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刚体力学第1页，共39页，编辑于2022年，星期五一般的力学分析方法可归纳为一般的力学分析方法可归纳为：(1)(1)突出主要矛盾，撇开次要因素，建立理想模型；突出主要矛盾，撇开次要因素，建立理想模型；(2)(2)将质点系化整为零，以质点或质元为研究对象，将质点系化整为零，以质点或质元为研究对象，作为突破口；作为突破口；(3)(3)根据受力情况，正确地画出受力图；根据受力情况，正确地画出受力图；(4)(4)根据已知条件或初始条件，选用所需的基本原根据已知条件或初始条件，选用所需的基本原理、定律，列出方程式；理、定律，列出方程式；(5)(5)根据要求，求解方程，统一变量，用积分法求出根据要求，求解方程，统一变量，用积分法求出结果结果.要特别注意要特别注意积分上下限的选取积分上下限的选取.(6)(6)讨论分析所得结果，检验是否正确讨论分析所得结果，检验是否正确现在将这些方法用之于刚体的研究现在将这些方法用之于刚体的研究 第2页，共39页，编辑于2022年，星期五1.定义定义：受外力作用时不改变形状和体积的物体称刚体。受外力作用时不改变形状和体积的物体称刚体。一、刚体一、刚体(rigid body)是固体物件的是固体物件的理想模型理想模型;考虑其形状大小，突出其平动和转考虑其形状大小，突出其平动和转动，忽略振动和形变运动。动，忽略振动和形变运动。2.讨论讨论:特殊的质点系特殊的质点系(质元间相对位置保持不变质元间相对位置保持不变)。5-1 5-1 刚体模型及其运动刚体模型及其运动第3页，共39页，编辑于2022年，星期五2.特征特征:任意时刻所有质元的任意时刻所有质元的v、a、运、运动轨迹均相同。动轨迹均相同。可将平动刚体视为一质点的运动处理。可将平动刚体视为一质点的运动处理。例如升降机的运动，汽缸中活塞的运动，刨床上刨刀例如升降机的运动，汽缸中活塞的运动，刨床上刨刀的运动，车床上车刀的运动等，都是平动。的运动，车床上车刀的运动等，都是平动。1.定义定义：固连在刚体上的任一条直线：固连在刚体上的任一条直线,在各时刻的位置始终保在各时刻的位置始终保持彼此平行的运动。持彼此平行的运动。二二.刚体的平动刚体的平动 (translation)第4页，共39页，编辑于2022年，星期五三三.刚体的定轴转动刚体的定轴转动(rotation)1.定义定义：刚体上所有点都绕同一直线：刚体上所有点都绕同一直线(转轴转轴)作圆周运动作圆周运动.各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定不动的直线各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上（转轴）上;各质元的各质元的线量一般不同线量一般不同（因为半径不同）（因为半径不同）,但但角量（角角量（角位移、角速度、角加速度）都相同位移、角速度、角加速度）都相同。2.特征特征:第5页，共39页，编辑于2022年，星期五一个汽车轮子在地上的滚一个汽车轮子在地上的滚动动.A、B、C、各点的各点的运动都不相同运动都不相同.绕过绕过o o 轴的转动轴的转动oABCo o轮子的平动轮子的平动ABCoABCoABABCCo刚体的运动刚体的运动:刚体的运动可以是平动和转动的刚体的运动可以是平动和转动的叠加叠加.例如，车轮的滚动，拧紧例如，车轮的滚动，拧紧或松开螺帽，钻床上的钻头的运或松开螺帽，钻床上的钻头的运动等等。动等等。四四.刚体的一般运动刚体的一般运动.随质心的平动随质心的平动 绕通过质心的轴的转动绕通过质心的轴的转动第6页，共39页，编辑于2022年，星期五五五.刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述角速度矢量角速度矢量：在转轴上画一有向线段，：在转轴上画一有向线段，使其长度按一定比例代表角速度的大使其长度按一定比例代表角速度的大小，它的方向与转动方向成右手螺旋小，它的方向与转动方向成右手螺旋关系，这就是角速度矢量。关系，这就是角速度矢量。1.角位置角位置和角位移和角位移2.角速度角速度 3.角加速度角加速度第7页，共39页，编辑于2022年，星期五、本来是矢量本来是矢量，由于在定轴转动中轴的，由于在定轴转动中轴的方位不变，只有沿轴的正负两个方向，故可方位不变，只有沿轴的正负两个方向，故可以用标量代替。以用标量代替。4.刚体运动学中角量关系及角量和线量的关系：刚体运动学中角量关系及角量和线量的关系：刚体上任一点刚体上任一点P的线速度和角速度之间的关系为的线速度和角速度之间的关系为PrrO rv第8页，共39页，编辑于2022年，星期五5.匀角加速转动：匀角加速转动：刚体定轴转动的情况与质点直线运动相类似刚体定轴转动的情况与质点直线运动相类似.当刚体定轴转动时，如果在任意相等的时间间隔内，角速度的当刚体定轴转动时，如果在任意相等的时间间隔内，角速度的增量都是相等的，这种变速转动叫做匀变速转动。增量都是相等的，这种变速转动叫做匀变速转动。角位置角位置 角加速度角加速度 角速度角速度 匀变速定轴转动匀变速定轴转动 匀变速直线运动匀变速直线运动 2021tt +=2021attx+=v t +=0 at+=0v 2202+=ax2202+=vvv第9页，共39页，编辑于2022年，星期五例例1.教材教材P161 例例5.1 如图如图.a,r匀角加速转动匀角加速转动.转过圈数转过圈数第10页，共39页，编辑于2022年，星期五例题例题2 2 一飞轮在时间一飞轮在时间t t内转过角度内转过角度 at+bt3-ct4 ,式中式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。都是常量。求它的角加速度。解：解：飞轮上某点角位置可用飞轮上某点角位置可用 表示为表示为 at+btat+bt3 3-ct-ct4 4将此式对将此式对t t求导数，即得飞轮角速度的表达式为求导数，即得飞轮角速度的表达式为角加速度是角速度角加速度是角速度对对t t的导数，因此得的导数，因此得由此可见飞轮作的是变加速转动。由此可见飞轮作的是变加速转动。第11页，共39页，编辑于2022年，星期五5-2.定轴转动的转动定律定轴转动的转动定律一、刚体定轴转动定律一、刚体定轴转动定律一、刚体定轴转动定律一、刚体定轴转动定律OO应用牛顿第二定律，可得：应用牛顿第二定律，可得：对刚体中任一质量元对刚体中任一质量元 外力外力 内力内力采用自然坐标系，上式切向分量式为：采用自然坐标系，上式切向分量式为：第12页，共39页，编辑于2022年，星期五用用 乘以上式左右两端：乘以上式左右两端：设刚体由设刚体由N 个点构成，对每个质点可写出上述类似方个点构成，对每个质点可写出上述类似方程，将程，将N 个方程左右相加，得：个方程左右相加，得：根据内力性质根据内力性质(每一对内力等值、反向、共每一对内力等值、反向、共线线,对同一轴力矩之代数和为零对同一轴力矩之代数和为零)，得：，得：第13页，共39页，编辑于2022年，星期五得到：得到：上上式式左左端端为为刚刚体体所所受受外外力力的的合合外外力力矩矩，以以M 表表示示；右右端端求求和和符符号号内内的的量量与与转转动动状状态态无无关关，称称为为刚刚体体转转动动惯惯量量，以以J 表示。于是得到表示。于是得到刚体定轴刚体定轴刚体定轴刚体定轴转动定律转动定律转动定律转动定律 刚体所受的对于某一固定转轴的合外力矩刚体所受的对于某一固定转轴的合外力矩,等于等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。所获得的角加速度的乘积。第14页，共39页，编辑于2022年，星期五讨论：讨论：定轴转动的动力学规律之一定轴转动的动力学规律之一;MJ 与与 作用相当作用相当;m反映质点的平动惯性，反映质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性反映刚体的转动惯性;惯性大小的量度；惯性大小的量度；转动惯量是转动转动惯量是转动 M 一定，一定，J力矩与转动惯量必须对力矩与转动惯量必须对同一转轴同一转轴而言的；而言的；应用时常需选定转轴的正方向，以便确定已知力矩或应用时常需选定转轴的正方向，以便确定已知力矩或角加速度、角速度的正负角加速度、角速度的正负第15页，共39页，编辑于2022年，星期五质元的质量质元的质量质元到转轴的距离质元到转轴的距离定义定义二、二、二、二、转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量讨论讨论:转动惯性之量度转动惯性之量度;单位：单位：kg.m2 影响转动惯量的因素：影响转动惯量的因素：总质量总质量质量越大质量越大,J越大越大;质量分布质量分布离轴越远离轴越远,J越大越大;转轴的位置转轴的位置离质心越远离质心越远,J越大越大.第16页，共39页，编辑于2022年，星期五具可加性具可加性;细杆细杆对杆端对杆端,圆盘圆盘,对杆端对杆端,R m例例:小球小球m对转轴的转动惯量对转轴的转动惯量,m看作质点看作质点,J=mR2 第17页，共39页，编辑于2022年，星期五例例1、(教材教材P164 P164 例例5.2)5.2)求质量为求质量为m、半径为、半径为R的均匀的均匀圆环圆环的的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。RO解：解：讨论讨论:J J具可加性，所以若为具可加性，所以若为薄薄圆筒圆筒（不计厚度）结果相同。（不计厚度）结果相同。dm第18页，共39页，编辑于2022年，星期五lORrdr解：取半径为解：取半径为r宽为宽为dr的薄圆环的薄圆环,可见，可见，转动惯量与厚度转动惯量与厚度l无关无关。所以，。所以，实心圆柱实心圆柱对其轴的对其轴的转动惯量也是转动惯量也是mR2/2。例例2、(教材教材P164 P164 例例5.3)5.3)求质量为求质量为m、半径为、半径为R、厚为、厚为l 的均的均匀匀圆盘圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心.第19页，共39页，编辑于2022年，星期五内内半半径径为为R1 外外半半径径为为R2 质质量量为为m 的的匀匀质质中中空空圆圆盘盘绕绕其其对对称轴的转动惯量称轴的转动惯量.同理，同理，转动惯量与厚度转动惯量与厚度l无关无关，有高度，有高度的的空心圆筒空心圆筒也有同样的公式也有同样的公式.第20页，共39页，编辑于2022年，星期五例例3 3、(教材教材P165 P165 例例5.4)5.4)求质量为求质量为m、长为、长为l 的均匀的均匀细棒细棒对下面三种转轴的转动惯对下面三种转轴的转动惯量：量：（1 1）转轴通过棒的中心并和棒垂直；）转轴通过棒的中心并和棒垂直；（2 2）转轴通过棒的一端并和棒垂直）转轴通过棒的一端并和棒垂直；（3 3）转轴通过棒上距中心为转轴通过棒上距中心为h h的一点并和棒垂直。的一点并和棒垂直。解解:(1)(1)建立坐标系，分割质量元建立坐标系，分割质量元第21页，共39页，编辑于2022年，星期五hJ 与刚体质量、质量分布、轴的位置有关与刚体质量、质量分布、轴的位置有关(2)(2)建立坐标系，分割质量元建立坐标系，分割质量元（3 3）建立坐标系，分割质量元）建立坐标系，分割质量元第22页，共39页，编辑于2022年，星期五平行轴定理平行轴定理定理表述：定理表述：刚体绕平行于质心轴的转动惯量刚体绕平行于质心轴的转动惯量 J，等于绕质，等于绕质心轴的转动惯量心轴的转动惯量 JC 加上刚体质量与两轴间的距离平方的加上刚体质量与两轴间的距离平方的乘积：乘积：刚体绕质心轴的转动惯量最小刚体绕质心轴的转动惯量最小.如如：第23页，共39页，编辑于2022年，星期五证明平行轴定理证明平行轴定理.第24页，共39页，编辑于2022年，星期五圆环圆环圆盘圆盘球体球体圆柱圆柱细杆细杆R R R R第25页，共39页，编辑于2022年，星期五例例1、(教材教材P167例例5.5)一个飞轮的质一个飞轮的质量为量为60kg，半径为，半径为0.25m,正在以每分正在以每分1000转的转速转动。现在要制动飞轮，转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在要求在5.0秒内使它均匀减速而最后停秒内使它均匀减速而最后停下来。求闸瓦对轮子的压力下来。求闸瓦对轮子的压力N为多大为多大？(k=0.8)F0解：飞轮制动时有角加速度解：飞轮制动时有角加速度 0Nfr第26页，共39页，编辑于2022年，星期五外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。0Nfr圆环转动惯量圆环转动惯量第27页，共39页，编辑于2022年，星期五例例2.(教材教材P168 例例5.6)如图如图.M,R,m对对M,由转动定律由转动定律,对对O轴有轴有对对m,由牛顿第二定律由牛顿第二定律,沿沿y方向有方向有滑轮与物体的运动学关系为滑轮与物体的运动学关系为联立以上三式联立以上三式,得得第28页，共39页，编辑于2022年，星期五m1m2MT1T2m2gRmMm1m2RT1T2m1gm2gm2 m1例例:第29页，共39页，编辑于2022年，星期五例例3、(教材教材P168 例例5.7)一根长为一根长为l、质量为、质量为m的均匀细直棒，的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆最初棒静止在水平位置，求它由此下摆 角时的角加速度和角角时的角加速度和角速度。速度。解：棒下摆为加速过程，外解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对力矩为重力对O的力矩。的力矩。棒上棒上取质元取质元dm,当棒处在下摆当棒处在下摆 角时角时，重力矩为：重力矩为：XO 第30页，共39页，编辑于2022年，星期五代入转动定律代入转动定律,可得可得可得可得第31页，共39页，编辑于2022年，星期五对棒的质心对棒的质心,有有再求此时棒受轴承的力的大小和方向再求此时棒受轴承的力的大小和方向.由质心运动定理由质心运动定理,得得法向法向:切向切向:第32页，共39页，编辑于2022年，星期五解得解得第33页，共39页，编辑于2022年，星期五例例题题4 4 一一半半径径为为R，质质量量为为m匀匀质质圆圆盘盘，平平放放在在粗粗糙糙的的水水平平桌桌面面上上。设设盘盘与与桌桌面面间间摩摩擦擦系系数数为为，令令圆圆盘盘最最初初以以角角速速度度 0绕绕通通过过中中心心且且垂垂直直盘盘面面的的轴轴旋旋转转，问问它它经过多少时间才停止转动？经过多少时间才停止转动？解：解：由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元的质量的质量dm=2rdre，所受到的阻力矩是，所受到的阻力矩是r dmg 。第34页，共39页，编辑于2022年，星期五此处此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是因因m=e R2，代入得，代入得根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即获得负的角加速度获得负的角加速度.第35页，共39页，编辑于2022年，星期五设圆盘经过时间设圆盘经过时间t停止转动，则有停止转动，则有由此求得由此求得第36页，共39页，编辑于2022年，星期五例例5.5.如图所示如图所示,一质量为一质量为m m的匀质矩形薄板可绕其一直边的光滑的匀质矩形薄板可绕其一直边的光滑轴转动轴转动,初始角速度为初始角速度为0,转动时受到空气阻力转动时受到空气阻力,阻力垂直阻力垂直于板面于板面,每小面积上所受阻力的大小正比于该面积和速每小面积上所受阻力的大小正比于该面积和速度平方的乘积度平方的乘积,比例系数为比例系数为k.k.问经过多少时间角速度减问经过多少时间角速度减为原来的一半为原来的一半?(?(已知薄板竖直边长为已知薄板竖直边长为b,b,水平边长为水平边长为a.)a.)解解:先求一下薄板对先求一下薄板对AB轴的转动惯量轴的转动惯量.按定义按定义,任取微元任取微元:其中其中,则有则有第37页，共39页，编辑于2022年，星期五由转动定律由转动定律M为变力矩为变力矩,代入转动定律代入转动定律,得得分离变量分离变量,积分积分:得得第38页，共39页，编辑于2022年，星期五作业作业B：习题：习题：P182P182 5.25.2；5.10 5.10；5.115.11；5.12;5.12;5.13;5.14;5.16;5.17.5.13;5.14;5.16;5.17.作业作业C C：预习教材预习教材:第第8章章 相对论基础相对论基础.第39页，共39页，编辑于2022年，星期五