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第1章 逻辑代数本讲稿第一页，共一百零三页1.2.1 逻辑变量和逻辑代数逻辑变量和逻辑代数1、逻辑变量、逻辑变量逻辑代数中的变量（逻辑变量）只能取两个值逻辑代数中的变量（逻辑变量）只能取两个值0和和1，而没有中间值。而没有中间值。0和和1并不表示数值的大小，而是表示两种并不表示数值的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。称为逻辑对立的逻辑状态。称为逻辑0或逻辑或逻辑1，这种表示方法叫状，这种表示方法叫状态赋值。态赋值。2、逻辑函数、逻辑函数（1）概念：）概念：Z=F（A、B、C、D）逻辑即是）逻辑即是“条件条件”与与“结果结果”的关系。的关系。（2）特点：）特点：A、逻辑函数与自变量的关系由有限个基本逻辑运算（与、或、逻辑函数与自变量的关系由有限个基本逻辑运算（与、或、非）决定。非）决定。B、自变量和函数的值都只能取、自变量和函数的值都只能取0或或1本讲稿第二页，共一百零三页1.1 逻辑代数与基本逻辑运算逻辑代数与基本逻辑运算一、基本逻辑运算和逻辑函数一、基本逻辑运算和逻辑函数所所谓谓“逻逻辑辑”是是指指“条条件件”与与“结结果果”的的关关系系，利利用用电电路路的的输输入入信信号号反反映映“条条件件”，而而用用电电路路的的输输出出反反映映“结结果果”。从从而而使使电电路路的的输输入入和和输输出出之之间间代代表表了了一一定定的的逻逻辑辑关关系系。最最简简单单的的逻逻辑辑单单元元基本逻辑门。基本逻辑门。本讲稿第三页，共一百零三页一、基本逻辑运算和逻辑函数一、基本逻辑运算和逻辑函数 基本逻辑运算三种与与 (and)、或或(or)、非非(not)本讲稿第四页，共一百零三页UABY B、真值表、真值表 A B Y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1规定规定:开关合为逻辑开关合为逻辑“1”开关断为逻辑开关断为逻辑“0”灯亮为逻辑灯亮为逻辑“1”灯灭为逻辑灯灭为逻辑“0”真值表特点真值表特点:有有0 则则0,全全1则则1（1 1）“与与”逻辑关系和与门逻辑关系和与门决定事件发生的各条件中，所有条件都具备，事件决定事件发生的各条件中，所有条件都具备，事件才会发生（成立）。才会发生（成立）。A、概念、概念一、基本逻辑运算和逻辑函数一、基本逻辑运算和逻辑函数3、基本逻辑运算三种本讲稿第五页，共一百零三页&A AB BY YD、与逻辑运算规则、与逻辑运算规则 逻辑乘逻辑乘C、与逻辑关系表示式、与逻辑关系表示式L=AL=AB=ABB=AB E、与门符号、与门符号:0 0=0 0 1=01 0=0 1 1=1A AB BY Y（1 1）“与与”逻辑关系和与门逻辑关系和与门一、基本逻辑运算和逻辑函数一、基本逻辑运算和逻辑函数3、基本逻辑运算三种A、概念、概念B、真值表、真值表本讲稿第六页，共一百零三页（2 2）“或或”逻辑关系和或门逻辑关系和或门决定事件发生的各条件中，有一个或一个以上的条件具决定事件发生的各条件中，有一个或一个以上的条件具备，事件就会发生（成立）。备，事件就会发生（成立）。A、概念、概念UABY0 0 00 0 00 1 10 1 11 0 11 0 11 1 11 1 1A B YA B Y开关合为逻辑开关合为逻辑“1 1”，开，开关断为逻辑关断为逻辑“0 0”；灯亮；灯亮为逻辑为逻辑“1 1”，灯灭为逻灯灭为逻辑辑“0 0”。设：设：特点特点:任任1 1 则则1,1,全全0 0则则0 0B、真值表、真值表一、基本逻辑运算和逻辑函数一、基本逻辑运算和逻辑函数3、基本逻辑运算三种本讲稿第七页，共一百零三页A AB BY Y11D、运算规则、运算规则 逻辑加逻辑加C.或逻辑关系表示式或逻辑关系表示式 L=A B E、或门符号、或门符号:0+0=0 0+1=11+0=1 1+1=1A AB BY Y+（2 2）“或或”逻辑关系和或门逻辑关系和或门A、概念、概念一、基本逻辑运算和逻辑函数一、基本逻辑运算和逻辑函数3、基本逻辑运算三种B、或逻辑真值表或逻辑真值表本讲稿第八页，共一百零三页（3 3）“非非”逻辑关系和非门逻辑关系和非门决定事件发生的条件只有一个，条件不具备时事件发生（成决定事件发生的条件只有一个，条件不具备时事件发生（成立），条件具备时事件不发生。立），条件具备时事件不发生。特点特点:1:1则则0,00,0则则1 1B B、真值表、真值表0 10 11 01 0A YA YYRAUA、概念、概念一、基本逻辑运算和逻辑函数一、基本逻辑运算和逻辑函数3、基本逻辑运算三种本讲稿第九页，共一百零三页非逻辑非逻辑 逻辑反逻辑反 0 1 1 0 C、关系表示式关系表示式:1 1A AY YE、符号：、符号：A AY Y（3 3）“非非”逻辑关系和非门逻辑关系和非门A、概念、概念3、基本逻辑运算三种一、基本逻辑运算和逻辑函数一、基本逻辑运算和逻辑函数B、真值表、真值表Y AD、运算规则：运算规则：本讲稿第十页，共一百零三页二、基本逻辑关系的扩展二、基本逻辑关系的扩展 将基本逻辑门加以组合，可构成将基本逻辑门加以组合，可构成“与非与非”、“或非或非”、“异或异或”等等门电路。门电路。1、与非门与非门表示式表示式：Y=AB 真值表真值表 A B AB Y 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0Y=AB C多个逻辑变量时多个逻辑变量时:&A AB BY Y符号：符号：A AB BY Y本讲稿第十一页，共一百零三页2 2、或非门、或非门表示式表示式：Y=A+B 真值表真值表 A B A+B Y 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0多个逻辑变量时多个逻辑变量时:Y=A+B+CA AB BY Y11符号：符号：A AB BY Y+二、基本逻辑关系的扩展二、基本逻辑关系的扩展本讲稿第十二页，共一百零三页3 3、与或非门、与或非门表示式表示式：Y=AB+CD符号：符号：C CD DY Y11A AB B&二、基本逻辑关系的扩展二、基本逻辑关系的扩展本讲稿第十三页，共一百零三页Y=A B=AB+AB表示式表示式：真值表特点真值表特点:相同则相同则0,0,不同则不同则1 1 真值表真值表 A B AB AB Y 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 04、异或异或门门=1=1A AB BY Y符号：符号：A AB BY Y二、基本逻辑关系的扩展二、基本逻辑关系的扩展本讲稿第十四页，共一百零三页11&1ABY=A B=AB+AB表示式表示式：ABABABY=AB+AB4、异或异或门门二、基本逻辑关系的扩展二、基本逻辑关系的扩展用基本逻辑门组成异或门用基本逻辑门组成异或门本讲稿第十五页，共一百零三页门电路是实现一定逻辑关系的电路。门电路是实现一定逻辑关系的电路。类型类型:与门、或门、非门、与非门、或非门、与门、或门、非门、与非门、或非门、异或门异或门 。1 1、用二极管、三极管实现、用二极管、三极管实现2 2、数字集成电路、数字集成电路(大量使用大量使用)1)TTL 1)TTL集成门电路集成门电路 2)MOS 2)MOS集成门电路集成门电路 实现方法实现方法:门电路小结门电路小结本讲稿第十六页，共一百零三页门电路门电路小结小结门电路门电路 符号符号 表示式表示式与门与门&A AB BY YA AB BY Y11或门或门非门非门1 1Y YA AY=ABY=ABY=A+BY=A+BY=AY=A与非门与非门&A AB BY YY=ABY=AB或非门或非门A AB BY Y11Y=A+BY=A+B异或门异或门=1=1A AB BY YY=AY=A B B本讲稿第十七页，共一百零三页三、逻辑函数的相等三、逻辑函数的相等1、定义：设有两个逻辑函数、定义：设有两个逻辑函数 F=f(x1,x2,xn)G=g(x1,x2,xn)其变量都为其变量都为x1,x2,xn，如果对应于变量，如果对应于变量x1,x2,xn的任何的任何一组变量取值，一组变量取值，F，G的值都相等，则称这两个函数相等，记为的值都相等，则称这两个函数相等，记为F=G。2、判断逻辑函数是否相等的方法、判断逻辑函数是否相等的方法（1）列出输入变量的所有可能的取值组合，并按逻辑运算规）列出输入变量的所有可能的取值组合，并按逻辑运算规则计算出在各种输入取值下两个函数的相应值，并进行比较。则计算出在各种输入取值下两个函数的相应值，并进行比较。（2）利用逻辑代数的定理、定律和规则进行证明。）利用逻辑代数的定理、定律和规则进行证明。本讲稿第十八页，共一百零三页三、逻辑函数的相等三、逻辑函数的相等它们的真值表完全相同，故它们的真值表完全相同，故F和和G是相等的。是相等的。四、关于逻辑函数的书写四、关于逻辑函数的书写本讲稿第十九页，共一百零三页乘运算规则乘运算规则:加运算规则加运算规则:1.3 1.3 逻辑代数基本运算规则逻辑代数基本运算规则非运算规则非运算规则:0+0=0 ，0+1=1，1+0=1，1+1=100=0 01=0 10=0 11=1A A A0=0 A1=A AA=AAA=00=1 1=0A+0=A，A+1=1，A+A=A，A+A=11、基本定律基本定律本讲稿第二十页，共一百零三页交换律交换律:A+B=B+AA+B=B+A AB=BAAB=BA结合律结合律:A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)ABC=(AB)C=A(BC)ABC=(AB)C=A(BC)2.2.逻辑代数运算规律逻辑代数运算规律本讲稿第二十一页，共一百零三页分配律分配律:A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)证明证明:右边右边 =(A+B)(A+C)=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC ;=AA+AB+AC+BC ;分配律分配律=A+A(B+C)+BC ;=A+A(B+C)+BC ;结合律结合律,AA=A,AA=A=A(1+B+C)+BC ;=A(1+B+C)+BC ;结合律结合律=A=A 1+BC ;1+B+C=1 1+BC ;1+B+C=1=A+BC ;A=A+BC ;A 1=1 1=1=左边左边2.2.逻辑代数运算规律逻辑代数运算规律本讲稿第二十二页，共一百零三页吸收规则吸收规则原变量吸收规则原变量吸收规则:反变量吸收规则反变量吸收规则:A+AB=A+BA+AB=A+B注注:红色变红色变量被吸收掉！量被吸收掉！A+AB=A+AB+AB =A+(A+A)B =A+1B ;A+A=1 =A+BA+AB=A证明证明:2.2.逻辑代数运算规律逻辑代数运算规律本讲稿第二十三页，共一百零三页混合变量吸收规则混合变量吸收规则:AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC =AB+AC+ABC+ABC =AB(1+C)+AC(1+B)=AB+ACAB+AB=AAB+AC+BC=AB+AC证明证明:2.2.逻辑代数运算规律逻辑代数运算规律本讲稿第二十四页，共一百零三页反演定理（德摩根定理）反演定理（德摩根定理）AB=A+B A+B=AB用真值表证明用真值表证明A B AB A+B 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 证明证明:2.2.逻辑代数运算规律逻辑代数运算规律本讲稿第二十五页，共一百零三页4.4.展开定理展开定理3.3.关于关于“异或异或”运算的一些公式运算的一些公式本讲稿第二十六页，共一百零三页（1）代入规则）代入规则对对逻逻辑辑等等式式中中的的任任意意变变量量A，若若将将所所有有出出现现A的的位位置置都都代代之之以以同同一一个个逻辑函数，则等式仍然成立。逻辑函数，则等式仍然成立。例：若：例：若：A(B+C)=AB+AC CC+D 则：则：AB+(C+D)=AB+A(C+D)意意义义：利利用用这这条条规规则则和和现现有有的的等等式式，可可以以推推出出更更多多的的等等式式，而而无无需证明。需证明。（2）反演规则）反演规则对对于于任任何何一一个个逻逻辑辑函函数数F，若若将将F表表达达式式中中所所有有的的“”和和“+”互互换换，“0”和和“1”互互换换，原原变变量量和和反反变变量量互互换换，并并保保持持运运算算优优先先顺顺序序不不变变，则可得到则可得到F的反函数。的反函数。5.5.重要规则重要规则本讲稿第二十七页，共一百零三页注意：注意：反演规则的意义在于利用它求一个函数的反函数。反演规则的意义在于利用它求一个函数的反函数。运用反演规则时，不是一个变量上的反号应该保留。运用反演规则时，不是一个变量上的反号应该保留。变换时，应注意先变换时，应注意先“与与”后后“或或”，先括号内后括号外的顺序。，先括号内后括号外的顺序。5.5.重要规则重要规则（3）对偶规则）对偶规则对对于于任任何何一一个个逻逻辑辑函函数数F，若若将将F表表达达式式中中所所有有的的“”和和“+”互互换换，“0”和和“1”互互换换，并并保保持持运运算算优优先先顺顺序序不不变变，则则所所得得到到新新的函数称为函数的函数称为函数F的对偶函数的对偶函数F。例：例：本讲稿第二十八页，共一百零三页五、逻辑代数基本运算规则五、逻辑代数基本运算规则5.5.重要规则重要规则若若 称函数为自对偶函数称函数为自对偶函数例：例：（3）对偶规则）对偶规则注意：转换时应先注意：转换时应先“与与”后后“或或”，先括号内后括号外的顺序。，先括号内后括号外的顺序。对偶规则：当某个逻辑恒等式成立时，其对偶式的等式也成立。对偶规则：当某个逻辑恒等式成立时，其对偶式的等式也成立。互为对偶原理：互为对偶原理：(Z)=Z本讲稿第二十九页，共一百零三页逻辑函数的表示与变换逻辑函数的表示与变换一、逻辑函数的表示方法一、逻辑函数的表示方法四四种种表表示示方方法法Y=AB+ABY=AB+AB逻辑代数式逻辑代数式(逻辑表示式逻辑表示式,逻辑函数式逻辑函数式)1 11 1&11A AB BY Y 逻辑电路图逻辑电路图:卡诺图卡诺图 将逻辑函数输入变量取值的不同组合与将逻辑函数输入变量取值的不同组合与所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出的表格。的表格。N N个输入变量个输入变量 种组合种组合。真值表：真值表：本讲稿第三十页，共一百零三页 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0A B C Y0 0 0 0 0 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 10 10 11 01 0A YA Y一输入变一输入变量，二种量，二种组合组合二输入变二输入变量，四种量，四种组合组合三输入变三输入变量，八种量，八种组合组合一、逻辑函数的表示方法一、逻辑函数的表示方法1 1、真值表、真值表本讲稿第三十一页，共一百零三页A B C D Y0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 1 0 10 0 1 1 10 1 0 0 00 1 0 1 10 1 1 0 00 1 1 1 1A B C D Y1 0 0 0 1 1 0 0 1 11 0 1 0 11 0 1 1 11 1 0 0 11 1 0 1 11 1 1 0 11 1 1 1 1四输入变四输入变量，量，16种种组合组合一、逻辑函数的表示方法一、逻辑函数的表示方法1 1、真值表、真值表（四输入变量）（四输入变量）本讲稿第三十二页，共一百零三页二、各种表示方法之间的转换二、各种表示方法之间的转换1 1、由真值表求逻辑表达式、由真值表求逻辑表达式（1）把真值表中逻辑函数值为）把真值表中逻辑函数值为1的变量组合挑出来；的变量组合挑出来；（2）若输入变量为）若输入变量为1，则写成原变量，若输入变量为，则写成原变量，若输入变量为0，则写成反变量；，则写成反变量；（3）把每个组合中各个变量相乘，得到一个乘积项；）把每个组合中各个变量相乘，得到一个乘积项；（4）将各乘积项相加，就得到相应的逻辑表达式。）将各乘积项相加，就得到相应的逻辑表达式。例：试设计一个三人表决器例：试设计一个三人表决器本讲稿第三十三页，共一百零三页二、各种表示方法之间的转换二、各种表示方法之间的转换2 2、由逻辑表达式列出真值表、由逻辑表达式列出真值表按照逻辑表达式，对逻辑变量的各种取值进行计算，求出相应的函数按照逻辑表达式，对逻辑变量的各种取值进行计算，求出相应的函数值，再把变量取值和函数值一一对应列成表格。值，再把变量取值和函数值一一对应列成表格。本讲稿第三十四页，共一百零三页二、各种表示方法之间的转换二、各种表示方法之间的转换3 3、由逻辑函数式求逻辑电路、由逻辑函数式求逻辑电路（1）画出所有的逻辑变量；）画出所有的逻辑变量；（2）用）用“非门非门”对变量中有对变量中有“非非”的变量取的变量取“非非”；（3）用）用“与门与门”对有关变量的乘积项，实现逻辑乘；对有关变量的乘积项，实现逻辑乘；（4）用）用“或门或门”对有关的乘积项，实现逻辑加；对有关的乘积项，实现逻辑加；&1&CAAABBBCCZ本讲稿第三十五页，共一百零三页BABY=A B+ABA BA1&AB&11二、各种表示方法之间的转换二、各种表示方法之间的转换4 4、由逻辑图求逻辑表达式、由逻辑图求逻辑表达式由由输输入入到到输输出出，按按照照每每个个门门的的符符号号写写出出每每个个门门的的逻逻辑辑函函数数，直直到到最后得到整个逻辑电路的表达式。最后得到整个逻辑电路的表达式。本讲稿第三十六页，共一百零三页三、逻辑函数表达式的形式三、逻辑函数表达式的形式1 1、两种基本形式、两种基本形式（1）“与与或或”表达式（表达式（“积之和积之和”Sum of Products或或SP型）型）单单个个逻逻辑辑变变量量进进行行“与与”运运算算构构成成的的项项称称为为“与与项项”，由由“与项与项”进行进行“或或”运算构成的表达式称为运算构成的表达式称为“与与或或”表达式。表达式。例：例：（2）“或或与与”表达式（表达式（“和之积和之积”Products of Sum或或PS型）型）单单个个逻逻辑辑变变量量进进行行“或或”运运算算构构成成的的项项称称为为“或或项项”，由由“或或项项”进行进行“与与”运算构成的表达式称为运算构成的表达式称为“或或与与”表达式。表达式。例：例：本讲稿第三十七页，共一百零三页三、逻辑函数表达式的形式三、逻辑函数表达式的形式2 2、最小项和最大项、最小项和最大项（1）最小项）最小项1）定定义义：若若n个个变变量量组组成成的的与与项项中中，每每个个变变量量均均以以原原变变量量或或反反变变量量的的形形式式出出现一次且仅出现一次，则称该现一次且仅出现一次，则称该“与项与项”为为n个变量的最小项。个变量的最小项。例：设例：设 A，B，C是三个逻辑变量，其最小项为是三个逻辑变量，其最小项为不是最小项的与项：不是最小项的与项：AB，AC，A(B+C)，2）最小项的编号：）最小项的编号：把把使使该该最最小小项项为为1的的取取值值组组合合视视作作二二进进制制数数，则则相相应应的的十十进进制制数数作作为最小项的编号。用为最小项的编号。用(m)(N)10表示。表示。本讲稿第三十八页，共一百零三页三、逻辑函数表达式的形式三、逻辑函数表达式的形式3）性质：）性质：n变量的函数，最多可构成变量的函数，最多可构成2n个最小项；个最小项；对对于于任任意意一一个个最最小小项项，只只有有一一组组变变量量取取值值组组合合使使得得它它的的值值为为1，而而在在变变量量取取其他各组值时，这个最小项的值均为其他各组值时，这个最小项的值均为0；不同的最小项，使它为不同的最小项，使它为1的变量取值组合不同；的变量取值组合不同；任意两个最小项任意两个最小项mi和和mj(ij)的乘积必为零，即的乘积必为零，即mimj=0；对于变量的任意一组取值，全体最小项之和为对于变量的任意一组取值，全体最小项之和为1，即：，即：n变量的每一个最小项，都有变量的每一个最小项，都有n个相邻的最小项。个相邻的最小项。当当两两个个最最小小项项中中只只有有一一个个变变量量不不同同，且且这这个个变变量量分分别别为为同同一一变变量量的的原原变量和反变量时，称这两个最小项为相邻的最小项。变量和反变量时，称这两个最小项为相邻的最小项。2 2、最小项和最大项、最小项和最大项（1）最小项）最小项本讲稿第三十九页，共一百零三页三、逻辑函数表达式的形式三、逻辑函数表达式的形式1）定定义义：若若n个个变变量量组组成成的的或或项项中中，每每个个变变量量均均以以原原变变量量或或反反变变量量的的形形式式出现一次且仅出现一次，则称该出现一次且仅出现一次，则称该“或项或项”为为n个变量的最大项。个变量的最大项。例：设例：设 A，B，C是三个逻辑变量，其最大项为是三个逻辑变量，其最大项为不是最大项的或项：不是最大项的或项：A+B，A+C，A(B+C)，2）最大项的编号：）最大项的编号：把把使使该该最最大大项项为为0的的取取值值组组合合视视作作二二进进制制数数，则则相相应应的的十十进进制制数数作作为为最最大大项项的的编号。用编号。用(M)(N)10表示。表示。2 2、最小项和最大项、最小项和最大项（2）最大项）最大项本讲稿第四十页，共一百零三页三、逻辑函数表达式的形式三、逻辑函数表达式的形式3）性质：）性质：n变量的函数，最多可构成变量的函数，最多可构成2n个最大项；个最大项；对对于于任任意意一一个个最最大大项项，只只有有一一组组变变量量取取值值组组合合使使得得它它的的值值为为0，而在变量取其他各组值时，这个最大项的值均为而在变量取其他各组值时，这个最大项的值均为1；不同的最大项，使它为不同的最大项，使它为0的变量取值组合不同；的变量取值组合不同；任意两个最大项任意两个最大项Mi和和Mj(ij)的和必为的和必为1，即，即Mi+Mj=1；对于变量的任意一组取值，全体最大项之积为对于变量的任意一组取值，全体最大项之积为0，即：，即：n变量的每一个最大项，都有变量的每一个最大项，都有n个相邻的最大项。个相邻的最大项。当当两两个个最最大大项项中中只只有有一一个个变变量量不不同同，且且这这个个变变量量分分别别为为同同一一变变量量的的原原变变量量和和反变量时，称这两个最大项为相邻的最大项。反变量时，称这两个最大项为相邻的最大项。2 2、最小项和最大项、最小项和最大项（2）最大项）最大项本讲稿第四十一页，共一百零三页三、逻辑函数表达式的形式三、逻辑函数表达式的形式即下标相同的最小项和最大项互为反函数即下标相同的最小项和最大项互为反函数例：例：真真值值表表中中，某某一一个个最最小小项项的的1的的个个数数最最少少，只只有有1个个。而而某某一一个个最最大大项项的的1的的个个数数最最多多，只只有有1个个0。因因此此，前前者者称称为为最最小小项项，后者称为最大项。后者称为最大项。2 2、最小项和最大项、最小项和最大项（3）最小项和最大项之间的关系）最小项和最大项之间的关系本讲稿第四十二页，共一百零三页三、逻辑函数表达式的形式三、逻辑函数表达式的形式2）一个逻辑函数的标准）一个逻辑函数的标准“与与或或”式是唯一的。式是唯一的。3）任何一个逻辑函数都可表示成为标准）任何一个逻辑函数都可表示成为标准“与与或或”式。其方法如下：式。其方法如下：代数法：代数法：将函数表示成为一般的将函数表示成为一般的“与与或或”式；式；3 3、逻辑函数的标准形式、逻辑函数的标准形式（1）标准）标准“与与或或”式式1）由最小项相）由最小项相“或或”构成的逻辑表达式，称为标准构成的逻辑表达式，称为标准“与与或或”式。式。反反复复利利用用X=X(Y+)，将将表表达达式式中中所所有有非非最最小小项项的的“与与”项扩展成为最小项。项扩展成为最小项。本讲稿第四十三页，共一百零三页三、逻辑函数表达式的形式三、逻辑函数表达式的形式3 3、逻辑函数的标准形式、逻辑函数的标准形式（1）标准“与或”式本讲稿第四十四页，共一百零三页三、逻辑函数表达式的形式三、逻辑函数表达式的形式3 3、逻辑函数的标准形式、逻辑函数的标准形式（1）标准“与或”式本讲稿第四十五页，共一百零三页三、逻辑函数表达式的形式三、逻辑函数表达式的形式3 3、逻辑函数的标准形式、逻辑函数的标准形式（1）标准）标准“与与或或”式式真值表法：将在真值表中，输出为真值表法：将在真值表中，输出为1所对应的最小项相加，即所对应的最小项相加，即为标准为标准“与与或或”式式本讲稿第四十六页，共一百零三页三、逻辑函数表达式的形式三、逻辑函数表达式的形式3 3、逻辑函数的标准形式、逻辑函数的标准形式（1）标准）标准“与与或或”式式（2）标准）标准“或或与与”式式1）由最大项相）由最大项相“与与”构成的逻辑表达式，称为标准构成的逻辑表达式，称为标准“或或与与”式。式。2）一个逻辑函数的标准）一个逻辑函数的标准“或或与与”式是唯一的。式是唯一的。3）任何一个逻辑函数都可化为标准）任何一个逻辑函数都可化为标准“或与或与”式。其方法如下：式。其方法如下：代数法：代数法：将函数表示成为一般的将函数表示成为一般的“或或与与”式；式；反复利用反复利用X=X+Y =(X+Y)(X+)，那一个或项差哪一，那一个或项差哪一个变量，就配上个变量，就配上Y ，将表达式中所有非最大项的，将表达式中所有非最大项的“或或”项扩展成为最大项。项扩展成为最大项。实质上是利用实质上是利用A+BC=(A+B)(A+C)本讲稿第四十七页，共一百零三页三、逻辑函数表达式的形式三、逻辑函数表达式的形式3 3、逻辑函数的标准形式、逻辑函数的标准形式（1）标准）标准“与与或或”式式（2）标准）标准“或或与与”式式本讲稿第四十八页，共一百零三页三、逻辑函数表达式的形式三、逻辑函数表达式的形式3 3、逻辑函数的标准形式、逻辑函数的标准形式（1）标准）标准“与与或或”式式（2）标准）标准“或或与与”式式本讲稿第四十九页，共一百零三页三、逻辑函数表达式的形式三、逻辑函数表达式的形式3 3、逻辑函数的标准形式、逻辑函数的标准形式（1）标准）标准“与与或或”式式（2）标准）标准“或或与与”式式真值表法：将在真值表中，真值表法：将在真值表中，输出为输出为0所对应的最大项相所对应的最大项相与，即为标准与，即为标准“或或与与”式式本讲稿第五十页，共一百零三页三、逻辑函数表达式的形式三、逻辑函数表达式的形式3 3、逻辑函数的标准形式、逻辑函数的标准形式（3）反函数的标准形式）反函数的标准形式1）若若把把真真值值表表中中使使函函数数值值为为0所所对对应应的的最最小小项项加加起起来来，得得反反函函数数的标准的标准“与或与或”式。即式。即 =真值表中输出为真值表中输出为0的变量组合相加。的变量组合相加。例：对上面的真值表有例：对上面的真值表有=m（0，1，3，5，7）本讲稿第五十一页，共一百零三页三、逻辑函数表达式的形式三、逻辑函数表达式的形式3 3、逻辑函数的标准形式、逻辑函数的标准形式（3）反函数的标准形式）反函数的标准形式2）若若把把真真值值表表中中使使函函数数值值为为1所所对对应应的的最最大大项项相相“与与”，得得反反函函数的标准数的标准“或与或与”式。即式。即 =真值表中输出为真值表中输出为1的变量组合相与。的变量组合相与。例：对下面的真值表有例：对下面的真值表有 =M（2，5，6）本讲稿第五十二页，共一百零三页三、逻辑函数表达式的形式三、逻辑函数表达式的形式3 3、逻辑函数的标准形式、逻辑函数的标准形式最小项与最大项之间的关系最小项与最大项之间的关系最小项最小项表达式表达式原函数的最大原函数的最大项表达式项表达式反函数的最小反函数的最小项表达式项表达式反函数的最大反函数的最大项表达式项表达式原原 函函 数数展开展开项号项号相同相同项号项号错开错开项号项号错开错开本讲稿第五十三页，共一百零三页四、逻辑表达式的变换四、逻辑表达式的变换1 1、逻辑函数的、逻辑函数的“与非与非”实现实现（1）“与非与非”逻辑的完备性逻辑的完备性（2）用）用“与非与非”实现逻辑函数实现逻辑函数先先将将函函数数化化成成“与与或或”表表达达式式，然然后后对对表表达达式式两两次次取取反反，得函数的得函数的“与非与非与非与非”表达式。表达式。ABC本讲稿第五十四页，共一百零三页四、逻辑表达式的变换四、逻辑表达式的变换2 2、逻辑函数的、逻辑函数的“或非或非”实现实现（1）“或非或非”逻辑的完备性逻辑的完备性（2）用）用“或非或非”实现逻辑函数实现逻辑函数先先将将函函数数化化成成“或或与与”表表达达式式（先先求求反反函函数数的的“与与或或”表表达达式式，然然后后用用摩摩根根定定律律对对取取反反，得得函函数数的的“或或与与”表表达达式式），然然后对表达式两次取反，得函数的后对表达式两次取反，得函数的“或非或非或非或非”表达式。表达式。本讲稿第五十五页，共一百零三页四、逻辑表达式的变换四、逻辑表达式的变换3 3、逻辑函数的、逻辑函数的“与或非与或非”实现实现由由于于“与与或或非非”包包含含了了与与、或或、非非三三种种基基本本运运算算，因因此此可可以以用用“与或非与或非”门实现任何逻辑函数。门实现任何逻辑函数。用用“与与或或非非”实实现现逻逻辑辑函函数数时时，先先求求给给定定函函数数的的反反函函数数的的“与或与或”表达式，然后取反，即得函数的表达式，然后取反，即得函数的“与或非与或非”表达式。表达式。本讲稿第五十六页，共一百零三页1.4 逻辑函数的化简逻辑函数的化简一、化简的意义和最简的概念一、化简的意义和最简的概念1 1、化简的意义、化简的意义（1）节省器材；）节省器材；（2）提高了工作的可靠性；）提高了工作的可靠性；2 2、最简的概念、最简的概念（1）举例）举例试试证证明明下下面面两两式式具具有有相相同同的的逻逻辑辑功功能能，并并比比较较它们的逻辑图。它们的逻辑图。+即即Z1、Z2具有相同的逻辑功能具有相同的逻辑功能本讲稿第五十七页，共一百零三页一、化简的意义和最简的概念一、化简的意义和最简的概念1 1、化简的意义、化简的意义（1）节省器材；）节省器材；（2）提高了工作的可靠性；）提高了工作的可靠性；2 2、最简的概念、最简的概念（1）举例）举例（2）“与或与或”表达式化简的意义表达式化简的意义 任何一个表达式都不难展开成任何一个表达式都不难展开成“与或与或”表达式；表达式；从从一一个个最最简简的的“与与或或”表表达达式式可可以以比比较较容容易易地地得得到到其其他他类型的最简式。类型的最简式。（3）最简）最简“与或与或”表达式表达式 “与与”项的个数最少；项的个数最少；每个每个“与与”项中的因子数最少；项中的因子数最少；本讲稿第五十八页，共一百零三页例例1：反变量吸收反变量吸收提出提出AB=1提出提出A二、代数化简法二、代数化简法本讲稿第五十九页，共一百零三页Y=A B=AB+AB=A A B B A B右边右边=AA B+BA B ;AB=A+B =AA B+BA B ;A=A =A(A+B)+B(A+B);A B=A+B =AA+AB+BA+BB ;展开展开 =0+AB+AB+0 =AB+AB =左边左边 结论结论:异或门可以用异或门可以用4个与非门实现个与非门实现二、代数化简法二、代数化简法例例2:证明证明本讲稿第六十页，共一百零三页Y=A B=AB+AB=A A B B A B&ABY11&1AB二、代数化简法二、代数化简法异或门可以用异或门可以用4 4个个与非门实现与非门实现本讲稿第六十一页，共一百零三页例例3 3Y=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC将将化简为最简逻辑代数式。化简为最简逻辑代数式。=AB(C+C)+ABC+AB(C+C)=AB+ABC+AB =(A+A)B+ABC =B+BAC ;A+AB=A+B =B+AC；C+C=1Y=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC二、代数化简法二、代数化简法本讲稿第六十二页，共一百零三页例例4 4将将Y化简为最简逻辑代数式。化简为最简逻辑代数式。Y=AB+(A+B)CD解：解：Y=AB+(A+B)CD =AB+(A+B)CD =AB+AB CD =AB+CD;利用反演定理利用反演定理;将将ABAB当成一个变量当成一个变量,利用公式利用公式A+AB=A+B；A=A二、代数化简法二、代数化简法本讲稿第六十三页，共一百零三页二、代数化简法二、代数化简法1 1、并项法：、并项法：2 2、吸收法：、吸收法：利用A+AB=A消去多余的项本讲稿第六十四页，共一百零三页二、代数化简法二、代数化简法3 3、消去法：、消去法：4 4、配项法：、配项法：利用消 去多余的因子本讲稿第六十五页，共一百零三页二、代数化简法二、代数化简法3 3、消去法：、消去法：4 4、配项法：、配项法：本讲稿第六十六页，共一百零三页二、代数化简法二、代数化简法5 5、综合运用：、综合运用：本讲稿第六十七页，共一百零三页二、代数化简法二、代数化简法小结：小结：用代数法化简，一开始不可能知道它的最简式，只能在简化的过程中方能够逐渐清楚。化简步骤：首先把表达式转换成“与或”表达式，然后用较易的并项法，吸收法和消去法化简函数式，最后再考虑能否用配项法给予展开化简。具体应用中要特别注意一个函数式作为一个变量看待时的具体变换。本讲稿第六十八页，共一百零三页三、卡诺图化简法三、卡诺图化简法（一）卡诺图的引出及特点（一）卡诺图的引出及特点（二）卡诺图的填法（二）卡诺图的填法（三）用卡诺图化简逻辑函数（三）用卡诺图化简逻辑函数本讲稿第六十九页，共一百零三页三、卡诺图化简法三、卡诺图化简法（一）卡诺图的引出及特点（一）卡诺图的引出及特点 将真值表或逻辑函数式用一个特定的方格图表将真值表或逻辑函数式用一个特定的方格图表示，称为卡诺图。示，称为卡诺图。1 1、构成：、构成：卡卡诺诺图图是是将将代代表表最最小小项项的的小小方方格格按按相相邻邻原原则则排排列列而成的平面方格图。而成的平面方格图。2 2、画法、画法（1 1）基基本本原原则则：在在相相邻邻方方格格中中填填入入相相邻邻的的最最小小项。项。（2 2）画法：折叠展开法）画法：折叠展开法本讲稿第七十页，共一百零三页卡诺图的画法：卡诺图的画法：（一输入变量）（一输入变量）三、卡诺图化简法三、卡诺图化简法（一）卡诺图的引出及特点（一）卡诺图的引出及特点Am0m101A01（二输入变量）（二输入变量）320132ABAB 00 01 11 10本讲稿第七十一页，共一百零三页卡诺图的画法：卡诺图的画法：（二输入变量）（二输入变量）A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0三、卡诺图化简法三、卡诺图化简法（一）卡诺图的引出及特点（一）卡诺图的引出及特点AB1110本讲稿第七十二页，共一百零三页 0 01 13 32 24 45 57 76 6卡诺图的画法：卡诺图的画法：（三输入变量）（三输入变量）三、卡诺图化简法三、卡诺图化简法（一）卡诺图的引出及特点（一）卡诺图的引出及特点2130AB4ABC若为若为3变量变量：Z=Z（A，B，C）本讲稿第七十三页，共一百零三页卡诺图的画法：卡诺图的画法：（三输入变量）（三输入变量）三、卡诺图化简法三、卡诺图化简法（一）卡诺图的引出及特点（一）卡诺图的引出及特点若为若为3变量变量：Z=Z（A，B，C）AABC0001111001本讲稿第七十四页，共一百零三页F(A,B,C)=(1,2,4,7)ABC0001111001A B C F0 0 0 0 0 0 1 10 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1ABC00011110010 1 0 1 10 1 1 0 三、卡诺图化简法三、卡诺图化简法（一）卡诺图的引出及特点（一）卡诺图的引出及特点本讲稿第七十五页，共一百零三页卡诺图的画法：卡诺图的画法：三、卡诺图化简法三、卡诺图化简法（一）卡诺图的引出及特点（一）卡诺图的引出及特点若为若为4变量变量：Z=Z（A，B，C，D）0 01 13 32 24 45 57 76 6812本讲稿第七十六页，共一百零三页三、卡诺图化简法三、卡诺图化简法0000010111111010ABABBCBC0000010111111010四变量