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第5章数值积分本讲稿第一页，共四十页一、梯形公式一、梯形公式 过a,b两点，作直线方程 用 代替 ，得 本讲稿第二页，共四十页 二、辛浦生（二、辛浦生（SimpsonSimpson）公式（抛物线求积公式）公式（抛物线求积公式）把 区间二等分，过a,b和 三点，作抛物线：构造 的过程：利用Lagrange插值法得公式：本讲稿第三页，共四十页本讲稿第四页，共四十页用 代替 则求得：三、牛顿一柯特斯公式（三、牛顿一柯特斯公式（Newton-CotesNewton-Cotes）区间分法：把区间 n等分，其分点为 过这 个节点，构造一个n次多项式 本讲稿第五页，共四十页 其中 ，用 代替被积函数 ，则有 其中 计算系数 ，用变量替换 ，于是 本讲稿第六页，共四十页本讲稿第七页，共四十页故 引进记号 本讲稿第八页，共四十页则 计算牛顿一柯特斯系数只要能给出n就能求出 例：时有 相应的求积公式为 本讲稿第九页，共四十页时有：N=4时，相应的求积公式为：本讲稿第十页，共四十页 *的 公式，特别称为柯特斯公式。*教材表5.1给出了n=1至6的牛顿一柯特斯系数表。例1试用梯形求积公式，抛物线求积公式和牛顿一柯特斯公式（取n=4）计算定积分(1)梯形求积公式(2)抛物线求积公式 本讲稿第十一页，共四十页(3)牛顿一柯特斯求积公式（取 ）*积分的准确值 5.2 5.2 梯形求积公式和抛物线求积公式的误差估计梯形求积公式和抛物线求积公式的误差估计定义：对一个一般的求积公式 本讲稿第十二页，共四十页 若求积公式 为任意一个次数不高于m次的代数多项式时，等号成立，而对 是m+1次多项式时，公式不能精确成立，则我们说求积公式具有m次代数精确度。梯形求积公式具有一次代数精确度。当 在上存在 ，用一次多项式 逼近 有关系式：根据假定 是一次多项式，则，因此，则本讲稿第十三页，共四十页但当 时 梯形公式具有一次代数精确度牛顿一柯特斯公式的代数精确度至少是n。定义定义：对牛顿一柯特斯公式，当在 存在，用n次插值多项式 逼近 有关系式：假若 是n次多项式，则 本讲稿第十四页，共四十页因此，牛顿一柯特斯公式的代数精确度至少是n。证证明明:当n为偶数时，牛顿一柯特斯公式的代数精确度至少是n，可以达到记 次多项式为则 次导数为对 两边积分得：本讲稿第十五页，共四十页令 为正整数，引进变换 ，有令本讲稿第十六页，共四十页则 也就是说 是一个奇函数，故 即当n为偶数时，牛顿一柯特斯公式对 次多项式精确度成立，因此代数精确度达到 ，抛物求积公式是 时的牛顿一柯特斯公式，代数精确度至少是3,容易证明，抛物线求积公式对四次多项式不能精确成立。取 本讲稿第十七页，共四十页因为 所以抛物线求积公式的代数精确度是3。定理定理5.15.1若 ，则梯形求积公式有误差估计 证明证明：根据定理2.1有本讲稿第十八页，共四十页其中 是依赖于x的函数，两边积分得 因为 在 上连续，而 在 上恒小于零，利用积分中值定理，在 上存在一点 ，使本讲稿第十九页，共四十页因此 定理得证。5.3 5.3 复化公式及其误差估计复化公式及其误差估计 一、复化梯形公式 把区间 n等分，节点本讲稿第二十页，共四十页，对每个小区间用 梯形公式，则得 本讲稿第二十一页，共四十页 称为复化梯形求积公式，下标 表示将区间 等分，若把区间2n等分，在每个小区间上仍用梯形求积公式，则可得到 与之间有关系式：其中（二）复化抛物线公式本讲稿第二十二页，共四十页 因为抛物线公式用到了区间的中点，所以构造复化抛物线公式时，必须把区间 等分为偶数份。为此令 为正整数，在每个小区间 上用抛物线求积公式其中，因此本讲稿第二十三页，共四十页称为复化抛物线求积公式，是区间等分数（三）复化梯形求积公式的误差估计 定理5.3若 ，则其中 证明证明：把区间 等分，并在每个小区间上直接用梯形求积公式的误差估计（5-9）则 本讲稿第二十四页，共四十页由于 在 上连续，利用连续函数的性质知在 中存在一点 ，使这样，就得到了复化梯形求积公式的截断误差本讲稿第二十五页，共四十页（四）复化抛物求积公式的误差估计定理5.4设 ，则对复化抛物型公式有误差估计 其中 例2 计算积分 要求保证有五位有效数字，问若用复化梯形公式，应取多少？若用复化抛物求积公式计算，n又应取多少？本讲稿第二十六页，共四十页解：由 有 ，因b-a=1，故当 时有根据定理5.3有 的真值具有一位整数，所以若要求积分具有五位有效数字，只要取（根据有效数字误差限）本讲稿第二十七页，共四十页两边取对数并整理：只要 即可，也就是说，把区间 等分为68份就可以满足计算要求。用复化抛物线求积公式计算，由（516）有 两边取对数并整理得 本讲稿第二十八页，共四十页因此 即可，或者说，把 六等分就可以满足。5.4 逐次分半法 我们看到，截断误差随 的增长而减小，但对一个给定的积分问题，选定了某种求积的方法，如何确定适当的 ，使近似值和真值之差在允许范围之内呢？所以自动选取积分步长是在求积过程中，根据精度要求，自动确定 并算出满足精度的近似值。当区间 等分时截断误差为 本讲稿第二十九页，共四十页当区间 等分时，截断误差为 将上面两式相减得到 当 在区间 上连续，并假定 充分大时 本讲稿第三十页，共四十页有：故此可以利用此公式估计误差(允许误差)来判断近似值 是否已满足要求，下面给出计算过程：（1）取 ，计算下 ：（2）把区间 分割为二份，取 计算 本讲稿第三十一页，共四十页（3）把区间 四等分，计算 一般的计算公式为 在计算序列 过程中，每算出一个新的近似值 时，就用条件 （允许误差）来检验，当上式满足，计算就停止。本讲稿第三十二页，共四十页例例3 3.用复化梯形公式，复化抛物线公式和 的牛顿一柯特斯公式计算积分（见教材）5.5 5.5 数值方法中的加速收敛技巧数值方法中的加速收敛技巧 假设有一个量 ，用一个步长为 的函数 去逼近，与 无关，对于 的截断误差有估计式：（）本讲稿第三十三页，共四十页例例 利用数据表利用数据表xk01/81/43/81/25/83/47/81f(xk)43.938463.764703.506853.200002.876402.460002.265492计算积分计算积分这个问题有明显的答案这个问题有明显的答案取取n=8用复化梯形公式用复化梯形公式本讲稿第三十四页，共四十页取取n=4,用辛卜生公式用辛卜生公式本讲稿第三十五页，共四十页都是与 无关的常数。也就是说 逼近 的阶是 。令 用 来代替，则有现在用 乘以 式的两边后和上式相减，整理得：若 ，用 除等两边有本讲稿第三十六页，共四十页其中都是与h无关的常数，令那么 逼近 的误差的阶为 ，一般地，当我们选定 为满足 的适当正数时，计算公式为：本讲稿第三十七页，共四十页用归纳法容易证明 逼近 的误差为这里 是与 无关的常数5.5 Romberg5.5 Romberg求积法求积法 Romberg求积是在复化求积公式的基础上，应用Richaroson外推构造的一种算法。方法：把区间 几等分，然后用复化梯形求积公式求得近似值 记为 ，再把 等分，求得近似值 记为 ，如此等等本讲稿第三十八页，共四十页可以得到一个序列 ，它逼近真值的速度为 。取 并注意到 ，有利用 和 可以得到本讲稿第三十九页，共四十页一般地 其中 对 来说截断误差的阶是本讲稿第四十页，共四十页
