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图的连通性最小生成树的算法思想第1页，共35页，编辑于2022年，星期五1.1.算法思想算法思想 假设假设N=(V,E)是连通网是连通网,TE是是N上最小生成树中边的上最小生成树中边的集合集合,算法从算法从U=vk,TE=开始开始(即从即从vk出发求最小生成出发求最小生成树树,vkV)。重复执行下述操作：。重复执行下述操作：在所有的边在所有的边(vi,vj)E(viU,vjV-U)中寻找一条权中寻找一条权值最小的边值最小的边(vi,vj)将其添加到将其添加到TE中中(或打印之或打印之),同时把同时把vj添添 加到集合加到集合U 中中。反复执行上述操作反复执行上述操作n-1次（或所有顶点全部加入次（或所有顶点全部加入U时为止）。时为止）。一、最小生成树一、最小生成树第2页，共35页，编辑于2022年，星期五2.实例：V=v1,v2,v3,v4,v5,v6 一、最小生成树一、最小生成树v1v2v3v4v5v66551256463任取uk=v1,则：U=v1,V-U=v2,v3,v4,v5,v6 第3页，共35页，编辑于2022年，星期五2.实例：V=v1,v2,v3,v4,v5,v6 一、最小生成树一、最小生成树v1v2v3v4v5v66551256463任取uk=v1,则：U=v1,V-U=v2,v3,v4,v5,v6 取边(v1,v3),则：U=v1,v3V-U=v2,v4,v5,v6 第4页，共35页，编辑于2022年，星期五2.实例：V=v1,v2,v3,v4,v5,v6 一、最小生成树一、最小生成树v1v2v3v4v5v66551256463任取uk=v1,则：U=v1,V-U=v2,v3,v4,v5,v6 取边(v1,v3),则：U=v1,v3V-U=v2,v4,v5,v6 取边(v3,v6),则：U=v1,v3,v6V-U=v2,v4,v5 第5页，共35页，编辑于2022年，星期五2.实例：V=v1,v2,v3,v4,v5,v6 一、最小生成树一、最小生成树v1v2v3v4v5v66551256463任取uk=v1,则：U=v1,V-U=v2,v3,v4,v5,v6 取边(v1,v3),则：U=v1,v3V-U=v2,v4,v5,v6 取边(v3,v6),则：U=v1,v3,v6V-U=v2,v4,v5 取边(v6,v4),则：U=v1,v3,v6,v4V-U=v2,v5 第6页，共35页，编辑于2022年，星期五2.实例：V=v1,v2,v3,v4,v5,v6 一、最小生成树一、最小生成树v1v2v3v4v5v66551256463任取uk=v1,则：U=v1,V-U=v2,v3,v4,v5,v6 取边(v1,v3),则：U=v1,v3V-U=v2,v4,v5,v6 取边(v3,v6),则：U=v1,v3,v6V-U=v2,v4,v5 取边(v6,v4),则：U=v1,v3,v6,v4V-U=v2,v5 取边(v3,v2),则：U=v1,v3,v6,v4,v2V-U=v5 第7页，共35页，编辑于2022年，星期五2.实例：V=v1,v2,v3,v4,v5,v6 一、最小生成树一、最小生成树v1v2v3v4v5v66551256463任取uk=v1,则：U=v1,V-U=v2,v3,v4,v5,v6 取边(v1,v3),则：U=v1,v3V-U=v2,v4,v5,v6 取边(v3,v6),则：U=v1,v3,v6V-U=v2,v4,v5 取边(v6,v4),则：U=v1,v3,v6,v4V-U=v2,v5 取边(v3,v2),则：U=v1,v3,v6,v4,v2V-U=v5 取边(v2,v5),则：U=v1,v3,v6,v4,v2,v5V-U=第8页，共35页，编辑于2022年，星期五2.实例：V=v1,v2,v3,v4,v5,v6 一、最小生成树一、最小生成树v1v2v3v4v5v66551256463任取uk=v1,则：U=v1,V-U=v2,v3,v4,v5,v6 取边(v1,v3),则：U=v1,v3V-U=v2,v4,v5,v6 取边(v3,v6),则：U=v1,v3,v6V-U=v2,v4,v5 取边(v6,v4),则：U=v1,v3,v6,v4V-U=v2,v5 取边(v3,v2),则：U=v1,v3,v6,v4,v2V-U=v5 取边(v2,v5),则：U=v1,v3,v6,v4,v2,v5V-U=第9页，共35页，编辑于2022年，星期五3.算法的实现：一、最小生成树一、最小生成树v1v2v3v4v5v66551256463 用一个辅助的一维数组closedge0.n-1存储n个顶点到U的距离：即对于每一个viV-U,1in,1)用closedgei-1.lowcost存储vi到U的最短距离(若vi已属于U中的元素,则vi到U的距离为0)；2)用closedgei-1.adjvex存储vi到U的最短距离所邻接的那个顶点的值。用顺序存储结构(Mgraph G)存储图，即利用一个二维数组(G.arcs)存储图的邻接矩阵，用一个一维数组(G.vexs)存储各顶点的值。第10页，共35页，编辑于2022年，星期五一、最小生成树一、最小生成树v1v2v3v4v5v66551256463 数据结构的动态分析 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 G.arcs如下：012345 0 1 2 3 4 5 算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：3.算法的实现：iclosedge012345UV-UKadjvexlowcostv10v16v11v15v1v1v1v2,v3,v4,v5,v601234501G.vexs:v1v2v3v4v5v6 0 1 2 3 4 5 第11页，共35页，编辑于2022年，星期五一、最小生成树一、最小生成树v1v2v3v4v5v66551256463 数据结构的动态分析 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 G.arcs如下：012345 0 1 2 3 4 5 算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：3.算法的实现：iclosedge012345UV-UKadjvexlowcostv10v16v11v15v1v1v1v2,v3,v4,v5,v601234501G.vexs:v1v2v3v4v5v6 0 1 2 3 4 5 第12页，共35页，编辑于2022年，星期五一、最小生成树一、最小生成树v1v2v3v4v5v66551256463 数据结构的动态分析 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 G.arcs如下：012345 0 1 2 3 4 5 算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：3.算法的实现：iclosedge012345UV-UKadjvexlowcostv10v16v11v15v1v1v1v2,v3,v4,v5,v6201234501G.vexs:v1v2v3v4v5v6 0 1 2 3 4 5 打印(v1,v3),也即打印：(closedgek.adjvex，G.vexsk)第13页，共35页，编辑于2022年，星期五一、最小生成树一、最小生成树v1v2v3v4v5v66551256463 数据结构的动态分析 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 G.arcs如下：012345 0 1 2 3 4 5 算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：3.算法的实现：iclosedge012345UV-UKadjvexlowcostv10v16v10v15v1v1v1v2,v3,v4,v5,v6201234501G.vexs:v1v2v3v4v5v6 0 1 2 3 4 5 用二维数组的第K行与这里的lowcost行中的元素依次比较，若发现距离变小了，则用小值替代大值，且用G.vexsK 的值的值(即v3)取代相应的adjvex的值。第14页，共35页，编辑于2022年，星期五一、最小生成树一、最小生成树v1v2v3v4v5v66551256463 数据结构的动态分析 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 G.arcs如下：012345 0 1 2 3 4 5 算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：3.算法的实现：iclosedge012345UV-UKadjvexlowcostv10v35v10v15v36v34v1v2,v4,v5,v6201234501G.vexs:v1v2v3v4v5v6 0 1 2 3 4 5 第15页，共35页，编辑于2022年，星期五一、最小生成树一、最小生成树v1v2v3v4v5v66551256463 数据结构的动态分析 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 G.arcs如下：012345 0 1 2 3 4 5 算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：3.算法的实现：iclosedge012345UV-UKadjvexlowcostv10v35v10v15v36v34v1,v3v2,v4,v5,v601234501G.vexs:v1v2v3v4v5v6 0 1 2 3 4 5 第16页，共35页，编辑于2022年，星期五一、最小生成树一、最小生成树v1v2v3v4v5v66551256463 数据结构的动态分析 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 G.arcs如下：012345 0 1 2 3 4 5 算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：3.算法的实现：iclosedge012345UV-UKadjvexlowcostv10v35v10v15v36v34v1,v3v2,v4,v5,v6501234501G.vexs:v1v2v3v4v5v6 0 1 2 3 4 5 打印(v3,v6),也即打印：(closedge5.adjvex，G.vexs5)第17页，共35页，编辑于2022年，星期五一、最小生成树一、最小生成树v1v2v3v4v5v66551256463 数据结构的动态分析 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 G.arcs如下：012345 0 1 2 3 4 5 算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：3.算法的实现：iclosedge012345UV-UKadjvexlowcostv10v35v10v15v36v30v1,v3v2,v4,v5,v6501234501G.vexs:v1v2v3v4v5v6 0 1 2 3 4 5 用二维数组的第K行与这里的lowcost行中的元素依次比较，若发现距离变小了，则用小值替代大值，且用G.vexsK 的值的值(即v6)取代相应的adjvex的值。第18页，共35页，编辑于2022年，星期五一、最小生成树一、最小生成树v1v2v3v4v5v66551256463 数据结构的动态分析 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 G.arcs如下：012345 0 1 2 3 4 5 算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：3.算法的实现：iclosedge012345UV-UKadjvexlowcostv10v35v10v62v36v30v1,v3,v6v2,v4,v5501234501G.vexs:v1v2v3v4v5v6 0 1 2 3 4 5 第19页，共35页，编辑于2022年，星期五一、最小生成树一、最小生成树v1v2v3v4v5v66551256463 数据结构的动态分析 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 G.arcs如下：012345 0 1 2 3 4 5 算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：3.算法的实现：iclosedge012345UV-UKadjvexlowcostv10v35v10v62v36v30v1,v3,v6v2,v4,v501234501G.vexs:v1v2v3v4v5v6 0 1 2 3 4 5 第20页，共35页，编辑于2022年，星期五一、最小生成树一、最小生成树v1v2v3v4v5v66551256463 数据结构的动态分析 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 G.arcs如下：012345 0 1 2 3 4 5 算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：3.算法的实现：iclosedge012345UV-UKadjvexlowcostv10v35v10v62v36v30v1,v3,v6v2,v4,v5301234501G.vexs:v1v2v3v4v5v6 0 1 2 3 4 5 打印(v6,v4),也即打印：(closedge3.adjvex，G.vexs3)第21页，共35页，编辑于2022年，星期五一、最小生成树一、最小生成树v1v2v3v4v5v66551256463 数据结构的动态分析 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 G.arcs如下：012345 0 1 2 3 4 5 算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：3.算法的实现：iclosedge012345UV-UKadjvexlowcostv10v35v10v60v36v30v1,v3,v6v2,v4,v5301234501G.vexs:v1v2v3v4v5v6 0 1 2 3 4 5 用二维数组的第K行与这里的lowcost行中的元素依次比较，若发现距离变小了，则用小值替代大值，且用G.vexsK 的值的值(即v4)取代相应的adjvex的值。第22页，共35页，编辑于2022年，星期五一、最小生成树一、最小生成树v1v2v3v4v5v66551256463 数据结构的动态分析 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 G.arcs如下：012345 0 1 2 3 4 5 算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：3.算法的实现：iclosedge012345UV-UKadjvexlowcostv10v35v10v60v36v30v1,v3,v6,v4v2,v501234501G.vexs:v1v2v3v4v5v6 0 1 2 3 4 5 第23页，共35页，编辑于2022年，星期五一、最小生成树一、最小生成树v1v2v3v4v5v66551256463 数据结构的动态分析 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 G.arcs如下：012345 0 1 2 3 4 5 算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：3.算法的实现：iclosedge012345UV-UKadjvexlowcostv10v35v10v60v36v30v1,v3,v6,v4v2,v5101234501G.vexs:v1v2v3v4v5v6 0 1 2 3 4 5 打印(v3,v2),也即打印：(closedge1.adjvex，G.vexs1)第24页，共35页，编辑于2022年，星期五一、最小生成树一、最小生成树v1v2v3v4v5v66551256463 数据结构的动态分析 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 G.arcs如下：012345 0 1 2 3 4 5 算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：3.算法的实现：iclosedge012345UV-UKadjvexlowcostv10v30v10v60v36v30v1,v3,v6,v4v2,v5101234501G.vexs:v1v2v3v4v5v6 0 1 2 3 4 5 用二维数组的第K行与这里的lowcost行中的元素依次比较，若发现距离变小了，则用小值替代大值，且用G.vexsK 的值的值(即v2)取代相应的adjvex的值。第25页，共35页，编辑于2022年，星期五一、最小生成树一、最小生成树v1v2v3v4v5v66551256463 数据结构的动态分析 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 G.arcs如下：012345 0 1 2 3 4 5 算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：3.算法的实现：iclosedge012345UV-UKadjvexlowcostv10v30v10v60v23v30v1,v3,v6,v4,v2v501234501G.vexs:v1v2v3v4v5v6 0 1 2 3 4 5 第26页，共35页，编辑于2022年，星期五一、最小生成树一、最小生成树v1v2v3v4v5v66551256463 数据结构的动态分析 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 G.arcs如下：012345 0 1 2 3 4 5 算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：3.算法的实现：iclosedge012345UV-UKadjvexlowcostv10v30v10v60v23v30v1,v3,v6,v4,v2v5401234501G.vexs:v1v2v3v4v5v6 0 1 2 3 4 5 打印(v2,v5),也即打印：(closedge4.adjvex，G.vexs4)第27页，共35页，编辑于2022年，星期五一、最小生成树一、最小生成树v1v2v3v4v5v66551256463 数据结构的动态分析 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5 6 5 2 3 6 6 4 2 6 G.arcs如下：012345 0 1 2 3 4 5 算法执行期间一维数组closedge的动态变化过程：3.算法的实现：iclosedge012345UV-UKadjvexlowcostv10v30v10v60v20v30v1,v3,v6,v4,v2,v501234501G.vexs:v1v2v3v4v5v6 0 1 2 3 4 5 第28页，共35页，编辑于2022年，星期五一、最小生成树一、最小生成树3.算法的实现：算法程序第29页，共35页，编辑于2022年，星期五 算法程序1.1.复习图的数组表示法复习图的数组表示法(MGgraph)的定义#define INFINITY 10000 /INFINITY用以表示用以表示#define MAX_VERTEX_NUM 20 /最大顶点数最大顶点数enum GraphKind DG,DN,UDG,UDN;/枚举：有向图枚举：有向图,有向网有向网,无向图无向图,无向网无向网typedef struct ArcCell VRType adj;/VRType的类型视具体情况而定。对于带权图，的类型视具体情况而定。对于带权图，adj用以存用以存 /放边或弧上的权值放边或弧上的权值;对于无权图，对于无权图，adj用以存放用以存放0或或1(int类型类型)/InfoType *info;/一般情况下可以不使用该项一般情况下可以不使用该项 ArcCell,AdjMatrix MAX_VERTEX_NUM,MAX_VERTEX_NUM;/AdiMatrix是一个类型为是一个类型为ArcCell的二维数组的二维数组,用以存放弧或边的邻接关系或权值用以存放弧或边的邻接关系或权值typedef struct VertexType vexs MAX_VERTEX_NUM ;/VertexType是顶点值的类型是顶点值的类型 /一维数组一维数组vexs用以存放各顶点的值用以存放各顶点的值 AdjMatrix arcs;/二维数组二维数组arcs存放边或弧上的信息（如权值）存放边或弧上的信息（如权值）int vexnum,arcnum;/这两项分别存放图的顶点数目和弧的条数这两项分别存放图的顶点数目和弧的条数 GraphKind kind;/kind用以存放图的种类标志用以存放图的种类标志 MGraph第30页，共35页，编辑于2022年，星期五 算法程序typedef struct Adjvexlowcost VertexType adjvex;int lowcost;Adjvexlowcost,ALListMAX_VERTEX_NUM;ALList closedge;/定义一个一维数组，其每个数组下标变量 /closedgei均有两个分量：adjvex 和lowcost /closedgei.lowcost记录了vi到U的最短距离 /closedgei.adjvex记录了vi到U的这个最短距依赖U中哪个顶点2.求图的最小生成树的辅助一维数组求图的最小生成树的辅助一维数组 closedge的定义 第31页，共35页，编辑于2022年，星期五 算法程序void MiniSpanTree_PRIM(MGraph G,VertexType u)k=locateVex(G,u);/在G.vexs0.G.vexnum-1中查找u,将u的序号作为返回值 closedgek.adjvex=u;closedgek.lowcost=0;/将u并入到U中 for(j=0;jG.vexnum;+j)/将邻接矩阵的第k行(如选u=v1,则k=0)作为数组 /closedge的初值 if (!j=k)closedgej.adjvex=u;closedgej.lowcost=G.arcskj.adj;for(i=1;iG.vexnum;+i)/在无向网中找出n-1条边构成最小生成树 k=minimum(closedge);/在数组closedge中查找一个k使得 /closedgek.lowcost是最小的且不等于0 printf(closedgek.adjvex,G.vexk);/输出找到的一条最小代价边 closedgek.lowcost=0;/将vk+1添加到U中 for(j=0;jG.vexnum;+j)/用邻接矩阵的第k行及vk+1修改closedge if (G.arcskj.adj)closedgej.lowcost)closedgej.adjvex=G.vexsk;closedgej.lowcost=G.arcskj.adj;第32页，共35页，编辑于2022年，星期五void MiniSpanTree_PRIM(MGraph G,VertexType u)k=locateVex(G,u);/在G.vexs0.G.vexnum-1中查找u,将u的序号作为返回值 closedgek.adjvex=u;closedgek.lowcost=0;/将u并入到U中 for(j=0;jG.vexnum;+j)/将邻接矩阵的第k行(如选u=v1,则k=0)作为数组 /closedge的初值 if (!j=k)closedgej.adjvex=u;closedgej.lowcost=G.arcskj.adj;for(i=1;iG.vexnum;+i)/在无向网中找出n-1条边构成最小生成树 k=minimum(closedge);/在数组closedge中查找一个k使得 /closedgek.lowcost是最小的且不等于0 printf(closedgek.Adjvex,G.vexk);/输出找到的一条最小代价边 closedgek.lowcost=0;/将vk+1添加到U中 for(j=0;jG.vexnum;+j)/用邻接矩阵的第k行及vk+1修改closedge if (G.arcskj.adj)closedgej.lowcost)closedgej.adjvex=G.vexsk;closedgej.lowcost=G.arcskj.adj;/MiniSpanTree_PRIM第33页，共35页，编辑于2022年，星期五void MiniSpanTree_PRIM(MGraph G,VertexType u)k=locateVex(G,u);/在G.vexs0.G.vexnum-1中查找u,将u的序号作为返回值 closedgek.adjvex=u;closedgek.lowcost=0;/将u并入到U中 for(j=0;jG.vexnum;+j)/将邻接矩阵的第k行(如选u=v1,则k=0)作为数组 /closedge的初值 if (!j=k)closedgej.adjvex=u;closedgej.lowcost=G.arcskj.adj;for(i=1;iG.vexnum;+i)/在无向网中找出n-1条边构成最小生成树 k=minimum(closedge);/在数组closedge中查找一个k使得 /closedgek.lowcost是最小的且不等于0 printf(closedgek.Adjvex,G.vexk);/输出找到的一条最小代价边 closedgek.lowcost=0;/将vk+1添加到U中 for(j=0;jG.vexnum;+j)/用邻接矩阵的第k行及vk+1修改closedge if (G.arcskj.adj)closedgej.lowcost)closedgej.adjvex=G.vexsk;closedgej.lowcost=G.arcskj.adj;/MiniSpanTree_PRIMint minimum(ALList closedge)int k=-1;mini=1000;for(j=0;jG.vexnum;+j)if (closedgej.lowcost!=0&closedgej.lowcostmini)mini=closedgej.lowcost;k=j;return k;/minimum第34页，共35页，编辑于2022年，星期五End第35页，共35页，编辑于2022年，星期五
