第3章 单相液体的稳定渗流复势3精选文档.ppt

第3章 单相液体的稳定渗流复势3本讲稿第一页，共二十五页第七节第七节 复势理论在平面渗流问题中的应用复势理论在平面渗流问题中的应用一、势函数、流函数及复势一、势函数、流函数及复势1 1、势函数、势函数 向量的曲线积分与路径无关的向量场称为向量的曲线积分与路径无关的向量场称为向量的曲线积分与路径无关的向量场称为向量的曲线积分与路径无关的向量场称为有势场有势场有势场有势场（如重力场如重力场如重力场如重力场）。）。）。）。有势场可引入有势场可引入有势场可引入有势场可引入势函数势函数势函数势函数（简称势，（简称势，（简称势，（简称势，如重力势如重力势如重力势如重力势）来描述。）来描述。）来描述。）来描述。渗流速度场也属于有势场，可引入速度势的概念：渗流速度场也属于有势场，可引入速度势的概念：在无源区域内在无源区域内势函数满足势函数满足Laplace方程。方程。本讲稿第二页，共二十五页第七节第七节 复势理论在平面渗流问题中的应用复势理论在平面渗流问题中的应用2 2、流函数、流函数 流线上任意一点的切线方向与该点的流动流线上任意一点的切线方向与该点的流动流线上任意一点的切线方向与该点的流动流线上任意一点的切线方向与该点的流动方向一致。方向一致。方向一致。方向一致。设在渗流场中有流线设在渗流场中有流线s，其中一点，其中一点M处的处的切线方向，为该点流体运动方向。切线方向，为该点流体运动方向。设设M点渗流速度为点渗流速度为v，则在，则在x、y方向的分速度为方向的分速度为vx、vy。在。在M点沿流线点沿流线s取一微小增量取一微小增量ds，则在，则在x、y方向的增量为方向的增量为dx、dy，由三角，由三角形相似有：形相似有：流线方程。流线方程。在无源区域内在无源区域内流线方程为全微分方程。流线方程为全微分方程。本讲稿第三页，共二十五页第七节第七节 复势理论在平面渗流问题中的应用复势理论在平面渗流问题中的应用流函数：流函数：渗流速度与渗流速度与流函数关系：流函数关系：为常数时表示流线方程，给定不为常数时表示流线方程，给定不同的常数可得不同的流线。同的常数可得不同的流线。流函数满足流函数满足Laplace方程。方程。满足满足LaplaceLaplace方程的函数称方程的函数称调和函数调和函数，因此在平面渗流场中，因此在平面渗流场中，势函数和流函数均为调和函数。势函数和流函数均为调和函数。柯西柯西-黎曼条件黎曼条件本讲稿第四页，共二十五页沿等势线，势函数的全微分为零，即：沿等势线，势函数的全微分为零，即：则等势线上任一点处的切线斜率为：则等势线上任一点处的切线斜率为：（10）3 3、势函数与流函数的关系、势函数与流函数的关系本讲稿第五页，共二十五页则流线上任一点处的切线斜率为：则流线上任一点处的切线斜率为：（11）所以等势线与流线正交，势函数与流函数为共轭调和所以等势线与流线正交，势函数与流函数为共轭调和函数。函数。（12）沿流线，流函数的全微分也为零：沿流线，流函数的全微分也为零：本讲稿第六页，共二十五页4.例例1、求线性渗流时势函数及流函数、求线性渗流时势函数及流函数由达西定律知：由达西定律知：则则由由C-R条件条件单向流势单向流势则则为单向流流函数为单向流流函数本讲稿第七页，共二十五页4.例例2、设已知生产井的、设已知生产井的求流函数。求流函数。解：解：本讲稿第八页，共二十五页则则又又即即本讲稿第九页，共二十五页第七节第七节 复势理论在平面渗流问题中的应用复势理论在平面渗流问题中的应用5 5、平面渗流场的复势、平面渗流场的复势平面渗流场的势函数和流函数为共轭调和函数，则平面渗流场的势函数和流函数为共轭调和函数，则用势函数为实用势函数为实部、流函数为虚部构成的解析函数部、流函数为虚部构成的解析函数，称为平面渗流场的，称为平面渗流场的复势函复势函数数，简称，简称复势复势。表示为：表示为：已知某一平面渗流场的复势，只需将其实部与虚部分解，便已知某一平面渗流场的复势，只需将其实部与虚部分解，便可得到该渗流场的势函数和流函数。可得到该渗流场的势函数和流函数。本讲稿第十页，共二十五页另外，根据复势，可求出平面渗流场中任意一点处的渗流速度本讲稿第十一页，共二十五页例、复势例、复势w（z）=az+C，求势函数、流函数及渗流速度的绝对值。，求势函数、流函数及渗流速度的绝对值。解：本讲稿第十二页，共二十五页二、复势叠加原理二、复势叠加原理1、平面上点源和点汇的复势、平面上点源和点汇的复势生产井生产井在坐标原点在坐标原点时，其势函数和流函数为：时，其势函数和流函数为：本讲稿第十三页，共二十五页点汇的复势为：点汇的复势为：即：即：（1）（1）式中）式中 w（z）距汇点任意处的复势；距汇点任意处的复势；z复平面上任意点；复平面上任意点；r复变量复变量z的模；的模；复变量复变量z的幅角。的幅角。井点为点源时，复势为：井点为点源时，复势为：本讲稿第十四页，共二十五页如井点在任意点如井点在任意点A=a+ib，其复势为：，其复势为：（2）势函数流函数为：势函数流函数为：zrAAAyx（3）本讲稿第十五页，共二十五页2 2、复势叠加原理、复势叠加原理、复势叠加原理、复势叠加原理若在渗流场中同时存在两个势流，其复势分别为：若在渗流场中同时存在两个势流，其复势分别为：因势函数和流函数是共轭调和函数，是齐次线性方程，满因势函数和流函数是共轭调和函数，是齐次线性方程，满足叠加原理条件，即两个复势可合成一个新复势，新复势的势足叠加原理条件，即两个复势可合成一个新复势，新复势的势函数和流函数仍满足函数和流函数仍满足Laplace方程。方程。（4）且本讲稿第十六页，共二十五页则势函数为：则势函数为：流函数为：流函数为：（7）（6）（5）则同一渗流场中存在多个点源汇时，只需把各个点源汇则同一渗流场中存在多个点源汇时，只需把各个点源汇单独存在时的复势进行简单的代数相加，即可得多井同时存单独存在时的复势进行简单的代数相加，即可得多井同时存在时的复势，称平面渗流场的复势叠加原理。在时的复势，称平面渗流场的复势叠加原理。如平面上有如平面上有n个点源汇，分别位于个点源汇，分别位于A1、A2.An,则任意点则任意点复势为：复势为：本讲稿第十七页，共二十五页三、复势理论在解决多井工作问题中的应用三、复势理论在解决多井工作问题中的应用（一）无限地层中的等产量一源一汇（一）无限地层中的等产量一源一汇r2r12 xy-q+qaa1 由复势叠加原理：由复势叠加原理：（1）本讲稿第十八页，共二十五页则势函数为：则势函数为：流函数为：流函数为：（3）（2）由（由（2）式可得等势线方程。）式可得等势线方程。由（由（3）式：）式：为流线方程为流线方程则则（1）本讲稿第十九页，共二十五页令令化简为：化简为：配方得：配方得：（4）（5）流线为圆。流线为圆。本讲稿第二十页，共二十五页地层中任意点的渗流速度：地层中任意点的渗流速度：地层中任意点的渗流速度：地层中任意点的渗流速度：由由由由则则则则本讲稿第二十一页，共二十五页补充补充补充补充 二、一对等产量的汇二、一对等产量的汇二、一对等产量的汇二、一对等产量的汇xyqqaa1 2 r1r2M由复势叠加原理，由复势叠加原理，由复势叠加原理，由复势叠加原理，MM点的复势为：点的复势为：点的复势为：点的复势为：（1）本讲稿第二十二页，共二十五页则势函数为：则势函数为：则势函数为：则势函数为：（2）流函数为：流函数为：流函数为：流函数为：（3）当当当当时为流线时为流线时为流线时为流线本讲稿第二十三页，共二十五页令令上式化简为：上式化简为：上式化简为：上式化简为：（4）本讲稿第二十四页，共二十五页地层中任意点的渗流速度为：地层中任意点的渗流速度为：地层中任意点的渗流速度为：地层中任意点的渗流速度为：r r为任意点为任意点为任意点为任意点MM到原点的距离，到原点的距离，到原点的距离，到原点的距离，MM点取在原点时，点取在原点时，点取在原点时，点取在原点时，r r为为为为0 0，渗，渗，渗，渗流速度为零，为死油点。流速度为零，为死油点。流速度为零，为死油点。流速度为零，为死油点。本讲稿第二十五页，共二十五页