出各小段的路程小段上速度看作不变。求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值。最后通过再相加，便得到路程的近似值。最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值。对时间的无限细分过程求得路程的精确值。第8页/共37页tO T1T2 t0t1tn1 tn=titi1 第i段路程值第i段某时刻的速度第9页/共37页 第10页/共37页曲边梯形的面积曲边梯形的面积 （1）分割（2）近似 （3）求和（4）取极限变速直线运动的路程变速直线运动的路程第11页/共37页(i1,2,n),作和maxDx1,Dx2,Dxn;在小区间xi1,xi上任取一点i 记Dxi=xi-xi1(i1,n),个分点:ax0 x1x2 xn1xnb;设函数f(x)在区间a,b上有界.极限存在,且极限值与区间a,b的分法和i的取法无关,则称此极限为函数f(x)在区间a,b上的定积分,记为 即 二、定积分的定义二、定积分的定义在区间a,b内插入n-1如果当0时,上述和式的此时称 f(x)在 a,b 上可积可积.第12页/共37页被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限积分和读作“从a到b函数f(x)的定积分”第13页/共37页曲边梯形面积A：变速运动的路程 S：记为记为第14页/共37页关于定积分的说明：关于定积分的说明：求导有如下的式子：求导有如下的式子：（）定积分只与被积函数、积分上、下限有关，而与积（）定积分只与被积函数、积分上、下限有关，而与积记号无关，即记号无关，即（）定积分表示一个数，而不定积分是一个函数族，（）定积分表示一个数，而不定积分是一个函数族，它们分别对它们分别对分变量的分变量的第15页/共37页例例1 1 计算计算(1)(1)分割分割等分(2)(2)近似近似取矩形面积(3)(3)求和求和第16页/共37页(4)取极限第17页/共37页定理定理1 1定理定理2 2三、定积分的存在定理三、定积分的存在定理第18页/共37页四、定积分的几何意义四、定积分的几何意义第19页/共37页几何意义：几何意义：ab第20页/共37页定积分几何意义的应用定积分几何意义的应用1428173第21页/共37页0 xy-33定积分几何意义的应用定积分几何意义的应用第22页/共37页 例2 用定积分表示下列图中阴影部分的面积第23页/共37页 例例3 3 用定积分表示由用定积分表示由1o解：解：平面图形如右图所示平面图形如右图所示 所围平面图形的面积。所围平面图形的面积。第24页/共37页 例4 用定积分表示由 所围 平面图形的面积。1o解：解：平面图形如右图所示平面图形如右图所示A2A1由图可知由图可知 因为因为所以所以第25页/共37页若 是奇函数，则若若 是偶函数，则是偶函数，则a-a对称区间上的定积分对称区间上的定积分-aa第26页/共37页对定积分的补充规定补充规定:说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小五、定积分的性质五、定积分的性质第27页/共37页证证性质性质1 1第28页/共37页证证性质性质2 2第29页/共37页补充补充：不论 的相对位置如何,上式总成立.例例 若（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）则性质性质3 3第30页/共37页证证性质性质4 4性质性质5 5第31页/共37页性质性质5 5的推论：的推论：证证（1）第32页/共37页证证性质性质5 5的推论：的推论：（2）第33页/共37页例例5 5比较下列各对积分值的大小：比较下列各对积分值的大小：(1)(1)因为在因为在(2)和(2)和解解上上由推论知由推论知第34页/共37页证证（此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质性质6 6 演示演示第35页/共37页性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式 几何解释几何解释第36页/共37页感谢您的观看！第37页/共37页
