数学：211《平面》课件(新人教A版必修2) (2).ppt

2.1.1 平面 观察长方体，你能发现长方体的顶点，棱所观察长方体，你能发现长方体的顶点，棱所在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗？2.1 2.1 空间点、直线、平面的位置关系空间点、直线、平面的位置关系空间点、直线、平面的位置关系空间点、直线、平面的位置关系 长方体由上下、前后、长方体由上下、前后、左右六个面围成左右六个面围成 有些面是平行的，有些有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在直面是相交的；有些棱所在直线与面平行，有些棱所在直线与面平行，有些棱所在直线与面相交，每条棱所在的线与面相交，每条棱所在的直线都可以看成是某个平面直线都可以看成是某个平面内的直线，等等内的直线，等等观察教室里的桌面、黑板面，它们呈现出怎样的形观察教室里的桌面、黑板面，它们呈现出怎样的形象？象？几何里所说的几何里所说的“平面平面”（plane）就是从这）就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的平面是无限延展的一、什么是平面一、什么是平面注注：平面：平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延无限延展的，是没有边界的，是抽象出来的展的，是没有边界的，是抽象出来的 我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面平行四边形表示平面 平行四边形的锐角通常画成平行四边形的锐角通常画成45，且横边长等于其，且横边长等于其邻边长的邻边长的2倍倍DCAB二、二、平面的平面的表示表示1、图形表示、图形表示ADCBEF如果一个平面被另一个平面挡住，则这遮挡的部分用如果一个平面被另一个平面挡住，则这遮挡的部分用虚线画出来虚线画出来.先画两平面基本线先画两平面基本线画两平面的交线画两平面的交线分别推三条线的平行线分别推三条线的平行线把被遮部分的线段画成虚线或不画。其它为实线。把被遮部分的线段画成虚线或不画。其它为实线。两相交平面的画法：两相交平面的画法：DCAB平面平面ABCD平面平面AC或平面或平面BDADCBEF平面平面记作：记作：平面平面记作：记作：平面平面 常把希腊字母常把希腊字母、等写在代表平面的平行四边等写在代表平面的平行四边形的一个角上，形的一个角上，记作记作平面平面、平面、平面等；也可以用代表等；也可以用代表平面的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大平面的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称写英文字母作为这个平面的名称2、字母表示、字母表示“点动成线，线动成面点动成线，线动成面”，直线可以看成是由无数个直线可以看成是由无数个点组成的集合点组成的集合，故，故点点与与直线直线的的关系关系是元素与集合的关是元素与集合的关系：系：A AB Ba a 点点A A在直线在直线a a上：上：记记为：为：AaAa点点B B不在直线不在直线a a上：上：记为：记为：BaBa点点A A在平面在平面内：内：记为：记为：AA点点B B不在平面不在平面内内(B(B在平面在平面外外)：记为：记为：B B A AB B(1)(1)点与直线的位置关系：点与直线的位置关系：(2)(2)点与平面的位置关系：点与平面的位置关系：3、点点、线、线、面的位置关系面的位置关系及其表示及其表示同理同理，平面平面也也可以看成可以看成无数个无数个点的集合点的集合点点和和平面平面的的关系关系也是也是元素与集合的关系元素与集合的关系：位置关系常用三种语言：位置关系常用三种语言：文字语言；文字语言；图形语言；图形语言；符号语言。符号语言。(3)(3)直线与平面的位置关系：直线与平面的位置关系：直线和平面都是点的集合直线和平面都是点的集合，它们之间的关系可看成，它们之间的关系可看成是是集合集合与与集合集合的的关系：关系：直线直线 在平面在平面内内，则则直线直线 上的所有点都在平面上的所有点都在平面内内，直线直线 与平面与平面有有无数无数个公共点个公共点（a）（b）直线直线 在平面在平面外外，直线直线 与平面与平面相交相交:直线直线 与平面与平面只有一个公只有一个公共点共点A.A.记为：记为：A A直线直线 与平面与平面平行平行:直线直线 与平面与平面没有公共点没有公共点.记为：记为：.A A（1）直线）直线a与与b 相交于点相交于点AAab补充：补充：（2）平面）平面与与 相交于线相交于线 ，记作，记作=例例2 2：根据下列条件：根据下列条件,画出图形画出图形ABPabc 如果直线如果直线 l 与平面与平面有一个公共点有一个公共点P，直线，直线 l 是否在是否在平面平面内？内？三、三、平面平面的基本性质的基本性质 实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上就落在了桌面上 如果直线如果直线 l 与平面与平面有两个公共点，直线有两个公共点，直线 l 是否是否在平面在平面内？内？公理公理1 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内么这条直线在此平面内ABl作用：作用：（1）判定直线是否在平面内判定直线是否在平面内符号表示：符号表示：图形表示：图形表示：（2）判定判定点点是否在平面内是否在平面内 测量员用三角架支撑测量用的平板仪测量员用三角架支撑测量用的平板仪为什么有的自行车后轮旁只安装一只撑脚？为什么有的自行车后轮旁只安装一只撑脚？请观察教室里的门，为什么只用两个合页和一把锁就请观察教室里的门，为什么只用两个合页和一把锁就能把门固定呢？你知道其中的道理吗？能把门固定呢？你知道其中的道理吗？公理公理2 2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面ACB存在性存在性唯一性唯一性不不共共线的三个点线的三个点A、B、C所确定的平面，可以记成所确定的平面，可以记成“平面平面ABC”公理公理2 2可简述为可简述为“不共线的三点确定一个平面不共线的三点确定一个平面”作用：作用：（1）确定一个平面确定一个平面 （2）证明点、线共面问题。证明点、线共面问题。符号表示：符号表示：图形表示：图形表示：推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面。有且只有一个平面。符号表示符号表示：A L有且有且只有一个平面只有一个平面，使，使A 、L.AL推论推论3：经过两条相交直线有且只有一个平面：经过两条相交直线有且只有一个平面.符号表示：符号表示：a b=P有且只有一个平面有且只有一个平面，使，使a、babp推论推论2：经过两条平行直线有且只有一个平面：经过两条平行直线有且只有一个平面.符号表示符号表示：ab有且只有一个平面有且只有一个平面，使，使a、bba关于关于公理公理2的三个推论：的三个推论：练习练习:请你用尺子做实验并回答以下问题请你用尺子做实验并回答以下问题1 1、过一点有几个平面？、过一点有几个平面？2 2、过两点有几个平面？、过两点有几个平面？3 3、过三点有几个平面？、过三点有几个平面？无数个无数个无数个无数个一个或者无数个一个或者无数个 把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？为什么？B B 观察长方体，你能发现长方体的两个相交平观察长方体，你能发现长方体的两个相交平面有没有公共直线吗？面有没有公共直线吗？这条公共直线这条公共直线BC叫做这两叫做这两个平面个平面ABCD和平面和平面BBCC的的交线交线 另一方面，相邻两个平面有另一方面，相邻两个平面有一个公共点，如平面一个公共点，如平面ABCD和和平面平面BBCC有一个公共点有一个公共点B，经，经过点过点B有且只有一条过该点的公共有且只有一条过该点的公共直线直线BC.公理公理3 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线们有且只有一条过该点的公共直线判断两个平面判断两个平面是否是否相交相交lP作用：作用：符号表示：符号表示：图形表示：图形表示：证明证明点在直线上点在直线上或作为或作为判断判断多点共线多点共线的依据的依据证明线共证明线共点点若点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公若点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上。共交线，则这点在交线上。例例1 1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系面之间的位置关系alABalPb（1）（2）解：在（解：在（1 1）中，）中，在（在（2 2）中，）中，练习练习用符号表示下列语句，并画出图形：用符号表示下列语句，并画出图形：直线直线 在平面在平面内，直线内，直线m不在平面不在平面内；内；(1)直线直线 经过平面经过平面外一点外一点P和平面和平面内一点内一点Q；(3)直线直线 是平面是平面和和的交线，直线的交线，直线m在平面在平面内内,和和 相交于点相交于点P.P51P51习题习题2 2：试根据下列要求，把被遮挡的部分：试根据下列要求，把被遮挡的部分改为虚线：改为虚线：（1 1）ABAB被平面被平面遮挡；遮挡；（2 2）ABAB没有被平面没有被平面遮挡。遮挡。BABA例例3 3：已知：已知ABCABC三边所在直线分别与平面三边所在直线分别与平面交于交于P P、Q Q、R R三点，求证：三点，求证：P P、Q Q、R R三点共线三点共线 CABPQR公理公理3 3“两平面相交两平面相交,交点必在交线上交点必在交线上”是证明共线问题的有力途径。是证明共线问题的有力途径。分析分析:1.“1.“三点共线三点共线”-共哪条线共哪条线?2.2.两相交平面的交线两相交平面的交线-唯一唯一(定理定理3)3)3.3.谁能写好证明过程谁能写好证明过程(尽量用尽量用符号语言描述符号语言描述)证明步骤证明步骤:证点在面上证点在面上证点在线上证点在线上空间图形空间图形文字叙述文字叙述符号表示符号表示知识小结知识小结实例引实例引入平面入平面平面的画平面的画法和表示法和表示点和平面的点和平面的位置关系位置关系平面三平面三个公理个公理