矢量分析与场论讲义.pptx
一一、场的概念场的概念 场是用空间位置函数来表征的。若对全空间或其中某一区域 V 中每一点 M,都有一 个数量 (或矢量)与之对应,则称在 V 上确定了一个 数量场 (或矢量场).场都是矢量场。例如:温度场和密度场都是数量场,重力场和速度若场中物理量在各点处的对应值不随时间变化，就称为稳定场，否则，称为不稳定场。第1页/共119页注 引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来 进行计算和研究它的性质.2.2.场的性质是它本身的属性,和坐标系的引进无关.1.1.场的特点：分布于整个空间，看不见，摸不着，只能借助仪器 进行观察测量，靠人脑去想像其分布情况；具有客观物质的一切特征，有质量、动量和能量。第2页/共119页3、描述方法 函数表示法：借助一定坐标系下的函数来表示场的分布。对矢量场，用 ；数量场常用 表述。几何表示法，也叫图示法：用能反映场性质和分布的一族曲线或曲面表示场的分布特征，分别称为矢量线（像电力线、磁力线）；等值面（像等温面，等位面）。第3页/共119页二、数量场、矢量场的描述方法二、数量场、矢量场的描述方法 以下讨论中总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数。因此给定了某个数量场就等于给定了一个数性函数 在引进了直角坐标系后,点 M 的位置可由坐标确定。同理,每个矢量场都与某个矢性函数 并假定它们有一阶连续偏导数。相对应.这里 为所定义区域上的数性函数,第4页/共119页数量场的等值面（线）：是由场中使u u取相同数值的点所组成的曲面。（c c值不同对应不同等值面）值不同对应不同等值面）等值面其方程为等值线等值线在某一高度上沿什么方向高度变化最快？直观表示数量u u在场中的分布。第5页/共119页以温度场为例：以温度场为例：热源热源等温面等温面等值面举例等值面举例可以看出：可以看出：数量场的函数是单值函数，各等值面数量场的函数是单值函数，各等值面是互不相交的。是互不相交的。第6页/共119页 矢量场的矢量线：矢量线上每一点处曲线与对应于该点的矢量相切。直观描述矢量在场中的分布情况。2.矢量线连续分布，一般互不相交。图2 矢量线ArMxyzol观察：1.1.在曲线上的每一点M处，场的矢量都位于该点处的切线上（如图所示），称其为矢量线。例：静电场电力线、磁场的磁力线、流速场中的流线等。第7页/共119页MA(r )drrO 矢量线的微分方程：M点位置矢量线l 微分 场矢量l第8页/共119页矢量线在这点的切线的方向余弦和矢量线上的 成比例，从而得到矢量线应满足的微分方程 在场矢量 不为零的条件下，由线性微分方程组的理论可知所考虑的整个场被矢量线所填满，而通过场中每一点有一条且只有一条这样的曲线，且过不同的点的两条矢量线没有公共点。例2 2 求矢量场的矢量线方程。第9页/共119页【例 1】设点电荷q q位于坐标原点，它在空间一点M(x,y,z)处所产生的电场强度矢量为 式中，q、均为常数，r=xi+yj+zk为M点的位置矢量。求E的矢量线方程并画出矢量线图。解题过程：解题过程：第10页/共119页图 点电荷的电场矢量线(P27)(P27)第11页/共119页2 2、方向导数、方向导数 方向导数是数性函数 在一点处沿任意方向 对距离的变化率，它的数值与所取 的方向有关，一般来说，在不同的方向上 的值是不同的，但它并不是矢量。如图所示，为场中的任意方向，M0是这个方向线上给定的一点，M为同一线上邻近的一点。M0M第12页/共119页 为M0 0和M之间的距离，从M0 0沿 到M的增量为若下列极限存在，则该极限值记作 ，称之为数量场 在M0 0处沿 的方向导数。第13页/共119页例题例1 1 求函数方向的方向导数。例3 3 设例4 4 求数量场方向的方向导数。第14页/共119页3 3、梯度、梯度 由于从一点出发，有无穷多个方向，即数量场沿某一确定方向取得 在该点的最大方向导数，则可引进梯度概念。在一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过一点 梯度：（场在某点的梯度为一矢量）它的大小等于所有方向导数的最大值，它的方向为取得最大值的方向。梯度(Gradient)第15页/共119页 梯度、方向导数与等值面当当 ,即即 与与 方向一致时方向一致时,为最大。为最大。第16页/共119页 总结：数量场梯度的性质（1）数量场沿任一方向的方向导数等于梯度在该方向的投影。（2）数量场在任一点的梯度垂直于过该点的等值面，且指向场增大的一方。（注意：等值面的法向有两个）（3）一个数量场的梯度（一旦）确定，则该数量场也随之确定，最多相差一个任意常数第21页/共119页 标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）数量场沿任一方向的方向导数等于梯度在该方向的投影。例例1 1 三维高度场的梯度三维高度场的梯度图 三维高度场的梯度例例2 2 电位场的梯度电位场的梯度图 电位场的梯度 梯度、方向导数与等值面第22页/共119页3 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 第24页/共119页1、通量通量 一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量场 方向通过 的流量是dQ，而dQ是以ds为底，以v cos为高的斜柱体的体积，即称为矢量 通过面元 的通量。对于有向曲面s，总可以将s分成许多足够小的面元 ，于是ds第25页/共119页通过曲面s的通量ff即为每一面元通量之和对于闭合曲面s，通量ff为向量场 沿选定方向的曲面S的面积分定义称为 向曲面指定一侧穿过曲面S的通量。第26页/共119页例题例1 1 设由矢径圆锥面曲面S。P55 3.求矢量场所围成的封闭有一由第27页/共119页如果曲面s是闭合的，并规定曲面法矢由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：第28页/共119页（）（）（）表示有净的矢量线流入，闭合面内有吸收矢量线的负源；表示有净的矢量线流出，闭合面内有产生矢量线的正源；表示流入和流出闭合曲面的矢量线相等或没有矢量线流入、流出闭合曲面第29页/共119页闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系 若S S 为闭合曲面，可根据净通量 的大小判断闭合面中源的性质:0(有正源有正源)0(有负有负源源)=0 (无源无源)第30页/共119页2、散度、散度 设封闭曲面s所包围的体积为 ，则 就是矢量场 在 中单位体积的平均通量，或者 平均发散量。当闭合曲面s及其所包围的体积 向 其内某点 收缩时，若平均发散量的极限值存在，便记作称为矢量场 在该点的散度(div是divergence的缩写)。第31页/共119页 散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度，当div ，表示该点有散发通量的正源；当div ，表示该点有吸收通量的负源；当div ，表示该点为无源场。的散度为定理 重重点点散度(Divergence)的表达式第32页/共119页 直接从散度的定义出发，不难得到矢量场 在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲 面所包含体积中矢量场散度的积分。上式称为矢量场的Gauss定理。积分的Gauss定理注：它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分，反之亦然。第33页/共119页4 矢量场的环量及旋度矢量场的环量及旋度(Rotation)第35页/共119页1.1.矢量场的环量定义：线矢量l:矢量场A中的 一条封闭的有向曲线 环量：（图2 2）性质：是标量 0，l 内有旋涡源 =0，l 内无旋涡源图2 矢量场的环量(P56(P56)第36页/共119页定义线积分向量场 沿空间有向闭曲线 l 的称为 沿闭曲线l的环量。环量的表达式 图3 闭合曲线方向与面元的 方向示意图(P59)(P59)定义：若 存在，则 称此极限为矢量场 A沿l之正向的环量 在点P处沿n方向的 环量面密度。第37页/共119页性质：l围成的面元法矢量 旋涡面的方向矢量R在任意面元方向上的投影就给出该方向的环量面密度方向为环量面密度最大的方向；模为最大环量面密度的值 旋度的定义定义：固定矢量R为矢量A的旋度，记作：rot A=R重合，最大重合，最大夹角，中间值夹角，中间值垂直，垂直，0 0R旋度矢量旋度矢量第38页/共119页图4 旋度及其投影 旋度矢量R在n方向的投影:第39页/共119页定义 向量场的旋度定义为 旋度(Rotation or Curl)简单地说,旋度是个矢量，它的物理意义是场在该矢量方向上旋转性的强弱。第42页/共119页l利用环量与旋度(它可以从整体上描述场旋转的强度)，我们可以用向量的形式重写Stokes公式。第43页/共119页小结小结1、散度（流出的量）发散源发散源 通量即该矢量(的垂直平面分量)穿过平面的大小 一般点的散度为0，散度不为0的点表示该点有提供源(source)散度是标量，物理意义为通量源密度，可以从Gauss公式理解 散度为零，说明是无源场；散度不为零时，则说明是有源场（有正源或负源）矢量场矢量场第44页/共119页2、旋度（没有流出的量）旋涡源旋涡源 旋度即该矢量(的平行平面分量)沿平面的大小密度(即大小/面积)旋度不为0 0表示有量在该平面“逗留”旋度是矢量；其物理意义为环量密度，可以从StokesStokes公式里理解 旋度为零，说明是无旋场；旋度不为零时，则说明是有旋场 第45页/共119页一、无旋场一、无旋场 5 几种重要的矢量场第46页/共119页无旋场无旋场有势场有势场保守场保守场第47页/共119页空心球体环面体第48页/共119页二、无源场二、无源场矢量管：矢量线构成的管形曲线（矢量线与曲面重合）第49页/共119页第50页/共119页矢量场的Helmholtz定理 空间区域V上的任意矢量场，如果它的散度、旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一无源矢量场的叠加，即：第51页/共119页三、管形场与有势场三、管形场与有势场 式知道,此时沿任何封闭曲面的曲面积分都等于零.中作一矢量管(图2),即由矢量线围成的管状的 若一个矢量场 的散度恒 为零,即 我们曾 称 为无源场.从高斯公 我们又把 称作管形场.这是因为,若在矢量场 曲面.用断面 去截它,以 表示所截出的管 第52页/共119页的表面,这就得到了由所围成的封闭曲面 S.于是由(1)式得出而矢量线与曲面的法线正交,所以第53页/共119页这等式说明了流体通过矢量管的任意断面的流量是 间单连通区域内沿任何封闭曲线的曲线积分都等于 相同的,所以把场 称为管形场.若一个矢量场 的旋度恒为零,即 我们在 前面称 为无旋场.从斯托克斯公式知道,这时在空 零,这种场也称为有势场.这是因为当 时,第54页/共119页由定理1推得空间曲线积分与路线无关,且存在某函数,使得即 则必存在某个势函数 v,使得这也是一 个矢量场是某个数量场的梯度场的充要条件.通常称v=-u 为势函数.因此若某矢量场 的旋度为零,第55页/共119页若一个矢量场既是管量场,又是有势场,则称这个矢 量场为调和场.若 是一个调和场,则必有 即必有u 满足 这时称函数 u 为调和函数.也有v=-u 为调和函数。显然第56页/共119页例4验证向量场是有势场，并求其势函数.解因所以，为有势场。以下介绍两种求势函数势函数方法。在积分与路径无关条件下，选择特殊路径，用线积分求势函数法.方法方法1 1第62页/共119页此例选积分路径由yxo即：是 的一个原函数 (力函数)。第63页/共119页势函数一般表达式为：用偏积分偏积分求势函数.要求函数即亦即先对 式，视 为定数，两边对 积分：方法方法2第64页/共119页这个积分“常数”当然可能是 y 的函数，故记作将(c)式两端对 y求导,并与(b)式比较，得：代入(c)式第65页/共119页感谢您的观看！第119页/共119页
