平面曲线积分与路径无关的条件课件.pptx

定理定理11.2 设设D 是是单连通域单连通域,在在D 内具有内具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数,(i)沿沿D 中任意按段光滑闭曲线中任意按段光滑闭曲线 L,有有(ii)对对D 中任一按段光滑曲线中任一按段光滑曲线 L,曲线积分曲线积分(iii)(iv)在在 D 内处处成立内处处成立与路径无关与路径无关,只与只与 L 的起点及终点有关的起点及终点有关.函数函数则以下四个条件等价则以下四个条件等价:是是 D 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 第1页/共17页证明证明(i)(ii)设设为为D 内任意两条由内任意两条由A 到到B 的有向分段光滑曲的有向分段光滑曲线线,则则(根据条件根据条件(i)所以所以第2页/共17页证明证明(ii)(iii)在在D内取定点内取定点因曲线积分因曲线积分则则同理可证同理可证因此有因此有和任一点和任一点B(x,y),与路径无关与路径无关,有函数有函数 第3页/共17页证明证明(iii)(iv)设存在函数设存在函数 u(x,y)使得使得 则则P,Q 在在 D 内具有连续的偏导数内具有连续的偏导数,所以所以从而在从而在D内每一点都有内每一点都有第4页/共17页证明证明(iv)(i)设设L为为D中任一分段光滑闭曲线中任一分段光滑闭曲线,利用格林公式利用格林公式,得得所围区域为所围区域为证毕证毕由条件由条件(iv),在在 D 上处处成立上处处成立第5页/共17页由上述证明可看到，在定理的条件下，二元函数由上述证明可看到，在定理的条件下，二元函数:具有性质：具有性质：d u=P dx+Q dy称称 u(x,y)为为 P dx+Q dy 在域在域 D 内的一个原函数内的一个原函数.第6页/共17页说明说明:根据定理2,若在某区域内则2)可用积分法求d u=P dx+Q dy在域 D 内的原函数:及动点或则原函数为取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;第7页/共17页例1 1 试应用曲线积分求的原函数.解 这里在整个平面上成立 由定理2,曲线积分第8页/共17页为此,取取路线为图11-1中的折 线段 于是有 只与起点 A 和终点 B 有关,而与路线的选择无关.第9页/共17页例例2.设质点在力设质点在力场场作用下沿曲线 L:由移动到求力场所作的功W解解:令则有可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.第10页/共17页取圆弧第11页/共17页解第12页/共17页例例4 4：计算积分计算积分其中其中C是是上半圆周上半圆周顺时针方向为正。顺时针方向为正。例例5：已知点已知点O（0,0）及点）及点A（1,1），且曲线积分），且曲线积分与路径无关与路径无关,试确定常数试确定常数a,b，并计算曲线积分。，并计算曲线积分。第13页/共17页全微分求积（全微分方程）全微分求积（全微分方程）设函数设函数P(x,y),),Q(x,y)上在单连通区域上在单连通区域D 有连续偏有连续偏导数，且导数，且是某个函数是某个函数u的全微分的全微分,且且则则(u的求法的求法)例例 求求的一个原函数的一个原函数,并计算并计算上述求原函数的过程称为上述求原函数的过程称为全微分求积全微分求积(分分).第14页/共17页原函数的另一种求法原函数的另一种求法:例例 求求 u为为全微分方程全微分方程.若若 P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某二元函数的的全微分，是某二元函数的的全微分，称方程称方程求出原函数求出原函数u(x,y)，则通解为，则通解为u(x,y)=C判别法判别法:第15页/共17页小结与路径无关的四个等价命题条件等价命题第16页/共17页感谢您的观看。第17页/共17页