数字图像处理图像交换.pptx
3.1 概述 输入函数f(x,y)妇表示原始图像，输出函数g(x,y)表示经处理后的图像，线性系统可看作是一种映射，它反映了各种线性的图像处理方法。1 1）图像处理的线性描述）图像处理的线性描述第1页/共33页系统的输入和输出关系表示为 一般地讲，图像处理的二维系统为非因果系统，因空间变量(x,y)相对于某参考轴可为负值。第2页/共33页2）图像变换的好处一般数字图像处理的计算方法本质上都为线性，处理后的输出图像阵列为输入图像阵列的各个元素的加权线性组合，这种空间线性处理要比非线性处理简单但若图像阵列很大，如果没有有效的算法，计算上很麻烦且费时，往往采用各种图像变换的方法，可获得更有效的处理第3页/共33页3.2 图像的线性运算 若实变量函数f(x,y)连续可积，且F(u)可积，则傅里叶变换对为：3.2.23.2.2 二维连续傅立叶变换二维连续傅立叶变换1 1）一维连续傅立叶变换）一维连续傅立叶变换u=/2,u=/2,为频率变量为频率变量第4页/共33页 考虑f(x)为实函数，将傅立叶变换写成复数形式进一步写成指数形式 为幅值函数，称为 f(x)的傅立叶谱 称为相角傅立叶谱的平方，称为能量谱或功率谱第5页/共33页 若 f(x,y)连续可积的，且F(u,v)可积，则二维傅立叶变换对为2 2）二维连续傅立叶变换）二维连续傅立叶变换 其中u,v是空间频率变量第6页/共33页傅立叶谱相角能量谱第7页/共33页表3.1给出了常用函数的二维傅立叶变换对第8页/共33页3.3 二维离散傅立叶变换及其性质3.3.1 概述 离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform 简称 DFT）在数字信号处理和数字图像处理中应用十分广泛，它建立了离散时域和离散频域之间的联系。第9页/共33页如何运用DFT 将输入的数字信号首先进行 DFT 变换，在频域中进行各种有效的处理，然后进行 DFT 反变换，恢复为时域信号。第10页/共33页DFT的优点用计算机对变换后的信号进行频域处理，比在时域中直接处理更加方便，计算量也大大减少，提高了处理速度有快速算法，即 FFT(Fast Fourier Transform)算法第11页/共33页3.3.2 二维离散傅立叶变换 以 x 为增量间隔进行取样，将一维连续函数 f(x)离散化。1)1)一维离散傅立叶变换一维离散傅立叶变换 式中x=0,1,2,，N-1，为离散值 表示为：第12页/共33页经取样后的一维离散函数 f(x)的离散傅立叶变换对由下式表示：式中F(u)也是一个离散函数,F(u)=F(u0+uu),若取样始于原点 式中u=0,1,2,，N-1，为离散值空间域取样间隔x和频率域取样间隔 u 之间的关系为第13页/共33页2）二维离散傅立叶变换式中空间域取样间隔x，y和频率域取样间隔 u，v 之间的关系为第14页/共33页式中在数字图像处理中，图像一般取样为方形阵列，M=N，那么二维 DFT 可表示为第15页/共33页 常用的是正、反变换式中常数项均取 l/N 这不影响问题的本质。几个参数第16页/共33页3.3.3 二维离散傅立叶变换的性质1）线性设 F1(u,v)和 F2(u,v)分别为二维离散函数 f1(x,y)和f2(x,y)的DFT，则式中a，b是常数第17页/共33页2）可分离性将式（3.3.10）分成两部分乘积设式（3.3.13）后面的求和项为：此式表示对每一个 x 值，f(x,y)先沿每一行进行一次一维傅立叶变换（对比式(3.3.2)）第18页/共33页再将F(x,v)沿每一列进行一次一维傅立叶变换，就可得二维傅立叶变换 F(u,v)，即上述过程用图表示为第19页/共33页显然，改为先沿列后沿行分离为两个一维变换，其结果是一样的。即 二维离散傅立叶反变换的分离过程与上述相似，所不同的只是指数项为正。第20页/共33页若f(x,y)F(u,v)，则2）平移性(1)(2)(3)频移/空移时，幅度不变。(4)当u0=v0=N/2时,即，如果需要将图像频谱的原点从起始点(0,0)移到图像的中心点(N/2,N/2)，只要 f(x,y)乘上(-1)(x+y)因子,再进行傅立叶变换即可第21页/共33页（a）原始图像 (b)中心化前的频谱图 (c)中心化后的频谱图图3.3.3 图像频谱的移动实例 第22页/共33页4)周期性和共轭对称性周期性v共轭对称性第23页/共33页5）旋转不变性引入极坐标有：此式表明，如果 f(x,y)在空间域中旋转 0角度后，相应的傅立叶变换 F(u,v)在频域中也旋转 同一0角。反之亦然。第24页/共33页傅立叶变换的旋转性图3.3.5 傅立叶变换的旋转性第25页/共33页6）分配性和比例性分配性v比例性对于两个标量a和b，有第26页/共33页7）平均值二维离散函数的平均值定义如下：将u=v=0带入F(u,v)公式，得所以：第27页/共33页8）微分性质定义f(x,y)的拉普拉斯算子为按二维傅立叶变换的定义，可得：拉普拉斯算子通常用于检测图像的边缘第28页/共33页9）卷积定理连续函数卷积定理两个二维连续函数 f(x,y)和 g(x,y)的卷积定义为设f(x,y)F(x,y)，g(x,y)G(x,y)，则第29页/共33页设v离散函数卷积定理其二维离散卷积形式为 此形式与连续的基本一样，所不同的是所有变量 x，y，u，v 都是离散量二维离散卷积定理可用下式表示第30页/共33页10）相关定理其中第31页/共33页一点补充 在图像处理中，常以光强度函数显示傅立叶谱。但许多图像的谱随着频率的增加衰减的很快，因此它们的高频项变得越来越不清楚，为解决此问题，常用下面的函数代替|F(u)|第32页/共33页感谢您的观看。第33页/共33页
