用空间向量求空间角.pptx

复习回顾直线的方向向量:两点平面的法向量：三点两线一方程设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)则(1)ab.a1b1a2b2a3b3第1页/共22页设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面、的法向量分别为n1、n2.则l1l2或l1与l2重合 .l1l2.或与重合 .l或l .l .复习回顾aba tbaba b 0n1n2n1tn2n1t an1 an1n2n1 n2 0n1 an1 a 0第2页/共22页引例：(1)求二面角M-BC-D的平面角的正切值；(2)求CN与平面ABCD所成角的正切值；(3)求CN与BD所成角的余弦值；(4)求平面SBC与SDC所成角的正弦值 第3页/共22页范范围：一、线线角：一、线线角：异面直线所成的锐角或直角异面直线所成的锐角或直角思考：思考：空间向量的夹角与空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么关系？异面直线的夹角有什么关系？结论：结论：第4页/共22页x xz zy y 向量法向量法A AD DC CB BD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1E E1 1F F1 1 传统法：平移传统法：平移例例1.如如图图所所示示的的正正方方体体中中，已已知知F1与与E1为为四四等等分分点点，求求异异面面直直线线DF1与与BE1的的夹角余弦值？夹角余弦值？第5页/共22页所以与所成角的余弦值为解：如图所示，建立空间直角坐标系,如图所示，设则：所以：练习：练习：第6页/共22页悟一法悟一法 利用向量求异面直线所成的角的步骤为：利用向量求异面直线所成的角的步骤为：(1)确定空间两条直线的方向向量；确定空间两条直线的方向向量；(2)求两个向量夹角的余弦值；求两个向量夹角的余弦值；(3)确定线线角与向量夹角的关系；当向量夹角为锐角时，确定线线角与向量夹角的关系；当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角量夹角的补角第7页/共22页直线与平面所成角的范围：结论：结论：二、线面角：二、线面角：直线和直线在平面内的射影所成的角角，叫做这条直线和这个平面所成的角.思考：如何用空间向量的夹角思考：如何用空间向量的夹角表示线面角呢？表示线面角呢？A AO OB B第8页/共22页例例2、如图，在正方体如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，中，求求A1B与平面与平面A1B1CD所成的角所成的角ABCDA1B1C1D1O向量法向量法 传统法传统法第9页/共22页N解：如图建立坐标系A-xyz,则即在长方体在长方体 中，中，练习：练习：第10页/共22页N又又在长方体在长方体 中，中，练习：练习：第11页/共22页悟一法悟一法 利用向量法求直线与平面所成角的步骤为：利用向量法求直线与平面所成角的步骤为：(1)确定直线的方向向量和平面的法向量；确定直线的方向向量和平面的法向量；(2)求两个向量夹角的余弦值；求两个向量夹角的余弦值；(3)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角时，确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角等于线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去这个夹角减去90.第12页/共22页二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内 以二面角的以二面角的棱上任意一点棱上任意一点为端点，为端点，在两在两个面内个面内分别作分别作垂直于棱垂直于棱的两条射线，这两的两条射线，这两条射线所成的条射线所成的角角叫做叫做二面角的平面角。二面角的平面角。10 lOAB三、面面角：三、面面角：第13页/共22页ll三、面面角：三、面面角：向量法向量法关键：观察二面角的范围关键：观察二面角的范围第14页/共22页 证明：以证明：以 为正交基底，为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得建立空间直角坐标系如图。则可得例例3.3.已知正方体已知正方体 的边长为的边长为2 2，O为为AC和和BD的交点，的交点，M为为 的中点的中点 （1 1）求证：）求证：直线直线 面面MAC;（2 2）求二面角）求二面角 的余弦值的余弦值.B1A1 C1D1DCBAOMxyz第15页/共22页 B1A1 C1D1DCBAOMxyz由图可知二面角为锐角由图可知二面角为锐角第16页/共22页悟一法悟一法 利用法向量求二面角的步骤利用法向量求二面角的步骤 (1)确定二个平面的法向量；确定二个平面的法向量；(2)求两个法向量夹角的余弦值；求两个法向量夹角的余弦值；(3)确定二面角的范围；二面角的范围要通过图形确定二面角的范围；二面角的范围要通过图形观察观察，法向量一般不能体现法向量一般不能体现第17页/共22页练 习：如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中，OABC，AOC=90，SO面面OABC，且，且 OS=OC=BC=1，OA=2。求：。求：异面直线异面直线SA和和OB所成的角的余弦值，所成的角的余弦值，OS与面与面SAB所成角所成角的正弦值的正弦值，二面角二面角BASO的余弦值。的余弦值。则A（2，0，0）；于是我们有OABCS解：如图建立直角坐标系，xyz=（2，0，-1）；=（-1，1，0）；=（1，1，0）；=（0，0，1）；B（1，1，0）；S（0，0，1），C（0，1，0）；O（0，0，0）；第18页/共22页令x=1，则y=1，z=2；从而（2）设面SAB的法向量显然有OABCSxyz第19页/共22页.由知面SAB的法向量 =（1，1，2）又OC面AOS，是面AOS的法向量，令则有由于所求二面角的大小等于OABCSxyz二面角BASO的余弦值为66所以直线SA与OB所成角余弦值为510第20页/共22页课堂小结：课堂小结：1.异面直线所成角：2.直线与平面所成角：3.二面角：关键：观察二面角的范围关键：观察二面角的范围第21页/共22页感谢您的观看！第22页/共22页