数字电子技术基础第五版.pptx

作作 业业题题2.3 题题2.7 题题2.8 题题2.10（1）（）（6）题题2.11(4)题题2.12(2)题题2.13(2)（3）题题2.15(5)（9）题题2.16(a)（c）题题2.18(3)（5）（）（7）题题2.22(3)题题2.23(4)题题2.25(3)第1页/共136页本章的内容2.1 概述概述2.2 逻辑代数中的三种基本运算逻辑代数中的三种基本运算2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本公式和常用公式2.4 逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理2.5 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法2.6 逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简第2页/共136页2.1 概述 在数字电路中，1位二进制数码“0”和“1”不仅可以表示数量的大小，也可以表示事物的两种不同的逻辑状态，如电平的高低、开关的闭合和断开、电机的起动和停止、电灯的亮和灭等。这种只有两种对立逻辑状态的逻辑关系，称这种只有两种对立逻辑状态的逻辑关系，称为二值逻辑。为二值逻辑。当二进制数码“0”和“1”表示二值逻辑，并按某种因果关系进行运算时，称为逻辑运算逻辑运算，最基本的三种逻辑运算为“与”、“或”、“非”，它与算术运算的本质区别是“0”和“1”没有数量的意义。故在逻辑运算中1+1=1(或运算）2.1.1 二值逻辑和逻辑运算二值逻辑和逻辑运算第3页/共136页 数字电路是一种开关电路，输入、输出量是高、低电平，可以用二值变量（取值只能为0，l）来表示。输入量和输出量之间的关系是一种逻辑上的因果关系。仿效普通函数的概念，数字电路可以用逻辑函数的的数学工具来描述。2.1.2 数字电路的特点及描述工具 逻辑代数是布尔代数在数字电路中二值逻辑的应用，它逻辑代数是布尔代数在数字电路中二值逻辑的应用，它首先是由英国数学家乔治首先是由英国数学家乔治.布尔（布尔（George Boole）提出的，）提出的，用在逻辑运算上。后来用在数字电路中，就被称为开关代数用在逻辑运算上。后来用在数字电路中，就被称为开关代数或逻辑代数，它是逻辑函数的基础。或逻辑代数，它是逻辑函数的基础。第4页/共136页注意：1.逻辑代数和普通数学代数的运算相似，如有交换律、结合逻辑代数和普通数学代数的运算相似，如有交换律、结合律、分配律，而且逻辑代数中也用字母表示变量，叫逻辑变律、分配律，而且逻辑代数中也用字母表示变量，叫逻辑变量。量。2.逻辑代数和普通数学代数有本质区别，普通数学代数中逻辑代数和普通数学代数有本质区别，普通数学代数中的变量取值可以是正数、负数、有理数和无理数，是进行的变量取值可以是正数、负数、有理数和无理数，是进行十进制（十进制（09）数值运算。）数值运算。而逻辑代数中变量的取值只有而逻辑代数中变量的取值只有两个：两个：“0”和和“1”。并且。并且“0”和和“1”没有数值意义，没有数值意义，它只是表示事物的两种逻辑状态。它只是表示事物的两种逻辑状态。第5页/共136页2.2 逻辑代数中的三种基本运算 在二值逻辑函数中，最基本的逻辑运算有与（在二值逻辑函数中，最基本的逻辑运算有与（AND）、）、或（或（OR）、非（）、非（NOT）三种逻辑运算。）三种逻辑运算。第6页/共136页 与与（AND）或或（OR）非非（NOT）以以A A=1=1表示开关表示开关A A合上，合上，A A=0 0表示开关表示开关A A断开；断开；以以Y Y=1 1表示灯亮，表示灯亮，Y Y=0 0表示灯不亮；表示灯不亮；三种电路的因果关系不同：三种电路的因果关系不同：第7页/共136页与与与运算也叫逻辑乘或逻辑与，即当所有的条件都满足时，事件才会发生，即“缺一不可。Y=A AND B =A&B=AB=ABA BA BY Y0 00 00 00 10 10 01 0 00 01 1 11 1逻辑规律服从“有0出0，全1才出1”第8页/共136页或或或运算也叫逻辑加或逻辑或，即当其中一个条件满足时，事件就会发生，即“有一即可Y=A OR B =A+BA BA BY Y0 00 00 00 10 11 11 0 01 11 1 11 1其逻辑规律服从“有1出1，全0才出0”第9页/共136页非非 条件具备时，事件不发生；条件不具备时，事件发生A A Y Y0 0 1 11 10 0第10页/共136页几种常用的复合逻辑运算与非 或非 与或非“有0出1，全1才出0”有“1”出“0”全“0”出“1”第11页/共136页几种常用的复合逻辑运算异或Y=A BA BA BY Y0 00 00 00 10 11 11 0 01 11 1 10 0符号“”表示异或运算，即两个输入逻辑变量取值不同时Y=1，即不同为“1”相同为“0”，异或运算用异或门电路来实现第12页/共136页异或运算的性质1.交换律：交换律：2.结合律：结合律：3.分配律：分配律：推论：当推论：当n个变量做异或运算时，若有偶数个变量取个变量做异或运算时，若有偶数个变量取“1”时，时，则函数为则函数为“0”；若奇数个变量取；若奇数个变量取1时，则函数为时，则函数为1.4.第13页/共136页几种常用的复合逻辑运算同或Y=A BA BA BY Y0 00 01 10 10 10 01 0 00 01 1 11 1符号“”表示同或运算，即两个输入变量值相同时Y=1，即相同为“1”不同为“0”。同或运算用同或门电路来实现，它等价于异或门输出加非门第14页/共136页2.3.1 基本公式2.3.2 常用公式2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式第15页/共136页2.3.1 基本公式根据与、或、非的定义，得表2.3.1的布尔恒等式序号序号公公 式式序号序号序号序号公公 式式1010 1 1 =0 0;0 0=1 11 10 0 0 0 A A=0 0 0 011111 1+A=+A=1 12 21 A=A12120 0+A=A+A=A3 3A A=AA A=A1313A+A=AA+A=A4 4A A=A A=0 01414A+A=A+A=1 15 5A B=B AA B=B A1515A+B=B+AA+B=B+A6 6A(B C)=(A B)CA(B C)=(A B)C1616A+(B+C)=(A+B)+CA+(B+C)=(A+B)+C7 7A(B+C)=A B+A CA(B+C)=A B+A C1717A+B C=(A+B)(A+C)A+B C=(A+B)(A+C)8 8(A B)=A+B(A B)=A+B1818(A+B)=AB(A+B)=AB9 9(A)=A(A)=A证明方法：推演 真值表第16页/共136页A 0=0A+0=AA 1=AA+1=12.交换律、结合律、分配律交换律、结合律、分配律a.交换律：交换律：AB=BA A+B=B+Ab.结合律：结合律：A（BC）=（AB）C A+（B C）=（AB）+Cc.分配律：分配律：A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)1.关于变量与常数关系的定理说明：由表中可以看出说明：由表中可以看出第17页/共136页a.互补律：互补律：b.重叠律：重叠律：A A=A A+A=Ac.非非律：非非律：d.吸收律：吸收律：A+A B=A A(A+B)=A e.摩根定律：摩根定律：注：以上定律均可由真值表验证注：以上定律均可由真值表验证3.逻辑函数独有的基本定理第18页/共136页公式（17）的证明（公式推演法）：第19页/共136页公式（17）的证明（真值表法）：ABCABCBCBCA+BCA+BCA+BA+BA+CA+C（A+BA+B）(A+C)(A+C)0000000 00 00 00 00 00010010 00 00 01 10 00100100 00 01 10 00 00110111 11 11 11 11 11001000 01 11 11 11 11011010 01 11 11 11 11101100 01 11 11 11 11111111 11 11 11 11 1第20页/共136页2.3.2 若干常用公式序 号公 式21A+A B=A22A+A B=A+B23A B+A B=A24A(A+B)=A25A B+A C+B C=A B+A CA B A C+B CD=A B+A C26A(AB)=A B;A(AB)=A 第21页/共136页说明：1.AABA：在两个乘积项相加时，如果其中一项包含另：在两个乘积项相加时，如果其中一项包含另一项，则这一项是多余的，可以删掉；一项，则这一项是多余的，可以删掉；2.AA BAB：在两个乘积项相加时，如果其中一项含：在两个乘积项相加时，如果其中一项含有另一项的取反因子，则此取反因子多余的，可从该项中删有另一项的取反因子，则此取反因子多余的，可从该项中删除；除；3.ABA B A：在两个乘积项相加时，如果它们其中的：在两个乘积项相加时，如果它们其中的一个因子相同，而另一个因子取反，则两项合并，保留相同一个因子相同，而另一个因子取反，则两项合并，保留相同因子；因子；4.A（AB）A：在当一项和包含这一项的和项相乘时，：在当一项和包含这一项的和项相乘时，其和项可以消掉其和项可以消掉第22页/共136页5.ABA CBC ABA C：在三个乘积项相加时，如果前两项中的一个因子互为反，那么剩余的因子组成的另一项则是多余的，可以删掉；公式ABA CBCD ABA C 的原理和上述相同6.A（A B）A B ：如果某项和包含这一项的乘积项取：如果某项和包含这一项的乘积项取反相乘时，则这一项可以删掉；反相乘时，则这一项可以删掉；7.A （A B）A ：当某个项取反和包含这一项的乘积：当某个项取反和包含这一项的乘积项取反相乘时，则只保留这个取反项项取反相乘时，则只保留这个取反项以上的公式比较常用，应该能熟用，为以后逻辑函数的化以上的公式比较常用，应该能熟用，为以后逻辑函数的化简打好基础简打好基础第23页/共136页2.4 逻辑代数的基本定理2.4.1 代入定理内容：任何一个含有变量A 的等式，如果将所有出现 A 的位置都用同一个逻辑函数G来替换，则等式仍然成立。利用代入定理可以证明一些公式，也可以将前面的两变量常利用代入定理可以证明一些公式，也可以将前面的两变量常用公式推广成多变量的公式用公式推广成多变量的公式第24页/共136页2.4.1 代入定理应用举例：式（17）A+BC =(A+B)(A+C)A+B(CD)=(A+B)(A+CD)=(A+B)(A+C)(A+D)第25页/共136页2.4.1 代入定理应用举例：式（8）第26页/共136页内容：内容：若已知逻辑函数若已知逻辑函数Y的逻辑式，则只要将的逻辑式，则只要将Y式中所有的式中所有的“.”换为换为“+”,“+”换为换为“.”,常量常量“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，所有原变量（不带非号）变成反变量，所，所有原变量（不带非号）变成反变量，所有反变量换成原变量，得到的新函数即为原函数有反变量换成原变量，得到的新函数即为原函数Y的反函数的反函数（补函数）（补函数）Y 。利用摩根定律，可以求一个逻辑函数利用摩根定律，可以求一个逻辑函数 的反的反函数。函数。2.4.2.反演定理注意：1.变换顺序 先括号，然后乘，最后加2.对跨越两个或两个以上变量的“非号”要保留不变；第27页/共136页2.4.2 反演定理应用举例：第28页/共136页2.4.3.对偶规则对偶式：设Y是一个逻辑函数，如果将Y中所有的“+”换成与“”，“.”换成与“+”，“1”换成与“0”，“0”换成与“1”，而变量保持不变，则所得的新的逻辑式 YD 称为Y的对偶式。如：如：第29页/共136页对偶规则：如果两个函数Y和G相等，则其对偶式YD和GD也必然相等。利用对偶式可以证明一些常用公式例1.1.5 试利用对偶规则证明分配律 ABC=(A+B)(A+C)式子成立证明：设证明：设Y ABC，G(A+B)(A+C)，则它们的对偶式为，则它们的对偶式为故YG，即ABC=(A+B)(A+C)由于由于第30页/共136页证明：设证明：设则它们的对偶式为由于由于故YG，即例1.1.6 试利用对偶规则证明吸收律AA BAB 式子成立第31页/共136页2.5逻辑函数及其表示方法其中：其中：A1,A2 An称为称为n个输入逻辑变量，取值只能是个输入逻辑变量，取值只能是“0”或是或是“1”，Y为输出逻辑变量，取值只能是为输出逻辑变量，取值只能是“0”或或 是是“1”则则F称为称为n变量的逻辑函数变量的逻辑函数 在数字电路中，输入为二值逻辑变量，输出也是二值变在数字电路中，输入为二值逻辑变量，输出也是二值变量，则表示输入输出的逻辑函数关系，即量，则表示输入输出的逻辑函数关系，即如如 YAB C，表示输出等于变量，表示输出等于变量B取反和变量取反和变量C的与，的与，再和变量再和变量A相或。相或。2.5.1 逻辑函数逻辑函数第32页/共136页2.5.2 逻辑函数的表示方法真值表逻辑式逻辑图波形图卡诺图计算机软件中的描述方式各种表示方法之间可以相互转换第33页/共136页真值表输入变量输入变量A B CA B C输出输出Y Y1 1 Y Y2 2 遍历所有可能的输遍历所有可能的输入变量的取值组合入变量的取值组合输出对应的取值输出对应的取值第34页/共136页逻辑式 将输入/输出之间的逻辑关系用与/或/非的运算式表示就得到逻辑式。逻辑图 用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路的实现相对应。波形图 将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排列起来画成时间波形。第35页/共136页第36页/共136页卡诺图EDA中的描述方式 HDL(Hardware Description Language)VHDL(Very High Speed Integrated Circuit )Verilog HDL EDIF DTIF 。第37页/共136页举例：举重裁判电路A B CA B CY Y0 0 00 0 00 00 0 10 0 10 00 1 00 1 00 00 1 10 1 10 01 0 01 0 00 01 0 11 0 11 11 1 01 1 01 11 1 11 1 11 1第38页/共136页各种表现形式的相互转换：真值表 逻辑式例：奇偶判别函数的真值表A=0,B=1,C=1使 ABC=1A=1,B=0,C=1使 ABC=1A=1,B=1,C=0使 ABC=1这三种取值的任何一种都使Y=1,所以 Y=?A AB B C CY Y0 00 00 00 00 00 01 10 00 01 10 00 00 01 11 11 11 10 00 00 01 10 01 11 11 11 10 01 11 11 11 10 0第39页/共136页真值表 逻辑式：1.找出真值表中使 Y=1 的输入变量取值组合。2.每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为1的写原变量，取值为0的写反变量。3.将这些变量相加即得 Y。4.把输入变量取值的所有组合逐个代入逻辑式中求出Y，列表第40页/共136页逻辑式 逻辑图1.用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。第41页/共136页逻辑式 逻辑图1.用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。2.从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑运算式。第42页/共136页波形图 真值表第43页/共136页波形图 真值表（1）由波形图得到真值表）由波形图得到真值表 根据所给的波形，列出各输入变量组合所对应的输出值根据所给的波形，列出各输入变量组合所对应的输出值例例2.5.7 已知逻辑函数已知逻辑函数Y的输出波形如图的输出波形如图2.5.6所示，试分析其所示，试分析其逻辑功能。逻辑功能。解：由所给的波形写出解：由所给的波形写出输入输出的真值表，如输入输出的真值表，如表表2.5.7所示所示第44页/共136页由真值表可知，当输入变量A、B取值相同时，输出Y1；A、B取值不同时，输出Y0。故输出和输入是同或关系。其逻辑函数式为YBA111001010100输出输入表表2.5.7第45页/共136页例2.5.8 已知图2.5.7所示是某个数字逻辑电路的输入输出波形，试画出该组合逻辑电路图，并判断其逻辑功能解解:由波形得出真值表如表由波形得出真值表如表2.5.8所示所示输入输出ABCY00001111001100110101010101101001表表2.5.8第46页/共136页由真值表写出输出的逻辑式输入输出ABCY00001111001100110101010101101001表表2.5.8由真值表可知，当输出有奇数个由真值表可知，当输出有奇数个“1”时，输入为时，输入为“1”。故此电路。故此电路为为“判奇电路判奇电路”，其逻辑图如图，其逻辑图如图2.5.8所示所示第47页/共136页（2）由真值表画出波形图按照真值表的输入取值，画出输入输出的波形。按照真值表的输入取值，画出输入输出的波形。例例2.5.9 已知逻辑函数的真值表如表已知逻辑函数的真值表如表2.5.9所示，试画出输入输所示，试画出输入输出波形和输出端的逻辑函数式。出波形和输出端的逻辑函数式。输入输出ABCY00001111001100110101010111001000表表2.5.9解：由真值表画出输入输出波解：由真值表画出输入输出波形如图形如图2.5.9所示所示第48页/共136页输出端的逻辑式为输入输出ABCY00001111001100110101010111001000表表2.5.9第49页/共136页2.5.3 逻辑函数的两种标准型 一种输入输出的逻辑关系可以有多种等效的表达式表示，一种输入输出的逻辑关系可以有多种等效的表达式表示，但可以化为标准形式。其标准型有两种但可以化为标准形式。其标准型有两种：标准与或式和标准标准与或式和标准或与式或与式1.最小项最小项a.定义定义:在在n变量的逻辑函数中，变量的逻辑函数中，设有设有n个变量个变量A1 An，而，而 m 是由所有这是由所有这n个变量组成的乘积项（与项）。若个变量组成的乘积项（与项）。若m中包含中包含的每一个变量都以的每一个变量都以A i 或或A i 的形式出现一次且仅一次，则称的形式出现一次且仅一次，则称m 是是n变量的最小项。变量的最小项。注：注：n个变量构成的最小项有个变量构成的最小项有2n个，通常用个，通常用 mi 表示第表示第i 个最小个最小项，变量按项，变量按A1 An排列，以原变量出现时对应的值为排列，以原变量出现时对应的值为“1”，以反变量出现时对应的值取以反变量出现时对应的值取“0”，按二进制排列时，其十进，按二进制排列时，其十进制数即为制数即为i。一、最小项和最大项一、最小项和最大项第50页/共136页表2.5.10、表2.5.11、表2.5.12分别为二变量、三变量和四变量的最小项第51页/共136页第52页/共136页最小项的性质在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为1。全体最小项之和为1。任何两个最小项之积为0。两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子。-相邻：仅一个变量不同的最小项 如 第53页/共136页2.最大项a.定义定义：在在n变量的逻辑函数中，变量的逻辑函数中，设有设有n 个变量个变量A1 An，而，而M是由所有这是由所有这n个变量组成的和项（或项）。若个变量组成的和项（或项）。若M中包含的每一中包含的每一个变量都以个变量都以Ai或或A i 的形式出现一次且仅一次，则的形式出现一次且仅一次，则M是是n变量变量的最大项。的最大项。注：注：n个变量构成的最大项也有2n个，通常用Mi表示第i个最大项，变量按A1 An排列，以原变量出现时对应的值为“0”，以反变量出现时对应的值取“1”，按二进制排列时，其十进制数即为i。第54页/共136页表2.5.13、表2.5.14分别为二变量、三变量的最大项，四变量最大项课下自己写出第55页/共136页最大项的性质在输入变量任一取值下，有且仅有一个最大项的值为0；全体最大项之积为0；任何两个最大项之和为1；只有一个变量不同的最大项的乘积等于各相同变量之和。第56页/共136页二、逻辑函数的标准与或式型最小项之和标准型如如与或型特点：与或型特点：1.式子为乘积和的形式；式子为乘积和的形式；2.不一定包含所有的最小项，但每一不一定包含所有的最小项，但每一 项必须为最小项项必须为最小项第57页/共136页标准与或式的写法：在n变量的逻辑函数中，若某一乘积项由于缺少一个变量不是最小项，则在这项中添加此变量与这个变量的反变量之和这一项，使之称为最小项，即利用公式AA1例例2.5.10 将逻辑函数将逻辑函数YAB C写成标准与或式写成标准与或式解：解：注意：变量的排列顺序。注意：变量的排列顺序。第58页/共136页三、逻辑函数的标准或与式型最大项之积标准型如如与或型特点：与或型特点：1.式子为和积的形式；式子为和积的形式；2.逻辑函数不一定包含所有的最大逻辑函数不一定包含所有的最大 项，项，但每一项必须为最大项但每一项必须为最大项第59页/共136页标准或与式的写法：在n变量的逻辑函数中，若某一和项由于缺少一个变量不是最大项，则在这项中加上此变量与这个变量的反变量之积这一项，即利用公式AA0，然后利用公式ABC（AB）（AC）使之称为最大项例例2.5.11 将逻辑函数将逻辑函数YAC B C写成或与式写成或与式解：解：第60页/共136页四、最小项与最大项的关系设有三变量设有三变量A、B、C的最小项，如的最小项，如m5 AB C，对其求反得，对其求反得由此可知对于由此可知对于n 变量中任意一对最小项变量中任意一对最小项 mi 和最大项和最大项Mi，都，都是互补的，即是互补的，即第61页/共136页五、标准与或式和或与式之间的关系若某函数写成最小项之和的形式为若某函数写成最小项之和的形式为则此函数的反函数必为则此函数的反函数必为如表如表2.5.15中中第62页/共136页上式或写成利用反演定理可得利用反演定理可得第63页/共136页六、逻辑函数的两种标准形式：有时需要把任意逻辑函数变换为两种标准形式：与或式（最小项之和）和或与式（最大项之积）。实现这种变换方法很多，可以利用添项、真值表、卡诺图等实现，这里介绍利用添项和真值表将逻辑函数变换成标准型。1.利用真值表利用真值表 首先写出逻辑函数的真值表，由真值表写出最小项和最首先写出逻辑函数的真值表，由真值表写出最小项和最大项。大项。标准与或式写法标准与或式写法 ：由真值表确定逻辑函数为“1”的项作为函数的最小项(乘积项）。若输入变量取“1”，则写成原变量；若输入变量取值为“0”，则写成反变量。不同的输出“1”为和的关系。第64页/共136页标准或与式写法标准或与式写法 ：由真值表确定逻辑函数为“0”的项作为函数的最大项（和项）。若输入变量取“1”，则写成反变量；若输入变量取值为“0”，则写成原变量。不同的输出“0”为积的关系。例2.5.12 试将下列函数利用真值表转化成两种标准形式解：其真值表如表2.5.16所示第65页/共136页逻辑函数的标准或与型为逻辑函数的标准或与型为则逻辑函数的标准与或型为第66页/共136页标准或与式的写法：标准或与式的写法：在逻辑函数中，先将逻辑函数化为和积式。若某一和项由于缺少一个变量不是最大项，则在这项中添加此变量与这个变量的反变量之积这一项，再利用AABB（AB）（AB）使之称为最大项2.利用公式AA 1及AA 0将逻辑函数变换为与或式和或与式标准与或式写法标准与或式写法 ：在逻辑函数中，先将函数化成与或式（不一定是最小项），则在与项中利用公式 AA1添加所缺的逻辑变量，写成最小项的形式例2.5.13 试利用添加项的方法将下面逻辑函数转化成与或标准式第67页/共136页解：标准与或式为例例2.5.14 试用添加项方法将下面逻辑函数转化成或与标准式试用添加项方法将下面逻辑函数转化成或与标准式解解:第68页/共136页a.在将一个在将一个n变量的逻辑函数写成与或式（最小项之和）后，变量的逻辑函数写成与或式（最小项之和）后，若要写成或与式（最大项之和）时，其最大项的编号是除了最若要写成或与式（最大项之和）时，其最大项的编号是除了最小项编号外的号码，最小项与最大项的总个数为小项编号外的号码，最小项与最大项的总个数为2n；b.由由i个最小项构成的与或式（最小项之和）逻辑函数，其反个最小项构成的与或式（最小项之和）逻辑函数，其反函数可以用函数可以用i个最大项的或与式（最大项之和）表示，其编号个最大项的或与式（最大项之和）表示，其编号与最小项编号相同。与最小项编号相同。总结：总结：第69页/共136页例1.2.5 将下面逻辑函数转化成两种标准式，并求其反函数解：标准与或式为解：标准与或式为标准或与式为第70页/共136页（注：反函数的最大项编码与原函数最小项编码相同注：反函数的最大项编码与原函数最小项编码相同）反函数为第71页/共136页2.5.4 逻辑函数形式的变换 除了上述标准与或式和标准或与式的外，还需要将逻辑除了上述标准与或式和标准或与式的外，还需要将逻辑函数变换成其它形式。假如给出的是一般与或式，要用与非函数变换成其它形式。假如给出的是一般与或式，要用与非门实现，就需要将其变成与非与非式。门实现，就需要将其变成与非与非式。一、与或式化为与非与非式一、与或式化为与非与非式利用反演定理利用反演定理 例例2.5.10 将下式将下式Y=AC+BC 用与非门实现，并画出逻辑图。用与非门实现，并画出逻辑图。解：用二次求反，将第一级非号用摩根定理拆开，第二级保解：用二次求反，将第一级非号用摩根定理拆开，第二级保持不变。持不变。第72页/共136页 如果本身有反变量输入，则用二级与非门就可实现该函数，其逻辑电路如图2.5.10所示。如果只有原变量输入，另外要用与非门实现反相C，其逻辑电路如图2.5.11所示第73页/共136页二、将与非式化为与或非式例例2.5.11将将Y=AC+BC 用与或非门实现，画出逻辑图。用与或非门实现，画出逻辑图。解：先用反演定理求函数解：先用反演定理求函数Y的反函数的反函数Y ，并整理成与或式，并整理成与或式，再将左边的反号移到等式右边，即两边同时求反。再将左边的反号移到等式右边，即两边同时求反。这就可用与或门实现。其电路这就可用与或门实现。其电路如图如图2.5.12所示所示第74页/共136页三、将与或式化为或非或非式 解：先将函数解：先将函数Y化为与或非形式，再用反演定理求化为与或非形式，再用反演定理求Y ，并用，并用摩摩 根定理展开，再求根定理展开，再求Y，就可得到或非或非式。，就可得到或非或非式。例例2.5.11 将下式将下式Y=AC+BC 用或非门实现。用或非门实现。其实现电路如图其实现电路如图2.5.13所示所示第75页/共136页或者先写成最大项之积形式，再两次取反，利用反演定理得到或非式第76页/共136页2.6 2.6 逻辑函数的化简方法 一个逻辑函数有多种不同形式的逻辑表达式，虽然描述一个逻辑函数有多种不同形式的逻辑表达式，虽然描述的逻辑功能相同，但电路实现的复杂性和成本是不同的。逻辑的逻辑功能相同，但电路实现的复杂性和成本是不同的。逻辑表达式越简单，实现的电路越简单可靠，且低成本。因此在设表达式越简单，实现的电路越简单可靠，且低成本。因此在设计电路时必须将逻辑函数进行简化。计电路时必须将逻辑函数进行简化。注：注：随着集成电路的发展，集成芯片的种类越来越多。逻辑函数是否“最简”已无太大意义。但作为设计思路，特别对于中小规模集成电路，逻辑函数的简化是不能忽视的逻辑函数的简化方法很多，主要有逻辑代数简化法（公式法）逻辑函数的简化方法很多，主要有逻辑代数简化法（公式法）和卡诺图法和卡诺图法第77页/共136页2.6.1 公式化简法 公式法化简就是利用逻辑代数的一些定理、公式和运算公式法化简就是利用逻辑代数的一些定理、公式和运算规则，将逻辑函数进行简化。实现电路的器件不同，最终要得规则，将逻辑函数进行简化。实现电路的器件不同，最终要得到的逻函数的形式不同，其最简的定义也不同。到的逻函数的形式不同，其最简的定义也不同。对于要小规模集成门电路实现的电路，常用的门为与非门、对于要小规模集成门电路实现的电路，常用的门为与非门、或非门、与或非门等。由上一节可知，其最终都可以由与或或非门、与或非门等。由上一节可知，其最终都可以由与或式、或与式转换而成。故最常用的是最简与或式和最简或与式、或与式转换而成。故最常用的是最简与或式和最简或与式。式。最简与或式最简与或式：最简的与或式所含乘积项最少，且每个乘积项中：最简的与或式所含乘积项最少，且每个乘积项中的因子也最少。的因子也最少。最简或与式最简或与式：最简的或与式所含和项最少，且每个和项中的：最简的或与式所含和项最少，且每个和项中的相加的项也最少。相加的项也最少。第78页/共136页1.与或式的简化与或式的简化(1)与或式：与或式：就是先与后或式（乘积和），最简的与或式是所就是先与后或式（乘积和），最简的与或式是所含与项最少，且每个与项的逻辑变量最少，则这个与或式是最含与项最少，且每个与项的逻辑变量最少，则这个与或式是最简的。简的。下面讨论公式法常用的化简方法。上式上式Y1和和Y2实现同样的逻辑功能，但实现同样的逻辑功能，但Y1中不仅所含变量多，中不仅所含变量多，而且乘积项也多了一项，要用而且乘积项也多了一项，要用3个与门（不含非门）和一个或个与门（不含非门）和一个或门实现，而门实现，而Y2的变量有的变量有3个，两个乘积项，用个，两个乘积项，用2个与门、个与门、1个或个或门实现即可，这样即节省元件，也减少布线和功耗。门实现即可，这样即节省元件，也减少布线和功耗。2.6.1 公式化简法第79页/共136页(2)与或式的简化方法a.合并项法：利用合并项法：利用ABA BB消去一个变量；消去一个变量；b.消除法：利用消除法：利用A A BAB消去多余变量；消去多余变量；c.配项法：利用配项法：利用 AA 1 增加一些项，再进行简化增加一些项，再进行简化说明说明：一般化简需要各种方法综合起来。化简需要技巧和经：一般化简需要各种方法综合起来。化简需要技巧和经验，需多练习。另外最后的结果是否为最简，难以判断。验，需多练习。另外最后的结果是否为最简，难以判断。2.6.1 公式化简法第80页/共136页例2.6.1 将下式化为最简与或式配项ABC解法一：配项法2.6.1 公式化简法第81页/共136页解法二：用吸收法和消去法二种方法结果一致，但过程繁简不同。尽量选择最佳方法，使化简过程简单2.6.1 公式化简法第82页/共136页例2.6.2 试将下面的逻辑函数简化为最简与或式注：从原式看，很难看出是不是最简，而且用代数法简化逻辑函数，不仅要熟悉逻注：从原式看，很难看出是不是最简，而且用代数法简化逻辑函数，不仅要熟悉逻辑代数公式，而且要灵活运用，而且不能保证最后结果最简。辑代数公式，而且要灵活运用，而且不能保证最后结果最简。2.6.1 公式化简法第83页/共136页例2.6.3 试将下面逻辑函数简化成最简与或式2.6.1 公式化简法第84页/共136页2.或与式的简化a.利用公式利用公式A（AB）A 及及A（A+B)=A化简化简例例2.6.4 试将下面的逻辑函数简化为最简或与式试将下面的逻辑函数简化为最简或与式2.6.1 公式化简法第85页/共136页b.利用两次求对偶式进行简化再求对偶式再求对偶式如例如例2.6.4的逻辑函数：的逻辑函数：其对偶式为2.6.1 公式化简法第86页/共136页2.6.2 卡诺图化简法 公式法简化逻辑函数不直观，且要熟练掌握逻公式法简化逻辑函数不直观，且要熟练掌握逻辑代数的公式以及简化技巧，而卡诺图法能克服公式辑代数的公式以及简化技巧，而卡诺图法能克服公式法的不足，可以直观地给出简化的结果。法的不足，可以直观地给出简化的结果。第87页/共136页 逻辑函数的卡诺图表示法实质：将逻辑函数的最小项之和的以图形的方式表示出来以2n个小方块分别代表 n 变量的所有最小项，并将它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻的两个最小项在逻辑上也是相邻的（只有一个变量不同），就得到表示n变量全部最小项的卡诺图。第88页/共136页表示最小项的卡诺图二变量卡诺图 三变量的卡诺图4 4变量的卡诺图变量的卡诺图第89页/共136页表示最小项的卡诺图二变量卡诺图 三变量的卡诺图4 4变量的卡诺图变量的卡诺图第90页/共136页表示最小项的卡诺图二变量卡诺图 三变量的卡诺图4 4变量的卡诺图变量的卡诺图第91页/共136页从上面卡诺图可以看出 任意两个相邻的最小项在图上任意两个相邻的最小项在图上是相邻的，并且图中最左列的最是相邻的，并且图中最左列的最小项与左右列相应最小项也是相小项与左右列相应最小项也是相邻的（如邻的（如m0和和m2，m9和和m10)。位于最上面和最下面的相应最小位于最上面和最下面的相应最小项也是相邻的（项也是相邻的（m0和和m9,m2和和m10)，所以四变量的最小项有四，所以四变量的最小项有四个相邻最小项。可以证明个相邻最小项。可以证明n变量的变量的卡诺图中的最小项有卡诺图中的最小项有n个相邻最小个相邻最小项项2.6.2 卡诺图化简法第92页/共136页五变量的卡诺图第93页/共136页用卡诺图表示逻辑函数1.将函数表示为最小项之和的形式 。2.在卡诺图上与这些最小项对应的位置上添入1，其余地方添0。第94页/共136页用卡诺图表示逻辑函数例：例：第95页/共136页用卡诺图表示逻辑函数第96页/共136页 用卡诺图化简函数依据：具有相邻性的最小项可合并，消去不同因子。在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形中直观地反映出来。第97页/共136页合并最小项的原则：两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去两对因子八个相邻最小项可合并为一项，消去三对因子第98页/共136页两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子第99页/共136页化简步骤：-用卡诺图表示逻辑函数 -找出可合并的最小项 -化简后的乘积项相加（项数最少，每项因子最少）用卡诺图化简函数第100页/共136页卡诺图化简的原则化简后的乘积项应包含函数式的所有最小项，即覆盖图中所有的1。乘积项的数目最少，即圈成的矩形最少。每个乘积项因子最少，即圈成的矩形最大。第101页/共136页卡诺图简化逻辑函数为与或式的步骤a.将逻辑函数化为最小项（可略去）；将逻辑函数化为最小项（可略去）；b.画出表示该逻辑函数的卡诺图；画出表示该逻辑函数的卡诺图；c.找出可以合并的最小项找出可以合并的最小项,即即1的项（必须是的项（必须是2n个个1)，进行圈，进行圈“1”，圈，圈“1”的规则为：的规则为：2.6.2 卡诺图化简法*圈内的“1”必须是2n个；*“1”可以重复圈，但每圈一次必须包含没圈过的“1”；*每个圈包含“1”的个数尽可能多，但必须相邻，必须为2n 个；第102页/共136页圈“1”的规则为2.6.2 卡诺图化简法*圈数尽可能的少；*要圈完卡诺图上所有的“1”。d.圈好“1”后写出每个圈的乘积项，然后相加，即为简化后的逻辑函数。注：卡诺图化简不是唯一，不同的圈法得到的简化结果不同，注：卡诺图化简不是唯一，不同的圈法得到的简化结果不同，但实现的逻辑功能相同的。但实现的逻辑功能相同的。第103页/共136页例：00 00 01 01 1 1 1 1 1 0 1 00 01 1ABC第104页/共136页例：00 00 01 01 1 1 1 1 1 0 1 00 00 01 11 11 11 11 11 10 01 1ABC第105页/共136页例：00 00 01 01 1 1 1 1 1 0 1 00 00 01 11 11 11 11 11 10 01 1ABC第106页/共136页例：化 简 结 果 不 唯 一第107页/共136页例：00000101111110100000010111111010ABCD第108页/共136页例：00000101111