通信网理论基础第三章_网内业务分析1.ppt
第三章 网内业务分析 n 通信网络的业务有随机性特点，本章将应用随机服务系统对通信网络建模，主要针对稳态的情形进行分析，主要内容为建立电话网和数据网性能分析模型。n 本章先介绍随机服务系统或排队论的基础知识，然后分别对电话网，分组数据网建立模型，定义性能指标，进行一些优化分析，得到线路容量、交换节点容量和路由等许多结论。3.1 排队论基础 n3.1.1排队论概念 n排队论主要解决与随机到来、排队服务现象有关的应用问题。Erlang正是为了解决电话交换机容量的设计问题而提出排队论。排队论主要研究三个方面的内容：n(1)形态问题，即研究各种排队系统的规律性，这包括队长分布、等待时间分布、忙闲期分布等，同时又分稳态和瞬态两种情形。(2)最优化问题，又分静态最优和稳态最右；前者指最优设计，后者指现在排队系统的最优运用。n(3)排队系统的统计推断，即判断一个给定的排队系统符合那种类型，以 便根据排队理论进行分析研究。n排队系统的组成包括三个部分：n1.输入过程 2.排队规则 3.服务机构。n为了有一个简单模型描述排队系统,使用点移动模型,同时有如下基本假设:n(1)到达间隔独立同分布到达间隔独立同分布;n(2)服务时间独立同分布服务时间独立同分布;n(3)服务时间同到达间隔独立服务时间同到达间隔独立;n各部分具体含义为：n1.输入过程是对顾客到来的特征进行描述,包括顾客总体数目，到来方式（单个或成批），到来间隔的规律等。n2.服务规则包括先到先服务（FIFO），后到先服务（LIFO），随机服务，有优先权服务等。n3.服务机构包括服务员数目，服务时间特征等。n排队系统的表示：n一般用X/Y/Z/A/B/C来表示一个排队系统。其中：nX表示顾客到达间隔时间的分布，即到达规律；nY表示服务时间的分布，服务规律；nZ表示服务员数目，也即窗口数；nA表示系统容量限制，也即排队时的截止队长；nB表示顾客源数目；nC表示服务规则；n若略去后三项，即指X/Y/Z/FIFO。n3.1.2常见过程和分布n分析一个排队系统，首先要知道知道顾客到达间隔和服务时间的分布规律。我们将在本节介绍Poisson过程，负指数分布，Erlang分布等。n(1)Poisson过程 n设N(t)表示在0,t)内到达的顾客数(t0)n当满足下列三个条件是，称顾客的到达形成Poisson流，这三个条件是：n 1 不相重叠的时间区间内到达顾客数相互独立，称之为无后效性n 2 平稳性：在区间t，t+T)内到达k个顾客的概率与t无关，只与T有关,即n 3 对充分小的t，在t，t+t)内到达1个顾客的概率与t成正比，即：n它表示单位时间内有一个顾客到达的概率，也称为到达率;n对充分小的t，在t，t+t内到达2个或2个以上顾客的概率为极小，即：n n可以解得：n固定T时,k为离散随机变量，其分布即为Poisson分布，此外：nPoisson过程中参数 的物理意义为到达率。另外两个独立的Poisson过程的和为一个新的Poisson过程，参数为原过程参数的和。n(2)负指数分布n当输入过程为Poisson过程时，由(1)可知，顾客相继到达的间隔时间服从负指数分布。n能够证明，反过来也成立，也就得到如下著名结论：n定理3.1 一个随机过程是Poisson过程当且仅当其相继到达间隔时间为独立同分布的相同参数的负指数分布。n下面的定理3.2描述了负指数分布的性质:n定理3.2 T1,T2代表两个独立的负指数分布,参数为1和2,令T=min(T1,T2),那么：n1.T是一个以1+2为参数的负指数分布；n2.T的分布与T1,T2谁是最小数无关；n3.Ti为较小数的概率与i成正比。n(3)Erlang分布n设v1,v2,vk是k个相互独立的随机变量，服从相同k参数的负指数分布，那么，nEk=v1+v2+vk的概率密度为：n称Ek服从k阶Erlang分布。n在实际中，Erlang分布簇提供了更为广泛的模型类：n 时，Erlang分布化为负指数分布;nk增大时，Erlang分布逐渐变为对称的；n 时，Erlang分布近似与正态分布。n 3.1.3 M/M/m(n)排队系统分析 n 本小节将讨论输入过程是Poisson过程，服务时间v服从负指数分布的随机服务系统。设服务时间v的分布函数和概率密度为：n其中表示单位时间服务完的顾客数，又称平均服务率，而表示 一个顾客的平均服务时间。n先介绍一下我们要研究的排队系统的参量。队长k，指t瞬间系统内的顾客数；n等待时间w：从顾客到达到顾客开始接受服务的时间；n服务时间v：从顾客开始接受服务到服务完毕离去；n系统时间s，或称系统停留时间，从顾客到达到顾客离去的时间。显然有：s=w+v。n对任何排队系统，有 。这就是著名的little公式。n系统效率：指平均窗口占用率；若共有m个窗口，某时刻有r个被占用，则r/m就是占用率，其统计平均值 就是系统效率。n忙期与闲期n如图所示：即y为一个闲期，x为一个忙期。n(1)M/M/1问题 n取队长作为状态变量来建立系统微分方程。n设 为t时刻系统内有k个顾客的概率（k=0,1,2,）n设t为足够小的时间段，n则：t内到达1个顾客的概率tn t内离去1个顾客的概率tn系统在t+t时刻处于k状态的概率，可以表达为：n至此,得M/M/1完整状态方程:n状态转移图为：n 稳态下，系统内顾客的到达与离去达到平衡，则pk(t)与t无关。n n于是得到稳态方程：n求p0，用归一化条件,形式上：n有稳态解的条件为 n平均队长k:n等待时间wn定理3.3 稳态时,M/M/1的系统时间是参数为-的负指数分布。n考虑如下计算即可 n从而，M/M/1的系统时间是参数为-的负指数分布。n系统效率：n忙期与闲期n一个闲期是无顾客状态后到有一个顾客到达的时间间隔，与到达规律相同。M/M/m(n)问题 n现在，我们讨论m个服务台，系统容量为n的情形。多个服务台相互独立，服务时间为负指数分布,且服务率同为 ;总共只有一个队列，到达为参数是 的Poisson过程。n状态转移图为：n稳态方程:n平均等待时间：n系统效率:na）当n=m时，为多窗口即时拒绝系统;nb）当n，为多窗口非拒绝系统；nc）当m=1,为单窗口系统M/M/1(n);nd）当m=1,n为M/M/1系统。n例3.1：请比较M/M/m系统和m个M/M/1系统，其中每个服务员的服务率为。n解：显然单队列比m个队列有优势，因为它能更充分的利用系统资源。n假设=0.9（人/分钟），每个服务员=0.4（人/分钟），m=3，经计算做成下表以示比较：指标/系统M/M/3 M/M/1 服务台空闲 0.0748 0.25(每个子系统)平均队长 3.95 9.00(整个系统)系统时间 4.39分钟 10分钟
