线性代数二次型 习题课.pptx

6、已知二次型的秩为2。（1）求a的值；（2）求正交变换x=Qy，把 化成标准型。（05年研究生考题）7、设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量是线性方程组Ax=0的两个解。（1）求A的特征值和特征向量；（2）求正交矩阵Q和对角矩阵，使得QAQ=；（3）求A及 ，其中E为3阶单位阵。（06年研究生考题）第1页/共13页1、解 二次型f 的矩阵A为A 为特征多项式为第2页/共13页所以 A 的特征值为当时,解方程组即得基础解系第3页/共13页当时,解方程组即得基础解系第4页/共13页 则 p1、p2、p3 为 A 的三个线性无关的特征向量且这三个向量两两正交.现把它们单位化.令第5页/共13页令则第6页/共13页且 令 X=PY,则 f 的标准形为第7页/共13页 所作的正交替换为第8页/共13页2、解该二次型对应的矩阵为第9页/共13页 所以二次型的标准形为 所用线性替换为第10页/共13页6.解：（1）由A的左上角行列式为零可得a=0；（2）略。7.解：（1）由A的各行之和为3可得：故3=3是A的一个特征值，3=(1,1,1)T是A的属于3的特征向量。又A1=0，A2=0，则1，2是A的属于=0的两个线性无关的特征向量。第11页/共13页 （2）对1，2正交化为 1，2，再将 1，2，3单位化可得：（3）第12页/共13页感谢您的观看！第13页/共13页