B 概率统计Ch7 参数估计part2.ppt
思想方法：一次试验就出现的 事件有较大的概率 例如例如:有两外形相同的箱子有两外形相同的箱子,各装各装10个球个球 第一箱第一箱 9个白球个白球 1 个红球个红球 第二箱第二箱 1 个白球个白球 9个红球个红球现从两箱中任取一箱现从两箱中任取一箱,并从箱中任取一球并从箱中任取一球,结果所取得的球是白球结果所取得的球是白球.答答:9/10.:9/10.试估计所取试估计所取箱中的白球比例。箱中的白球比例。2.极大似然估计极大似然估计1 原则：以样本X1,X2,.Xn的观测值x1,.xn来估计参数 若选取 使观测值出现的概率最大,把 作为参数 的估计量。极大似然估计法极大似然估计法2第七章 参数估计 2 极大似然估计记：记：发生的概率为：3第七章 参数估计 2 极大似然估计4第七章 参数估计 2 极大似然估计5第七章 参数估计 2 极大似然估计6第七章 参数估计 2 极大似然估计7第七章 参数估计 2 极大似然估计（似然方程组）（对数似然方程组）8试求参数p的极大似然估计量。故似然函数为第七章 参数估计 2 极大似然估计9与矩估计量相同。第七章 参数估计 2 极大似然估计1011似然函数为：第七章 参数估计 2 极大似然估计11第七章 参数估计 2 极大似然估计12 极大似然估计的不变性极大似然估计的不变性设 是 的极大似然估计,u=u()是 的函数,且有单值反函数：=(u),则 是 u()的极大似然估计.13第七章 参数估计 2 极大似然估计14第七章 参数估计 2 极大似然估计15第七章 参数估计 2 极大似然估计16X的概率密度为：第七章 参数估计 2 极大似然估计矩估计：矩估计：17似然方程组无解.直接从似然函数本身考虑求最大值.第七章 参数估计 2 极大似然估计18 第七章 参数估计 3 估计量评选标准1920212223 第七章 参数估计 3 估计量评选标准3.估计量的评选标准需要讨论以下问题需要讨论以下问题:问题的提出问题的提出 从前面可见从前面可见,对同一个参数对同一个参数,用不同的用不同的估计法求出的估计量可能不同。估计法求出的估计量可能不同。(1)对于同一个参数究竟哪一个估计量好对于同一个参数究竟哪一个估计量好?(2)评价估计量的标准是什么评价估计量的标准是什么?24 常用的几条标准是：常用的几条标准是：1无偏性无偏性2有效性有效性3一致性一致性 第七章 参数估计 3 估计量评选标准25一、无一、无 偏偏 性性 第七章 参数估计 3 估计量评选标准我们不可能要求每一次由样本得到的估计值与真值都相等，但可以要求这些估计值的平均值与真值相等.定义的合理性26证证例例.第七章 参数估计 3 估计量评选标准27特别：样本二阶矩是总体是总体均值 =E(X)样本均值的无偏估计量.的无偏估计量.二阶矩 第七章 参数估计 3 估计量评选标准28证证例例 第七章 参数估计 3 估计量评选标准29因而 第七章 参数估计 3 估计量评选标准30(这种方法称为这种方法称为无偏化无偏化).第七章 参数估计 3 估计量评选标准31例例.设总体设总体 X 的密度函数为的密度函数为为常数为常数为为 X 的一个样本的一个样本.证明：证明：与与都是都是 的无偏估计量的无偏估计量.证证 故是 的无偏估计量.32令即故 nZ 是 的无偏估计量.33一个参数往往有不止一个无偏估计一个参数往往有不止一个无偏估计,若若和和都是参数都是参数 的无偏估计量，的无偏估计量，可以比较可以比较 第七章 参数估计 3 估计量评选标准以方差小为好以方差小为好,这就引进了这就引进了有效性有效性这一概念这一概念.34D()D()则称则称 较较 有效有效.都是参数都是参数 的无偏估计量，若对任意的无偏估计量，若对任意n，设设和和二、有效性二、有效性35 第七章 参数估计 3 估计量评选标准例例.设总体设总体 X 的密度函数为的密度函数为为为 X 的一个样本的一个样本.36证明：证明：第七章 参数估计 3 估计量评选标准37 设总体 X，且 E(X)=,D(X)=2 为总体 X 的一个样本证明是 的无偏估计量(2)证明比更有效证证 (1)例例(1)设常数38(2)结论结论 算术均值比加权均值更有效.而39例如 X N(,2),(X 1,X 2)是样本.都是 的无偏估计量所以最有效.40定义定义 设 是总体参数 则称是总体参数 的一致估计量.的估计量.若当n 时,依概率收敛于,即三、一致性三、一致性41关于一致性的两个常用结论关于一致性的两个常用结论 1.样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量.是 的一致估计量.由大数定律证明由大数定律证明用切贝雪夫不用切贝雪夫不 等式证明等式证明矩法得到的估计量一般为一致估计量2.设 是 的无偏估计 量,且 ,则42则 是 的一致估计量.证证:例例.所以 是 的一致估计量,证毕.434.区区 间间 估估 计计 区间估计：根据样本给出未知参数的一个范围，并保证真参数以指定的较大概率属于这个范围。(一一)单单正态总体情形正态总体情形441.置信区间与置信度置信区间与置信度第七章 参数估计 4.区间估计45第七章 参数估计 4.区间估计通常，采用95%的置信度，有时也取99%或90%46 2.反映了估计的可靠度反映了估计的可靠度,越小越小,越可靠越可靠.1.置信区间的长度置信区间的长度 L 反映了估计精度反映了估计精度,越小越小,1-越大越大,估计的可靠度越高估计的可靠度越高,但但 3.确定后确定后,置信区间置信区间 的选取方法不唯一的选取方法不唯一,常选长度最小的一个常选长度最小的一个.几几 点点 说说 明明 L 越小越小,估计精度越高估计精度越高.这时这时,L 往往增大往往增大,因而估计精度降低因而估计精度降低.47第七章 参数估计 4.区间估计2.正态总体，求均值的正态总体，求均值的区间估计区间估计(1).已知方差，估计均已知方差，估计均值值48即：对称区间最短对称区间最短第七章 参数估计 4.区间估计49得到的置信区间为：第七章 参数估计 4.区间估计区间的长度为 达到最短50取 =0.051-1-51例.已知幼儿身高服从正态分布，现从5岁的幼儿 中随机地抽查了9人，其高度分别为：115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;第七章 参数估计 4.区间估计52(2).未知方差，估计均值未知方差，估计均值第七章 参数估计 4.区间估计53第七章 参数估计 4.区间估计 对称区间最短对称区间最短54得到的置信区间为：第七章 参数估计 4.区间估计55例.用仪器测量温度，重复测量7次，测得温度分别为：115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;设温度第七章 参数估计 4.区间估计563.正态总体，求方差2的区间估计第七章 参数估计 4.区间估计57第七章 参数估计 4.区间估计58第七章 参数估计 4.区间估计得到2的置信区间为：59例.设某机床加工的零件长度今抽查16个零件，测得长度（mm）如下：12.15,12.12,12.01,12.08,12.09,12.16,12.03,12.01,12.06,12.13,12.07,12.11,12.08,12.01,12.03,12.06,以置信度为95%，试求总体方差 的置信区间。第七章 参数估计 4.区间估计60为总体 XN(1 12)的样本,为总体 YN(2 22)的样本,设X,Y独立，置信度为 1 .分别表示X,Y的样本均值与修正(二二)双正态总体情形双正态总体情形第七章 参数估计 4.区间估计样本方差.求 1-2，12/22 的区间估计.61相互独立,1.已知,求 的置信区间第七章 参数估计 4.区间估计62解出解出 的置信区间为：的置信区间为：63取样本函数2.方差比的置信区间 得，方差比的置信区间：第七章 参数估计 4.区间估计64例例2 某厂两条流水线包装产品，重量都服从正态分布，其均值为 1与 2.现分别抽取容量分别为n1=13与n2=17的两独立样本：与测得：第七章 参数估计 4.区间估计(1)若已知方差,求均值差的置信度为0.95 的置信区间;(2)求方差比置信度为 0.95 的置信区间.65解解查表得 ，n1=13,n2=17 代入公式 的置信区间为(1)取样本的函数66(2)取样本函数查表得代入公式得方差比 的置信区间为67(三三)单侧置信区间单侧置信区间 某些问题只关心置信区间的上限或下限，如次品率问题只关心上限,产品寿命问题只关心下限。考虑单侧置信区间.对01，样本X1,X2,.,Xn，确定统计量，确定统计量则称单侧置信区间.称为单侧置信下限。第七章 参数估计 4.区间估计68对01，样本X1,X2,.,Xn，确定统计量，确定统计量则称单侧置信区间.称为单侧置信上限。第七章 参数估计 4.区间估计单侧置信下限.697071727374757677787980
