质点运动微分方程.pptx

引引 言言回顾回顾回顾回顾 静力学研究物体在力系作用下的平衡规律及力系的简化；静力学研究物体在力系作用下的平衡规律及力系的简化；静力学研究物体在力系作用下的平衡规律及力系的简化；静力学研究物体在力系作用下的平衡规律及力系的简化；运动学从几何观点研究物体的运动，而不涉及物体所受的力；运动学从几何观点研究物体的运动，而不涉及物体所受的力；运动学从几何观点研究物体的运动，而不涉及物体所受的力；运动学从几何观点研究物体的运动，而不涉及物体所受的力；动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。动力学就是从因果关系上论述物体的机械运动。是理论力动力学就是从因果关系上论述物体的机械运动。是理论力动力学就是从因果关系上论述物体的机械运动。是理论力动力学就是从因果关系上论述物体的机械运动。是理论力学中最具普遍意义的部分，静力学、运动学则是动力学的特学中最具普遍意义的部分，静力学、运动学则是动力学的特学中最具普遍意义的部分，静力学、运动学则是动力学的特学中最具普遍意义的部分，静力学、运动学则是动力学的特殊情况。殊情况。殊情况。殊情况。第1页/共27页低速、宏观物体的机械运动的普遍规律。低速、宏观物体的机械运动的普遍规律。低速、宏观物体的机械运动的普遍规律。低速、宏观物体的机械运动的普遍规律。动力学的研究对象：动力学的研究对象：动力学的研究对象：动力学的研究对象：动力学的理论基础：动力学的理论基础：动力学的理论基础：动力学的理论基础：牛顿定律的适用范围（牛顿定律的适用范围（牛顿定律的适用范围（牛顿定律的适用范围（1 1）不适于微观物体；（）不适于微观物体；（）不适于微观物体；（）不适于微观物体；（2 2）物体的运动速）物体的运动速）物体的运动速）物体的运动速度不能太大。度不能太大。度不能太大。度不能太大。牛顿的运动三定律，简称牛顿定律或动力学基本定律牛顿的运动三定律，简称牛顿定律或动力学基本定律牛顿的运动三定律，简称牛顿定律或动力学基本定律牛顿的运动三定律，简称牛顿定律或动力学基本定律 动力学分为质点动力学和质点系动力学：动力学分为质点动力学和质点系动力学：动力学分为质点动力学和质点系动力学：动力学分为质点动力学和质点系动力学：质点：具有一定质量而几何形状和大小可以忽略不计的物体。质点：具有一定质量而几何形状和大小可以忽略不计的物体。质点：具有一定质量而几何形状和大小可以忽略不计的物体。质点：具有一定质量而几何形状和大小可以忽略不计的物体。质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。质质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。质质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。质质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。质点系可分为不变质点系（如单个刚体）和可变质点系（如刚体点系可分为不变质点系（如单个刚体）和可变质点系（如刚体点系可分为不变质点系（如单个刚体）和可变质点系（如刚体点系可分为不变质点系（如单个刚体）和可变质点系（如刚体系统）系统）系统）系统）本课程重点放在质点系动力学。本课程重点放在质点系动力学。本课程重点放在质点系动力学。本课程重点放在质点系动力学。第2页/共27页牛 顿 牛顿在光学上的主要贡献是发牛顿在光学上的主要贡献是发牛顿在光学上的主要贡献是发牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由现了太阳光是由现了太阳光是由现了太阳光是由7 7 7 7种不同颜色的光合种不同颜色的光合种不同颜色的光合种不同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。成的，他提出了光的微粒说。成的，他提出了光的微粒说。成的，他提出了光的微粒说。牛顿在数学上的主要贡献是与牛顿在数学上的主要贡献是与牛顿在数学上的主要贡献是与牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地发明了微积分，莱布尼兹各自独立地发明了微积分，莱布尼兹各自独立地发明了微积分，莱布尼兹各自独立地发明了微积分，给出了二项式定理。给出了二项式定理。给出了二项式定理。给出了二项式定理。牛顿在力学上最重要的贡献，牛顿在力学上最重要的贡献，牛顿在力学上最重要的贡献，牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然科学的最重要也是牛顿对整个自然科学的最重要也是牛顿对整个自然科学的最重要也是牛顿对整个自然科学的最重要贡献是他的巨著贡献是他的巨著贡献是他的巨著贡献是他的巨著自然哲学的数学自然哲学的数学自然哲学的数学自然哲学的数学原理原理原理原理。这本书出版于。这本书出版于。这本书出版于。这本书出版于1687168716871687年，书年，书年，书年，书中提出了万有引力理论并且系统总中提出了万有引力理论并且系统总中提出了万有引力理论并且系统总中提出了万有引力理论并且系统总结了前人对动力学的研究成果，后结了前人对动力学的研究成果，后结了前人对动力学的研究成果，后结了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总结的经典力学系统人将这本书所总结的经典力学系统人将这本书所总结的经典力学系统人将这本书所总结的经典力学系统称为牛顿力学。称为牛顿力学。称为牛顿力学。称为牛顿力学。第3页/共27页解决动力学两类基本问题的途径：解决动力学两类基本问题的途径：解决动力学两类基本问题的途径：解决动力学两类基本问题的途径：直接应用牛顿定律建立质点的运动微分方程；直接应用牛顿定律建立质点的运动微分方程；直接应用牛顿定律建立质点的运动微分方程；直接应用牛顿定律建立质点的运动微分方程；综合应用动力学普遍定理；综合应用动力学普遍定理；综合应用动力学普遍定理；综合应用动力学普遍定理；应用达朗贝尔定理。应用达朗贝尔定理。应用达朗贝尔定理。应用达朗贝尔定理。应用动力学普遍方程和拉格朗日方程。应用动力学普遍方程和拉格朗日方程。应用动力学普遍方程和拉格朗日方程。应用动力学普遍方程和拉格朗日方程。牛顿力学牛顿力学牛顿力学牛顿力学分析力学分析力学分析力学分析力学动力学的主要任务（解决的基本问题）：动力学的主要任务（解决的基本问题）：动力学的主要任务（解决的基本问题）：动力学的主要任务（解决的基本问题）：第一类：已知物体的运动规律，求作用在此物体上的力；第一类：已知物体的运动规律，求作用在此物体上的力；第一类：已知物体的运动规律，求作用在此物体上的力；第一类：已知物体的运动规律，求作用在此物体上的力；第二类：已知作用在物体上的力求此物体产生什么样的运动。第二类：已知作用在物体上的力求此物体产生什么样的运动。第二类：已知作用在物体上的力求此物体产生什么样的运动。第二类：已知作用在物体上的力求此物体产生什么样的运动。第4页/共27页第九章第九章 质点动力学的基本方程质点动力学的基本方程9-1 动力学的基本定律动力学的基本定律9-2 质点的运动微分方程质点的运动微分方程9-3 质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题第5页/共27页 第一定律（惯性定律）第一定律（惯性定律）第一定律（惯性定律）第一定律（惯性定律）9-1 动力学的基本定律不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。本定律揭示了一切物体均有保持静止或作匀速直线运动本定律揭示了一切物体均有保持静止或作匀速直线运动本定律揭示了一切物体均有保持静止或作匀速直线运动本定律揭示了一切物体均有保持静止或作匀速直线运动 的性质，即惯性。的性质，即惯性。的性质，即惯性。的性质，即惯性。说明：说明：说明：说明：匀速直线运动称为惯性运动。匀速直线运动称为惯性运动。匀速直线运动称为惯性运动。匀速直线运动称为惯性运动。明确了力是改变（而不是维持！）物体运动的原因。明确了力是改变（而不是维持！）物体运动的原因。明确了力是改变（而不是维持！）物体运动的原因。明确了力是改变（而不是维持！）物体运动的原因。第6页/共27页 第二定律（力与加速度之间的关系的定律）第二定律（力与加速度之间的关系的定律）第二定律（力与加速度之间的关系的定律）第二定律（力与加速度之间的关系的定律）质质质质点点点点的的的的质质质质量量量量与与与与加加加加速速速速度度度度的的的的乘乘乘乘积积积积，等等等等于于于于作作作作用用用用于于于于质质质质点点点点的的的的力力力力的的的的大大大大小小小小，加速度的方向与力的方向相同。加速度的方向与力的方向相同。加速度的方向与力的方向相同。加速度的方向与力的方向相同。即即即即 此式建立了质点的加速度、质量与作用力之间此式建立了质点的加速度、质量与作用力之间此式建立了质点的加速度、质量与作用力之间此式建立了质点的加速度、质量与作用力之间 的定量关系。的定量关系。的定量关系。的定量关系。质量是质点惯性的度量。质量是质点惯性的度量。质量是质点惯性的度量。质量是质点惯性的度量。说明：说明：说明：说明：在地球表面，物体受重力作用，有在地球表面，物体受重力作用，有在地球表面，物体受重力作用，有在地球表面，物体受重力作用，有G=G=m mg g式中，式中，式中，式中，g g 重力加速度，一般取重力加速度，一般取重力加速度，一般取重力加速度，一般取 g g =9.80 m/s=9.80 m/s2 2。质量和重质量和重质量和重质量和重量区别？量区别？量区别？量区别？第7页/共27页 第三定律（作用与反作用定律）第三定律（作用与反作用定律）第三定律（作用与反作用定律）第三定律（作用与反作用定律）两两两两个个个个物物物物体体体体间间间间的的的的作作作作用用用用力力力力与与与与反反反反作作作作用用用用力力力力总总总总是是是是大大大大小小小小相相相相等等等等，方方方方向向向向相相相相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。动力学基本定律说明：动力学基本定律说明：动力学基本定律说明：动力学基本定律说明：（1 1 1 1）牛顿三定律适用的坐标系称为惯性坐标系。）牛顿三定律适用的坐标系称为惯性坐标系。）牛顿三定律适用的坐标系称为惯性坐标系。）牛顿三定律适用的坐标系称为惯性坐标系。工工工工程程程程问问问问题题题题中中中中，取取取取固固固固于于于于地地地地面面面面或或或或相相相相对对对对于于于于地地地地面面面面作作作作匀匀匀匀速速速速直直直直线线线线运运运运动动动动的坐标系为惯性坐标系，的坐标系为惯性坐标系，的坐标系为惯性坐标系，的坐标系为惯性坐标系，（2 2 2 2）以牛顿三定律为基础的力学称为古典力学。）以牛顿三定律为基础的力学称为古典力学。）以牛顿三定律为基础的力学称为古典力学。）以牛顿三定律为基础的力学称为古典力学。第8页/共27页9-2 质点的运动微分方程xozyrijkF1FnFiaFRa aa M根根根根据据据据牛牛牛牛顿顿顿顿第第第第二二二二定定定定律律律律，若若若若质质质质点点点点MM的的的的质质质质量量量量为为为为mm，受，受，受，受n n个力个力个力个力F F1 1,F F2 2,.,.,F Fn n作用，作用，作用，作用，或或或或而而而而则则则则矢量形式的质点运动微分方程。矢量形式的质点运动微分方程。则有则有则有则有第9页/共27页1.1.质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影xozyrijkF1FnFiaFRa a a M将式将式将式将式向坐标轴投影，得向坐标轴投影，得向坐标轴投影，得向坐标轴投影，得直角坐标形式的质点运动微分方程直角坐标形式的质点运动微分方程第10页/共27页2.2.质点运动微分方程在自然轴上的投影质点运动微分方程在自然轴上的投影质点运动微分方程在自然轴上的投影质点运动微分方程在自然轴上的投影bnaF()()m在质点在质点在质点在质点MM的运动轨迹上建立自然轴系的运动轨迹上建立自然轴系的运动轨迹上建立自然轴系的运动轨迹上建立自然轴系MM bnbn，根据点的运动学知，质点的加速度在运动根据点的运动学知，质点的加速度在运动根据点的运动学知，质点的加速度在运动根据点的运动学知，质点的加速度在运动轨迹的密切面内，即轨迹的密切面内，即轨迹的密切面内，即轨迹的密切面内，即所以作用在该质点上力系的合力也应该在此密切面内，所以作用在该质点上力系的合力也应该在此密切面内，所以作用在该质点上力系的合力也应该在此密切面内，所以作用在该质点上力系的合力也应该在此密切面内，则则则则自然轴系的质点运动微分方程自然轴系的质点运动微分方程第11页/共27页9-3 质点动力学的两类基本问题第一类基本问题：第一类基本问题：第一类基本问题：第一类基本问题：已知质点的运动，求此质点所受的力。已知质点的运动，求此质点所受的力。已知质点的运动，求此质点所受的力。已知质点的运动，求此质点所受的力。如如如如果果果果知知知知道道道道质质质质点点点点的的的的运运运运动动动动规规规规律律律律，通通通通过过过过导导导导数数数数运运运运算算算算，求求求求出出出出该该该该质质质质点点点点的的的的速速速速度度度度和和和和加加加加速速速速度度度度，代代代代入入入入质质质质点点点点的的的的运运运运动动动动微微微微分分分分方方方方程程程程，得得得得一一一一代代代代数数数数方方方方程程程程组，即可求解。组，即可求解。组，即可求解。组，即可求解。第二类基本问题：已知作用在质点上的力，求解此质点的运动。第二类基本问题：已知作用在质点上的力，求解此质点的运动。第二类基本问题：已知作用在质点上的力，求解此质点的运动。第二类基本问题：已知作用在质点上的力，求解此质点的运动。求解质点动力学的第二类基本问题，如求质点的速度、运求解质点动力学的第二类基本问题，如求质点的速度、运求解质点动力学的第二类基本问题，如求质点的速度、运求解质点动力学的第二类基本问题，如求质点的速度、运动方程等，归结为解微分方程或求积分问题，还需确定相应的动方程等，归结为解微分方程或求积分问题，还需确定相应的动方程等，归结为解微分方程或求积分问题，还需确定相应的动方程等，归结为解微分方程或求积分问题，还需确定相应的积分常数。因此，需按作用力的函数规律进行积分，并根据具积分常数。因此，需按作用力的函数规律进行积分，并根据具积分常数。因此，需按作用力的函数规律进行积分，并根据具积分常数。因此，需按作用力的函数规律进行积分，并根据具体问题的运动条件确定积分常数。在实际问题中，只有在一些体问题的运动条件确定积分常数。在实际问题中，只有在一些体问题的运动条件确定积分常数。在实际问题中，只有在一些体问题的运动条件确定积分常数。在实际问题中，只有在一些比较特殊的情况下，能解出微分方程，获得解析解；更多情况比较特殊的情况下，能解出微分方程，获得解析解；更多情况比较特殊的情况下，能解出微分方程，获得解析解；更多情况比较特殊的情况下，能解出微分方程，获得解析解；更多情况下，往往只能通过逐步逼近或数值计算的方法，获得近似解或下，往往只能通过逐步逼近或数值计算的方法，获得近似解或下，往往只能通过逐步逼近或数值计算的方法，获得近似解或下，往往只能通过逐步逼近或数值计算的方法，获得近似解或数值解。数值解。数值解。数值解。注意：微分方程等号左边总设为正，等号右边是力在坐标轴上的投影，应注意：微分方程等号左边总设为正，等号右边是力在坐标轴上的投影，应注意投影的正负号。注意投影的正负号。第12页/共27页1 1、求质点的加速度、求质点的加速度、求质点的加速度、求质点的加速度yxoyx解：解：解：解：例题例题例题例题1 1 质点质点质点质点MM的质量为的质量为的质量为的质量为mm，运动方程是，运动方程是，运动方程是，运动方程是x x=bcostbcost,y y=dsintdsint，其中，其中，其中，其中b b,d d,为常量。求作用在此质点上的力。为常量。求作用在此质点上的力。为常量。求作用在此质点上的力。为常量。求作用在此质点上的力。ij2 2、求质点所受的力、求质点所受的力、求质点所受的力、求质点所受的力由由由由得得得得M第13页/共27页讨论：讨论：讨论：讨论：力的方向永远指向椭圆中心，为力的方向永远指向椭圆中心，为力的方向永远指向椭圆中心，为力的方向永远指向椭圆中心，为有心力有心力有心力有心力；力的大小与此质点至椭圆中心的距离成正比。力的大小与此质点至椭圆中心的距离成正比。力的大小与此质点至椭圆中心的距离成正比。力的大小与此质点至椭圆中心的距离成正比。易知：易知：易知：易知：求质点的轨迹方程：求质点的轨迹方程：求质点的轨迹方程：求质点的轨迹方程：从运动方程中消去从运动方程中消去从运动方程中消去从运动方程中消去 t t，得，得，得，得yxorijyxMF质点所受的力可表示为质点所受的力可表示为质点所受的力可表示为质点所受的力可表示为第14页/共27页例例例例2 2 2 2 在均匀的静止液体中，质量为在均匀的静止液体中，质量为在均匀的静止液体中，质量为在均匀的静止液体中，质量为m m m m 的物体的物体的物体的物体M M M M 从液面处从液面处从液面处从液面处无初速下沉。设液体阻力无初速下沉。设液体阻力无初速下沉。设液体阻力无初速下沉。设液体阻力F FR R =，其中，其中，其中，其中 为阻尼系数。试为阻尼系数。试为阻尼系数。试为阻尼系数。试分析该物体的运动规律及其特征。分析该物体的运动规律及其特征。分析该物体的运动规律及其特征。分析该物体的运动规律及其特征。解：为建立质点解：为建立质点 M M 的运动微的运动微分方程分方程,将参考坐标系的原点将参考坐标系的原点固结在该点的起始位置上，固结在该点的起始位置上，x x 轴铅直向下。该质点的受力轴铅直向下。该质点的受力图如图，则质点图如图，则质点M M的位移、速的位移、速度、加速度均设为沿度、加速度均设为沿x x 轴的轴的正方向。则运动微分方程为正方向。则运动微分方程为FR第15页/共27页FR令这就是这就是该物体下沉的运动规律。该物体下沉的运动规律。运动的起始条件为：运动的起始条件为：t=0时，时，v0=0，x0=0 第16页/共27页该物体下沉速度将趋近一极限值该物体下沉速度将趋近一极限值这个速度称之为物体在液体中自由下沉的这个速度称之为物体在液体中自由下沉的极限速度极限速度讨论：由此可以看出在阻尼系数基本相同的情况下（即物体的讨论：由此可以看出在阻尼系数基本相同的情况下（即物体的讨论：由此可以看出在阻尼系数基本相同的情况下（即物体的讨论：由此可以看出在阻尼系数基本相同的情况下（即物体的大小、形状基本相同时），物体的质量越大，它趋近于极限速大小、形状基本相同时），物体的质量越大，它趋近于极限速大小、形状基本相同时），物体的质量越大，它趋近于极限速大小、形状基本相同时），物体的质量越大，它趋近于极限速度度度度所需的时间越长。工程中的选矿、选种工作，就是应用了这所需的时间越长。工程中的选矿、选种工作，就是应用了这所需的时间越长。工程中的选矿、选种工作，就是应用了这所需的时间越长。工程中的选矿、选种工作，就是应用了这个道理。个道理。个道理。个道理。第17页/共27页例题例题例题例题3 3 已知桁车吊的重物重为已知桁车吊的重物重为已知桁车吊的重物重为已知桁车吊的重物重为G G，以匀速度，以匀速度，以匀速度，以匀速度v v0 0前进，绳长为前进，绳长为前进，绳长为前进，绳长为 l l。求突然刹车时，绳子所受的最大拉力。求突然刹车时，绳子所受的最大拉力。求突然刹车时，绳子所受的最大拉力。求突然刹车时，绳子所受的最大拉力。解：取重物为研究对象，解：取重物为研究对象，解：取重物为研究对象，解：取重物为研究对象，桁车突然刹车后，重物做圆弧摆动。桁车突然刹车后，重物做圆弧摆动。桁车突然刹车后，重物做圆弧摆动。桁车突然刹车后，重物做圆弧摆动。当其摆至当其摆至当其摆至当其摆至 角处，受力如图。角处，受力如图。角处，受力如图。角处，受力如图。由自然轴系的质点运动微分方程，由自然轴系的质点运动微分方程，由自然轴系的质点运动微分方程，由自然轴系的质点运动微分方程，有有有有(a)(a)(b)(b)可知，拉力可知，拉力可知，拉力可知，拉力 T T 与重物的速度与重物的速度与重物的速度与重物的速度 v v、摆角、摆角、摆角、摆角 有关，有关，有关，有关，v0TGnv对对对对(a)(a)式进行分离变量并积分：式进行分离变量并积分：式进行分离变量并积分：式进行分离变量并积分：l第18页/共27页(c)将将将将(c)(c)式代入式代入式代入式代入(b)(b)式，得式，得式，得式，得当当当当=0 =0 时，时，时，时，Gv0G GTGnvl第19页/共27页本例的实际指导意义：本例的实际指导意义：本例的实际指导意义：本例的实际指导意义：桁车行进的速度不宜过快；桁车行进的速度不宜过快；桁车行进的速度不宜过快；桁车行进的速度不宜过快；绳子不宜太短；绳子不宜太短；绳子不宜太短；绳子不宜太短；实际数据例如：实际数据例如：实际数据例如：实际数据例如：则可求得则可求得则可求得则可求得式中式中式中式中G G前的系数即动荷系数。前的系数即动荷系数。前的系数即动荷系数。前的系数即动荷系数。已求得：突然刹车时，绳子所已求得：突然刹车时，绳子所已求得：突然刹车时，绳子所已求得：突然刹车时，绳子所受的最大拉力为受的最大拉力为受的最大拉力为受的最大拉力为由此可知：由此可知：由此可知：由此可知：Gv0G GTGnvl第20页/共27页n例题例题例题例题4 4 粉碎机滚筒半径为粉碎机滚筒半径为粉碎机滚筒半径为粉碎机滚筒半径为R R，绕通过中心的水平轴匀速转动，筒，绕通过中心的水平轴匀速转动，筒，绕通过中心的水平轴匀速转动，筒，绕通过中心的水平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使铁球获得粉碎矿石的能内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使铁球获得粉碎矿石的能内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使铁球获得粉碎矿石的能内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使铁球获得粉碎矿石的能量，铁球应在量，铁球应在量，铁球应在量，铁球应在=0 0时才掉下来。求滚筒每分钟的转数时才掉下来。求滚筒每分钟的转数时才掉下来。求滚筒每分钟的转数时才掉下来。求滚筒每分钟的转数 n n。第21页/共27页 铁球在滚筒的带动下沿圆铁球在滚筒的带动下沿圆铁球在滚筒的带动下沿圆铁球在滚筒的带动下沿圆弧向上运动，当运动到一定高度时，将弧向上运动，当运动到一定高度时，将弧向上运动，当运动到一定高度时，将弧向上运动，当运动到一定高度时，将脱离筒壁沿抛物线下落；脱离筒壁沿抛物线下落；脱离筒壁沿抛物线下落；脱离筒壁沿抛物线下落；v质点在未离开筒壁前的速度等于筒壁的质点在未离开筒壁前的速度等于筒壁的质点在未离开筒壁前的速度等于筒壁的质点在未离开筒壁前的速度等于筒壁的速度，即速度，即速度，即速度，即解：解：解：解：研究对象：研究对象：研究对象：研究对象：运动分析：运动分析：运动分析：运动分析：铁球（视为质点），铁球（视为质点），铁球（视为质点），铁球（视为质点），受力分析：受力分析：受力分析：受力分析：质点在上升过程中受力有重力质点在上升过程中受力有重力质点在上升过程中受力有重力质点在上升过程中受力有重力mgmg、由由由由有有有有筒壁的法向反力筒壁的法向反力筒壁的法向反力筒壁的法向反力F FN N、筒壁的切向反力筒壁的切向反力筒壁的切向反力筒壁的切向反力F FS S。解得解得解得解得nFSmgFN第22页/共27页已求得滚筒转速为已求得滚筒转速为已求得滚筒转速为已求得滚筒转速为当当当当=0 0 时，铁球将落下，此时时，铁球将落下，此时时，铁球将落下，此时时，铁球将落下，此时 F FN N =0=0，得，得，得，得讨论：讨论：讨论：讨论：若若若若n n n n0 0，则，则，则，则 0 0，若若若若n n n n0 0，则，则，则，则 0 0，对离心浇铸，则要求对离心浇铸，则要求对离心浇铸，则要求对离心浇铸，则要求 n n n ncrcr。即铁球在低处落下；即铁球在低处落下；即铁球在低处落下；即铁球在低处落下；即铁球在高处落下；即铁球在高处落下；即铁球在高处落下；即铁球在高处落下；若若若若 时，时，时，时，=0=0 ，则铁球不再脱离筒壁落下。则铁球不再脱离筒壁落下。则铁球不再脱离筒壁落下。则铁球不再脱离筒壁落下。vnFSmgFN第23页/共27页例题例题例题例题5 5 发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。解：属于已知力是位置的函数的第二类问题。解：属于已知力是位置的函数的第二类问题。解：属于已知力是位置的函数的第二类问题。解：属于已知力是位置的函数的第二类问题。取火箭取火箭取火箭取火箭(质点质点质点质点)为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象,建立坐标如图示。建立坐标如图示。建立坐标如图示。建立坐标如图示。火箭在任意位置火箭在任意位置火箭在任意位置火箭在任意位置x x 处受地球引力处受地球引力处受地球引力处受地球引力F F 的作用。的作用。的作用。的作用。则在任意位置时的速度则在任意位置时的速度则在任意位置时的速度则在任意位置时的速度 即：即：即：即：第24页/共27页可见，可见，可见，可见，v v 随着随着随着随着 x x 的增加而减小。若则在某一位置的增加而减小。若则在某一位置的增加而减小。若则在某一位置的增加而减小。若则在某一位置x=R+H x=R+H 时速度将减小到零，火箭回落。若时，无论时速度将减小到零，火箭回落。若时，无论时速度将减小到零，火箭回落。若时，无论时速度将减小到零，火箭回落。若时，无论x x多大（甚至为多大（甚至为多大（甚至为多大（甚至为）,火箭也不会回落。因此脱离地球引力而一火箭也不会回落。因此脱离地球引力而一火箭也不会回落。因此脱离地球引力而一火箭也不会回落。因此脱离地球引力而一去不返去不返去不返去不返 时（）的最小初速度时（）的最小初速度时（）的最小初速度时（）的最小初速度（第二宇宙速度）（第二宇宙速度）（第二宇宙速度）（第二宇宙速度）第25页/共27页第26页/共27页感谢您的观看！第27页/共27页