无穷级数和微分方程幻灯片.ppt
无穷级数和微分方程第1页，共61页，编辑于2022年，星期六一、判断数项级数敛散的方法一、判断数项级数敛散的方法1、利用已知结论：等比级数、P-级数及级数性质2、利用必要条件：主要判别发散3、求部分和数列的极限4、正项级数的审敛法1）比值审敛法（根值审敛法）2）比较审敛法（或极限形式）5、交错级数审敛法：莱布尼兹定理6、一般级数审敛法：先判断是否绝对收敛，如果绝对收敛则一定收敛；否则判断是否条件收敛第2页，共61页，编辑于2022年，星期六1.数项级数及收敛定义数项级数及收敛定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第 n 项叫做级数的一般项,级数的前 n 项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛收敛,则称无穷级数并称 S 为级数的和和。第3页，共61页，编辑于2022年，星期六 等比级数(又称几何级数)(q 称为公比).级数收敛,级数发散.其和为P-级数级数第4页，共61页，编辑于2022年，星期六2.无穷级数的基本性质无穷级数的基本性质 性质性质1.若级数收敛于 S,则各项乘以常数 c 所得级数也收敛,即其和为 c S.性质性质2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为第5页，共61页，编辑于2022年，星期六说明说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.(1)性质2 表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)第6页，共61页，编辑于2022年，星期六性质性质3.在级数前面加上或去掉有限项有限项,不会影响级数的敛散性.性质性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级的和.推论推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.性质性质5：设收敛级数则必有可见:若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0,则级数必发散则级数必发散.第7页，共61页，编辑于2022年，星期六*例例1.判断级数的敛散性:解解:该级数是下列两级数之差故原级数收敛.第8页，共61页，编辑于2022年，星期六(比较审敛法比较审敛法)设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数则有收敛,也收敛;发散,也发散.是两个正项级数,(常数 k 0),3.正项级数审敛法正项级数审敛法第9页，共61页，编辑于2022年，星期六第10页，共61页，编辑于2022年，星期六(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当 l=0(3)当 l=设两正项级数满足(1)当 0 l 时,第11页，共61页，编辑于2022年，星期六的敛散性.例例3.判别级数解解:根据比较审敛法的极限形式知第12页，共61页，编辑于2022年，星期六比值审敛法(Dalembert 判别法)设 为正项级数,且则(1)当(2)当时,级数收敛;或时,级数发散.根值审敛法(Cauchy判别法)设 为正项级数,且则第13页，共61页，编辑于2022年，星期六因此级数收敛.解解:第14页，共61页，编辑于2022年，星期六4.交错级数及其审敛法交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数称为交错级数交错级数.(Leibnitz 判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛。第15页，共61页，编辑于2022年，星期六5.绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 定义定义:对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级收敛,数绝对收敛；则称原级数条件收敛.绝对收敛的级数一定收敛.第16页，共61页，编辑于2022年，星期六由绝对收敛概念和莱布尼兹定理知由绝对收敛概念和莱布尼兹定理知:交错级数第17页，共61页，编辑于2022年，星期六例例5.证明下列级数绝对收敛:证证:而收敛,收敛因此绝对收敛.第18页，共61页，编辑于2022年，星期六发 散发 散收 敛收敛发散 1.Abel定理定理 若幂级数则对满足不等式的一切 x 幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切 x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式二、求幂级数收敛域二、求幂级数收敛域第19页，共61页，编辑于2022年，星期六*例例6.已知幂级数在处收敛，则该级数在处是收敛还是发散？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？解：由Abel定理，该幂级数在处绝对收敛，故在绝对收敛。第20页，共61页，编辑于2022年，星期六例例7.已知处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?答答:根据Abel 定理可知,级数在收敛,时发散.故收敛半径为第21页，共61页，编辑于2022年，星期六若的系数满足1)当 0 时,2)当 0 时,3)当 时,则 的收敛半径为2.求收敛半径求收敛半径第22页，共61页，编辑于2022年，星期六对端点 x=1,的收敛半径及收敛域.解解:对端点 x=1,级数为交错级数收敛;级数为发散.故收敛域为例例8.8.求幂级数 第23页，共61页，编辑于2022年，星期六例例9.求下列幂级数的收敛域:解解:(1)所以收敛域为(2)所以级数仅在 x=0 处收敛.规定规定:0!=1第24页，共61页，编辑于2022年，星期六例例10.的收敛域.解解:令 级数变为当 t=2 时,级数为此级数发散;当 t=2 时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即第25页，共61页，编辑于2022年，星期六三、求函数的幂级数展开式三、求函数的幂级数展开式1、对函数作恒等变形（如果需要的话）2、利用已知结论，用变量代换或求导积分得所求函数的幂级数3、写出收敛范围(P34例1-37)第26页，共61页，编辑于2022年，星期六1.求傅立叶级数展开式2.求某个傅立叶系数3.求和函数在某些点的值四、傅立叶级数的有关问题四、傅立叶级数的有关问题第27页，共61页，编辑于2022年，星期六函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数定理定理 .设 f(x)是周期为 2 的周期函数,且则有第28页，共61页，编辑于2022年，星期六定理定理(收敛定理收敛定理,展开定理展开定理)设 f(x)是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)条件条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则 f(x)的傅里里叶级数收敛,且有 x 为间断点其中为 f(x)的傅里里叶系数.x 为连续点第29页，共61页，编辑于2022年，星期六例例13.设 f(x)是周期为 2 的周期函数,它在 上的表达式为解解:第30页，共61页，编辑于2022年，星期六第31页，共61页，编辑于2022年，星期六微分方程微分方程一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念二、解微分方程二、解微分方程三、微分方程应用三、微分方程应用第32页，共61页，编辑于2022年，星期六含未知函数及其导数的方程叫做微分方程微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念的阶阶.例如：例如：一阶微分方程二阶微分方程第33页，共61页，编辑于2022年，星期六 使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程 确定通解中任意常数的条件.初始条件初始条件(或边值条件或边值条件):的阶数相同.特解特解微分方程的解解 不含任意常数的解,定解条件定解条件 其图形称为积分曲线积分曲线.第34页，共61页，编辑于2022年，星期六例例1.验证函数是微分方程的解.解解:是方程的解.第35页，共61页，编辑于2022年，星期六二、解微分方程二、解微分方程1.一阶微分方程可分离变量，一阶线性2.高阶微分方程可降阶微分方程，二阶线性常系数齐次，二阶线性常系数非齐次只要求写出特解形式。第36页，共61页，编辑于2022年，星期六分离变量方程的解法分离变量方程的解法:(2)两边积分(3)得到通解称为方程的隐式通解,或通积分.(1)分离变量第37页，共61页，编辑于2022年，星期六*例例2.求微分方程的通解.解解:分离变量得两边积分得即(C 为任意常数)因此可能增、减解.第38页，共61页，编辑于2022年，星期六一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若 Q(x)0,若 Q(x)0,称为非齐次方程非齐次方程.1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程齐次方程;第39页，共61页，编辑于2022年，星期六对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得第40页，共61页，编辑于2022年，星期六解解*例例3.3.利用一阶线性方程的通解公式得：利用一阶线性方程的通解公式得：第41页，共61页，编辑于2022年，星期六例例4.解方程 解解:先解即积分得即用常数变易法常数变易法求特解.令则代入非齐次方程得解得故原方程通解为第42页，共61页，编辑于2022年，星期六令因此即同理可得依次通过 n 次积分,可得含 n 个任意常数的通解.型的微分方程型的微分方程 第43页，共61页，编辑于2022年，星期六例例5.解解:第44页，共61页，编辑于2022年，星期六型的微分方程型的微分方程 设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,得原方程的通解第45页，共61页，编辑于2022年，星期六例例6.求解解解:代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为第46页，共61页，编辑于2022年，星期六型的微分方程型的微分方程 令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,得原方程的通解第47页，共61页，编辑于2022年，星期六例例7.求解代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解解:第48页，共61页，编辑于2022年，星期六*例例8.解初值问题解解:令代入方程得积分得利用初始条件,根据积分得故所求特解为得第49页，共61页，编辑于2022年，星期六二阶线性齐次方程解的结构二阶线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.定理定理1.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第50页，共61页，编辑于2022年，星期六定理定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则数)是该方程的通解.例如例如,方程有特解且常数,故方程的通解为(自证)第51页，共61页，编辑于2022年，星期六特征方程:实根 特 征 根通 解二阶线性常系数齐次微分方程求解第52页，共61页，编辑于2022年，星期六例例9.的通解.解解:特征方程特征根:因此原方程的通解为例例10.求解初值问题解解:特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为第53页，共61页，编辑于2022年，星期六*例例11.的通解.解解:特征方程特征根:因此原方程通解为第54页，共61页，编辑于2022年，星期六例例12.解：因是一个特解，所以是特征方程的重根，故特征方程为：所对应微分方程为第55页，共61页，编辑于2022年，星期六二阶线性非齐次方程解的结构二阶线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理定理 3.则是非齐次方程的通解.第56页，共61页，编辑于2022年，星期六(2)若 是特征方程的单根 特解形式为(3)若 是特征方程的重根 特解形式为(1)若 不是特征方程的根特解形式为第57页，共61页，编辑于2022年，星期六的特解形式.解解:本题而特征方程为不是特征方程的根.特解形式为例例13.例例13.的特解形式.解解:本题而特征方程为其根为特解形式为第58页，共61页，编辑于2022年，星期六三、微分方程应用三、微分方程应用1.利用导数几何意义列方程2.利用导数物理意义列方程3.利用牛顿第二定律第59页，共61页，编辑于2022年，星期六求所满足的微分方程.*例例14.已知曲线上点 P(x,y)处的法线与 x 轴交点为 Q解解:如图所示,令 Y=0,得 Q 点的横坐标即点 P(x,y)处的法线方程为且线段 PQ 被 y 轴平分,第60页，共61页，编辑于2022年，星期六例例15.成正比,求解解:根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量,然后积分:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系.t 足够大时第61页，共61页，编辑于2022年，星期六
