弹性力学的变分解法精选PPT.ppt
关于弹性力学的变分解法第1页,讲稿共76张,创作于星期日泛函的定义及举例函数:对于变量x的某一变域中的每一个值,y都有唯一一个值与之相对应,那么变量y称作变量x的函数。记为:y=f(x)x称为函数的自变量。泛函:对于某一类函数y()中的每一个函数y(x),变量J都有一个值与之相对应,那么变量J称作依赖于函数y(x)的泛函。记为:J=J y(x)y(x)称为泛函的宗量。第2页,讲稿共76张,创作于星期日例子 第3页,讲稿共76张,创作于星期日第4页,讲稿共76张,创作于星期日第5页,讲稿共76张,创作于星期日第6页,讲稿共76张,创作于星期日第7页,讲稿共76张,创作于星期日第8页,讲稿共76张,创作于星期日泛函的极值泛函极值定理:若可微泛函Jy(x)在y0(x)上达到极值,则在y=y0(x)上的变分为零。即第9页,讲稿共76张,创作于星期日14.1 弹性体的虚功原理弹性体的虚功原理第10页,讲稿共76张,创作于星期日第11页,讲稿共76张,创作于星期日第12页,讲稿共76张,创作于星期日静力可能的应力与几何可能的位移第13页,讲稿共76张,创作于星期日第14页,讲稿共76张,创作于星期日高斯公式第15页,讲稿共76张,创作于星期日第16页,讲稿共76张,创作于星期日14.2 贝蒂互换定理贝蒂互换定理第17页,讲稿共76张,创作于星期日第18页,讲稿共76张,创作于星期日第19页,讲稿共76张,创作于星期日第20页,讲稿共76张,创作于星期日14.3 位移变分方程位移变分方程 最小势能原理最小势能原理第21页,讲稿共76张,创作于星期日第22页,讲稿共76张,创作于星期日第23页,讲稿共76张,创作于星期日第24页,讲稿共76张,创作于星期日第25页,讲稿共76张,创作于星期日第26页,讲稿共76张,创作于星期日第27页,讲稿共76张,创作于星期日第28页,讲稿共76张,创作于星期日第29页,讲稿共76张,创作于星期日14.4 最小势能原理推导以位移表示的平衡微分方程及边界条件第30页,讲稿共76张,创作于星期日第31页,讲稿共76张,创作于星期日第32页,讲稿共76张,创作于星期日第33页,讲稿共76张,创作于星期日第34页,讲稿共76张,创作于星期日第35页,讲稿共76张,创作于星期日第36页,讲稿共76张,创作于星期日 一、一、里兹(里兹(Ritz)法)法基本思想:基本思想:设定位移函数的表达形式,使其满足位移边界条件,其中含有若干设定位移函数的表达形式,使其满足位移边界条件,其中含有若干待定常数,然后利用最小势能原理待定常数,然后利用最小势能原理(位移变分方程位移变分方程)确定这些常数,确定这些常数,即得位移解。即得位移解。设选取的位移表达式如下:设选取的位移表达式如下:(a)其中:其中:为互不相关的为互不相关的 3m 个系数;个系数;为设定的函数,且在边界上有:为设定的函数,且在边界上有:为边界上取零值的设定函数为边界上取零值的设定函数 显然,上述函数满足位移边界显然,上述函数满足位移边界条件。条件。此时,位移的变分此时,位移的变分由系数由系数 Am、Bm、Cm的变分来实现。的变分来实现。与变分无关。与变分无关。14.5 基于最小势能原理的近似计算方法第37页,讲稿共76张,创作于星期日(b)位移的变分:位移的变分:形变势能的变分:形变势能的变分:由应变能计算式可知:由应变能计算式可知:(c)根据最小原理,有:根据最小原理,有:第38页,讲稿共76张,创作于星期日将上式整理、移项、合并,可得:将上式整理、移项、合并,可得:完全任意,且互相独立,完全任意,且互相独立,要使上式成立,则须有:要使上式成立,则须有:第39页,讲稿共76张,创作于星期日 Ritz 法方程法方程或称或称 Rayleigh-Ritz 法方程法方程说明:说明:(1)由由 U 的表达式(的表达式(4-20)可知,)可知,U 是系数是系数的二次函数,的二次函数,因而,上式为各系数的线性方程因而,上式为各系数的线性方程 组。组。互不相关,因而,总可以求出全部的系数。互不相关,因而,总可以求出全部的系数。(2)求出了系数求出了系数就可求得其它量,如位移、应力等就可求得其它量,如位移、应力等(3)在假定位移函数时,须保证其满足全部位移边界条件。在假定位移函数时,须保证其满足全部位移边界条件。第40页,讲稿共76张,创作于星期日第41页,讲稿共76张,创作于星期日第42页,讲稿共76张,创作于星期日第43页,讲稿共76张,创作于星期日第44页,讲稿共76张,创作于星期日第45页,讲稿共76张,创作于星期日第46页,讲稿共76张,创作于星期日基本思想构造位移试函数满足位移(面力)边界条件RayleighRitz(瑞利里兹)法(伽辽金)法 通过能量变分,偏微分方程边值问题转化为线性通过能量变分,偏微分方程边值问题转化为线性代数方程组。代数方程组。位移边界条件位移与面力边界条件第47页,讲稿共76张,创作于星期日解:用瑞利里兹法位移试函数 例例1:两端简支的等截面梁,受均匀分布载荷q作用如图所示,不计体力。试求解梁的挠度w(x)满足梁的位移边界条件:在x=0,l处,w=0 简支梁的形变势能为:第48页,讲稿共76张,创作于星期日积分后可得:外力势能为:当m为奇数时。第49页,讲稿共76张,创作于星期日有:所以回代 第50页,讲稿共76张,创作于星期日挠曲线表达式是无穷级数精确解这个级数收敛很快,只要取少数几项就可以得到足够的精度。如果取一项 这一结果与精确值十分接近。第51页,讲稿共76张,创作于星期日例例2:如图所示简支梁,中点处承受有集中如图所示简支梁,中点处承受有集中P,试,试求的梁的挠曲线方程。求的梁的挠曲线方程。PABlxy解解:(1)假设位移试探函数)假设位移试探函数(必须满足位移边界条件)(必须满足位移边界条件)设位移试探函数为(取一项):设位移试探函数为(取一项):式中:式中:a 为待定常数。为待定常数。(2)计算形变势能)计算形变势能 U:(a)(b)显然,式(显然,式(a)满足端点的位移边界条件)满足端点的位移边界条件:(3)代入)代入Ritz 法方程,求解法方程,求解(c)(d)第52页,讲稿共76张,创作于星期日PABlxy讨论:讨论:(1)中点的挠度:中点的挠度:(e)而材料力学的结果:而材料力学的结果:两者比较:两者比较:式(式(a)的结果偏小)的结果偏小1.46%。如果取如下位移函数:如果取如下位移函数:式中项数式中项数 m 取得越多,则求得精度就越高。取得越多,则求得精度就越高。(2)所取的位移函数必须满足位移边界条件。所取的位移函数必须满足位移边界条件。(3)位移函数选取不是唯一的,如:位移函数选取不是唯一的,如:第53页,讲稿共76张,创作于星期日PABlxy例例3:如图所示简支梁,中点处承受有集中如图所示简支梁,中点处承受有集中P,试求的梁的挠曲线方程。,试求的梁的挠曲线方程。解解:(1)假设位移试探函数)假设位移试探函数式中:式中:A1、A2 为待定常数。为待定常数。显然,式(显然,式(a)满足端点的位移边界条件)满足端点的位移边界条件:(2)计算:)计算:梁的形变势能梁的形变势能:(3)代入)代入 Ritz 法方程法方程:第54页,讲稿共76张,创作于星期日PABlxy例例3:如图所示简支梁,中点处承受有集中如图所示简支梁,中点处承受有集中P,试求的梁的挠曲线方程。,试求的梁的挠曲线方程。解解:位移函数位移函数(a)(3)代入)代入 Ritz 法方程法方程:所求挠曲线方程所求挠曲线方程:第55页,讲稿共76张,创作于星期日PABlxy所求挠曲线方程所求挠曲线方程:中点挠度中点挠度:而材料力学的结果:而材料力学的结果:第56页,讲稿共76张,创作于星期日解:位移试函数 例例4:矩形薄板,四边固定,受平行于板面的体力作用。设坐标轴如图所示,试用RayleighRitz法求解。m和n为正整数在边界x=0,a,和y=0,b上,u=v=0,所以试函数满足位移边界条件。第57页,讲稿共76张,创作于星期日平面应力问题 因此 第58页,讲稿共76张,创作于星期日将位移试函数代入求导数后再积分 因此 如果体力已知,积分可求待定系数Amn和Bmn第59页,讲稿共76张,创作于星期日例例5:图示薄板,宽为图示薄板,宽为 a,高度为,高度为 b,左边和下边受连杆支承,左边和下边受连杆支承,右边和上边分别受有均布压力右边和上边分别受有均布压力 q1和和 q2 作用,不计体力。试作用,不计体力。试求薄板的位移。求薄板的位移。解:解:(1)假设位移函数)假设位移函数(a)满足边界条件:满足边界条件:在式(在式(a)中)中u,v 各取一项各取一项,即,即(b)(2)计算形变势能)计算形变势能 U将式(将式(b)代入平面应力情形下形变)代入平面应力情形下形变势能公式,有势能公式,有积分得:积分得:(c)第60页,讲稿共76张,创作于星期日(c)(3)代入)代入Ritz 法方程求解法方程求解体力体力有有在右边界:在右边界:在上边界:在上边界:于是有:于是有:将式(将式(c)代入,得)代入,得(11-15)第61页,讲稿共76张,创作于星期日联立求解,得:联立求解,得:(f)代入位移表达式(代入位移表达式(b),得:),得:(g)讨论:讨论:(1)如果在位移式(如果在位移式(a)中再多取一些系)中再多取一些系数如:数如:A2、B2等,但是经计算,这些系等,但是经计算,这些系数全为零。数全为零。(2)位移解(位移解(g)满足几何方程、平衡方程和)满足几何方程、平衡方程和边界条件。边界条件。表明:位移解(表明:位移解(g)为问题的精确解。)为问题的精确解。第62页,讲稿共76张,创作于星期日Ritz 法解题步骤:法解题步骤:(1)假设位移函数,使其满足边界条件;)假设位移函数,使其满足边界条件;(2)计算形变势能计算形变势能 U;(3)代入)代入Ritz 法方程求解待定系数;法方程求解待定系数;(4)回代求解位移、应力等。)回代求解位移、应力等。第63页,讲稿共76张,创作于星期日例例6:图示矩形薄板,宽为图示矩形薄板,宽为2 a,高度为,高度为2 b,左右两边和下,左右两边和下边均被固定,而上边的给定位移为:边均被固定,而上边的给定位移为:(a)不计体力。试求薄板的位移和应力。不计体力。试求薄板的位移和应力。解解:(1)假设位移函数)假设位移函数只取一项,即只取一项,即 m=1,将位移分量设为:将位移分量设为:(b)显然,可满足位移边界条件:显然,可满足位移边界条件:第64页,讲稿共76张,创作于星期日(2)代入)代入Galerkin 法方程求解法方程求解该问题中无应力边界条件,式(该问题中无应力边界条件,式(b)满足全部条件。)满足全部条件。可用伽辽金(可用伽辽金(Galerkin)法求解。)法求解。X=Y=0,m=1,伽辽金法方程变为:伽辽金法方程变为:(c)第65页,讲稿共76张,创作于星期日 将将其其代代入入伽伽辽辽金金方方程程(c),可可求求得:得:第66页,讲稿共76张,创作于星期日代回位移表达式(代回位移表达式(b),得位移解答:得位移解答:当当 b=a,取,取 =0.2时,上述解答成为时,上述解答成为:第67页,讲稿共76张,创作于星期日(3)求应力分量)求应力分量应用几何方程及物理方程,可求得应力为:应用几何方程及物理方程,可求得应力为:第68页,讲稿共76张,创作于星期日第69页,讲稿共76张,创作于星期日由虚功原理:应力变分方程(虚应力方程)应力变分方程(虚应力方程)第70页,讲稿共76张,创作于星期日由广义虚功原理:第71页,讲稿共76张,创作于星期日表明表明在已知位移的边界上,虚面力在真实位移上作在已知位移的边界上,虚面力在真实位移上作的功,等于整个弹性体的虚应力在真实应变上的功,等于整个弹性体的虚应力在真实应变上作的功。即虚应力方程。作的功。即虚应力方程。第72页,讲稿共76张,创作于星期日146 最小余能原理最小余能原理1、由Green公式:另可以证明第73页,讲稿共76张,创作于星期日第74页,讲稿共76张,创作于星期日2、由虚应力原理、由虚应力原理第75页,讲稿共76张,创作于星期日感感谢谢大大家家观观看看第76页,讲稿共76张,创作于星期日