数学空间向量的数量积运算.pptx
第1页/共28页lAPB第2页/共28页OABP特别地，若特别地，若P P为为A,BA,B中点中点,则则如图如图 不共线，不共线，结论：结论：设设O O为平面上任一点，则为平面上任一点，则A A、P P、B B三点共线三点共线或：令或：令x=1-t，y=t，则，则A A、P P、B B三点共线三点共线第3页/共28页平面向量基本定理：平面向量基本定理：如果是如果是 同一平面内两个不共线的向量，同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只，有且只有一对实数有一对实数 ，使，使第4页/共28页二二.共面向量共面向量:1.1.共面向量共面向量:能平移到同一平面内的向量能平移到同一平面内的向量,叫做共面向量叫做共面向量.OA注意：注意：空间任意两个空间任意两个向量是共面的向量是共面的，但空，但空间任意三个向量就不间任意三个向量就不一定共面的了。一定共面的了。第5页/共28页结论结论:空间一点空间一点P位于平面位于平面ABC内内 存在有序实数对存在有序实数对x,y使使 或对空间任一点或对空间任一点O,有有 可证明或判断四点共面可证明或判断四点共面第6页/共28页掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题一、证垂直二、求长度三、求夹角四、求投影第7页/共28页教学过程一、几个概念1 1）两个向量的夹角的定义两个向量的夹角的定义O OA AB B第8页/共28页2 2）两个向量的数量积注意：注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积等于零。零向量与任意向量的数量积等于零。第9页/共28页4)4)空间向量的数量积性质空间向量的数量积性质 注意：注意：性质性质2 2）是证明两向量垂直的依据；）是证明两向量垂直的依据；性质性质3 3）是求向量的长度（模）的依据；）是求向量的长度（模）的依据；对于非零向量对于非零向量 ，有：，有：3)3)空间向量的投影空间向量的投影 第10页/共28页5)5)空间向量的数量积满足的运算律空间向量的数量积满足的运算律 注意：注意：（教材（教材P90P90思考）思考）数量积不满足消去率和结合律数量积不满足消去率和结合律第11页/共28页ADFCBE二、课堂练习第12页/共28页三、典型例题-证垂直（教材P91例3）已知m,n是平面 内的两条相交直线，直线l与 的交点为B，且lm，ln，求证：l 分析：由定义可知，只需证分析：由定义可知，只需证l l与平面内任意直线与平面内任意直线g g垂直。垂直。n nm mgg gmnll l第13页/共28页n nm mgg gmnll l证明：在证明：在 内作不与内作不与m m、n n重合的任一重合的任一条直线条直线g,g,在在l l、m m、n n、g g上取非零向上取非零向量量l l、m m、n n、g g，因，因m m与与n n相交，得向量相交，得向量m m、n n不平行，由共面向量定理不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对可知，存在唯一的有序实数对 （x x，y y），使），使 g=xm+yn,g=xm+yn,l lg=xlg=xlm+ylm+yln n l lm=0,lm=0,ln=0n=0 l lg=0g=0 lg lg lg lg 这就证明了直线这就证明了直线l l垂直于平面垂直于平面 内的内的任一条直线，所以任一条直线，所以ll 第14页/共28页aA AO OP P三、典型例题（教材P91例2）利用向量知识证明三垂线定理试着证明三垂线定理的逆定理 教材P91第15页/共28页三、典型例题教材P92思考：用向量的数量积运算推证垂直关系的过程，步骤是什么？第16页/共28页例2：已知：在空间四边形OABC中，OABC，OBAC，求证：OCABA AB BC CO O 第17页/共28页例例3 3 如图，已知线段在平面如图，已知线段在平面 内，线段内，线段，线段，线段 ，线段，线段，如，如果，求、之间的距离。果，求、之间的距离。解：由，可知解：由，可知.由由 知知.三、典型例题-求长度第18页/共28页例例4 4已知在平行六面体中，已知在平行六面体中，,求对角线的长。求对角线的长。解：解：第19页/共28页3.3.已知线段已知线段 、在平面、在平面 内，线段内，线段，如果，求、之间的距离，如果，求、之间的距离.解：解：教材P92练习 1、2、3题第20页/共28页三、典型例题-求夹角点金P64知识点3例3第21页/共28页1.1.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于 ，点分别是边的中点。，点分别是边的中点。求证：。求证：。证明：因为证明：因为所以所以同理，同理，课后练习第22页/共28页2.2.已知空间四边形，已知空间四边形，求证：。求证：。证明：证明：第23页/共28页3.3.如图，已知正方体，如图，已知正方体，和和 相交于相交于点，连结点，连结 ，求证：。，求证：。第24页/共28页4 4、已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于、已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于,点分别是的中点，求下列向量的点分别是的中点，求下列向量的数量积：数量积：第25页/共28页5、设 ，则向量 与 的夹角为 6、在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，ACD=900,将它沿对角线AC折起，使AB与CD成600角，求B,D两点间距离。第26页/共28页 课堂小结课堂小结1两个向量的数量积的概念、性质和计算；两个向量的数量积的概念、性质和计算；2、运用向量的数量积解决简单的立体几何问题。第27页/共28页感谢您的观看！第28页/共28页
