概率论与数理统计 2-1离散型随机变量的概率分布1.ppt
2-1-1第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布1 1 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布2 2 随机变量的分布函数随机变量的分布函数3 3 连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度4 4 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布2-1-22.1 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布随机变量的概念随机变量的概念离散型随机变量的概念及分布离散型随机变量的概念及分布一些常用的离散型随机变量一些常用的离散型随机变量离散型随机变量、离散型随机变量、2-1-3一一.随机变量的概念随机变量的概念：例如：例如：1.抛抛掷掷一枚硬一枚硬币币,可能出可能出现现正面正面,反面两种反面两种结结果果,于于是是S=正正,反反,规规定：定：2.某工厂某工厂产产品分品分为为一等一等,二等二等,三等三等,等外等外.于是于是S=一一等等,二等二等,三等三等,等外等外,若若规规定：定：离散型随机变量、离散型随机变量、2-1-43.在上午在上午 8:009:00 时间段内某路口观察通过的汽时间段内某路口观察通过的汽车数车数,可能是可能是0，1，2，3，于是，于是S=0,1,2,3,，规定：规定：4.灯泡的寿命（单位灯泡的寿命（单位:秒秒),),可能的寿命可能的寿命t是大于等于是大于等于0,于是于是S=t:t0.规定：规定：以上四例的共同点以上四例的共同点 对于样本空间对于样本空间S中的每一个样本中的每一个样本点点e均标以一个实数均标以一个实数,即确定了一个定义在样本空间上即确定了一个定义在样本空间上的变量的变量随机变量随机变量.离散型随机变量、离散型随机变量、2-1-5定义：定义：设有随机试验设有随机试验E的样本空间的样本空间S,如果对于样本空如果对于样本空间中的每一个样本点间中的每一个样本点e都对应一个确定的实数都对应一个确定的实数X(e),),由由此确定的一个定义在此确定的一个定义在S上的单值函数：上的单值函数：X=X(e),),称此为称此为随机变量随机变量.一般用大写字母一般用大写字母X,Y,Z说明：说明：随机变量与高等数学中函数的概念不同。随机变量与高等数学中函数的概念不同。离散型随机变量、离散型随机变量、1.1.随机变量定义在样本空间上，函数定义在实数上。随机变量定义在样本空间上，函数定义在实数上。2.2.随机变量取值具有随机性，因试验的结果不同而取随机变量取值具有随机性，因试验的结果不同而取值不同，其每个可能的取值均对应一定的概率，但取值不同，其每个可能的取值均对应一定的概率，但取值范围是确定的。值范围是确定的。3.3.随机事件是由样本点构成的集合，故可说随机变量随机事件是由样本点构成的集合，故可说随机变量是随机事件基础上的一个概念是随机事件基础上的一个概念。2-1-6 说明：说明：定义随机变量依问题的需要而定定义随机变量依问题的需要而定,如掷一枚如掷一枚骰子骰子,我们定义了随机变量我们定义了随机变量X X表示出现的点数表示出现的点数.我们我们可以定义其随机变量为：可以定义其随机变量为：离散型随机变量、离散型随机变量、2-1-7 对于每个试验的结果的出现均有一定的概率对于每个试验的结果的出现均有一定的概率,因因而随机变量的取值有一定概率而随机变量的取值有一定概率.离散型随机变量、离散型随机变量、定定义义 设设有随机有随机试验试验E的的样样本空本空间间S,如果如果对对于于样样本空本空间间中的每一个中的每一个样样本点本点e都以一定的概率确定一个都以一定的概率确定一个实实数数X(e),此此时时所确定的定所确定的定义义在在S上的上的单值单值函数函数:X=X(e),称称为为随机随机变变量。量。2-1-8二、离散型随机变量的概念及分布二、离散型随机变量的概念及分布1.1.离散型随机变量的定义离散型随机变量的定义定义：定义：如果随机变量如果随机变量X的取值是有限个或可列无穷的取值是有限个或可列无穷个，则称个，则称X为离散型随机变量为离散型随机变量设离散型随机变量设离散型随机变量X的所有可能取值为的所有可能取值为其相应的概率为其相应的概率为：离散型随机变量、离散型随机变量、2-1-92.2.离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布设离散型随机变量设离散型随机变量 X X 的所有可能取值为的所有可能取值为其相应的概率为其相应的概率为：称称 为离散型随机变量为离散型随机变量X的的概率函数或概率分布概率函数或概率分布公式可以用表格形式给出公式可以用表格形式给出离散型随机变量离散型随机变量 X 的分布律的分布律离散型随机变量、离散型随机变量、2-1-10由定义得由定义得:说明：说明：1.判断一个变量是否为随机变量只需验证这两条。判断一个变量是否为随机变量只需验证这两条。离散型随机变量、离散型随机变量、2.一个离散型随机变量的统计规律须知道一个离散型随机变量的统计规律须知道X X的所有的所有可能取值及每一个可能取值的概率。可能取值及每一个可能取值的概率。2-1-11 例例1 设同种产品设同种产品100件，其中件，其中5件是次品，现从中不放件是次品，现从中不放回地随机取回地随机取10件进行检验，求取到次品数的概率。件进行检验，求取到次品数的概率。X 的分布律：的分布律：解：解：X 表示表示“取取10件产品的次品数件产品的次品数”，故，故X的所有可的所有可能能取值为取值为0，1，2，3，4，5。=求分布率一定要说求分布率一定要说明明 k 的取值范围！的取值范围！离散型随机变量、离散型随机变量、属于古典概型属于古典概型2-1-12说明：说明：任何事件的概率可借助随机变量的分布率求得。任何事件的概率可借助随机变量的分布率求得。X 的分布律：的分布律：如欲求如欲求“抽到抽到10件产品中至少两件为次品件产品中至少两件为次品”的概率。的概率。用用A表示表示“抽到抽到10件产品中至少两件为次品件产品中至少两件为次品”事件。事件。离散型随机变量、离散型随机变量、2-1-13例例2 从从110这这10个数字中随机取出个数字中随机取出5个数字，令个数字，令X：取出的取出的5个数字中的最大值试求个数字中的最大值试求X的分布律的分布律具体写出具体写出X 的分布律：的分布律：解：解：X 的可能取值为的可能取值为5，6，7，8，9，10 并且并且=求分布率一定要说明求分布率一定要说明 k 的取值范围！的取值范围！离散型随机变量、离散型随机变量、2-1-14例例3 将将 1 枚硬币掷枚硬币掷 3 次，令次，令X：出现的正面次数与反：出现的正面次数与反面次数之差试求：面次数之差试求：（1）X 的分布律；的分布律；解：解：X 的可能取值为的可能取值为-3，-1，1，3 并且分布率为并且分布率为离散型随机变量、离散型随机变量、2-1-15例例4 设随机变量设随机变量 X 的分布律为的分布律为解：解：由分布率的性质，得由分布率的性质，得所以所以,c=3离散型随机变量、离散型随机变量、级数为等比级数级数为等比级数2-1-16例例5 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以概率每盏信号灯以概率p禁止汽车通过禁止汽车通过.以以 X 表示汽车首次表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求停下时，它已通过的信号灯的盏数，求 X 的分布律的分布律.(信号灯的工作是相互独立的信号灯的工作是相互独立的).PX=3=(1-p)3p离散型随机变量、离散型随机变量、2-1-17解：解：以以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则 X 的分布律为：的分布律为：Xpk 0 1 2 3 4 p或写成或写成 PX=k=(1-p)kp，k=0,1,2,3 PX=4=(1-p)4 (1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4 以以 p=1/2 代入得：代入得：Xpk 0 1 2 3 4 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625离散型随机变量、离散型随机变量、2-1-18三、一些常用的离散型随机变量三、一些常用的离散型随机变量1.1.Bernoulli分布分布设随机变量设随机变量X X的取值只是的取值只是0 0，1 1，其概率函数为，其概率函数为则称随机变量则称随机变量X X服从参数为服从参数为P P的的的的 BernoulliBernoulli分布分布其分布率为：其分布率为：离散型随机变量、离散型随机变量、2-1-19Bernoulli分布也称作分布也称作 0-1 分布或二点分布分布或二点分布Bernoulli分布的概率背景分布的概率背景进行一次进行一次Bernoulli试验，试验，A是随机事件。设：是随机事件。设：设设X 表示这次表示这次Bernoulli试验中事件试验中事件A发生的次数或者发生的次数或者设设离散型随机变量、离散型随机变量、2-1-202.Bernoulli试验、二试验、二 项项 分分 布布1）n重独立随机试验重独立随机试验2）n重重Bernoulli试验试验 设有随机试验设有随机试验E E，将试验，将试验E E重复独立进行重复独立进行n n次，次，即对试验即对试验E E重复进行重复进行n n次，每次试验的结果出现的概次，每次试验的结果出现的概率均不依赖于其他各次试验结果。称这一系列试验率均不依赖于其他各次试验结果。称这一系列试验为为n n重独立试验。重独立试验。设有设有n n重独立随机试验，重独立随机试验，如果每次试验如果每次试验E E的结果的结果仅有可能的结果：仅有可能的结果：A A与与 ，则称这一系列试验为，则称这一系列试验为n n重重Bernoulli试验。试验。离散型随机变量、离散型随机变量、2-1-21n 次相互独立试验的例子次相互独立试验的例子掷掷 n 次硬币，可看作是次硬币，可看作是 n 次独立试验；次独立试验；在一批产品中有放回地抽取在一批产品中有放回地抽取n件产品进行检验，可件产品进行检验，可看作是看作是 n 次独立试验；次独立试验；观察观察 n 个元件的使用寿命，可看作是个元件的使用寿命，可看作是 n 次独立试次独立试验验掷一颗骰子掷一颗骰子n次，有六种结果但如果我们只关心次，有六种结果但如果我们只关心出现六点出现六点”与与“不出现六点不出现六点”这两种情况，故这两种情况，故“掷一颗骰子掷一颗骰子”可以作可以作n重是重是Bernoulli试验试验。离散型随机变量、离散型随机变量、2-1-223）n重重Bernoulli 试验中成功恰好出现试验中成功恰好出现k次的概率次的概率定理：定理：设在设在 n 重重Bernoulli 试验中，试验中，事件事件A恰好出现恰好出现k次的概率为：次的概率为：证明：证明：在在 n 重重Bernoulli 试验中，事件试验中，事件A出现出现k次，则次，则 出现出现n-k次，次，而在而在 n 次试验中，事件次试验中，事件A出现出现k次，则次，则 出现出现n-k次次共有共有 种排列次序，所对应的概率为：种排列次序，所对应的概率为：离散型随机变量、离散型随机变量、2-1-23例例5 某病的自然痊愈率为某病的自然痊愈率为 0.250.25，某医生为检验某种新，某医生为检验某种新药是否有效，他事先制定了一个决策规则：把这药药是否有效，他事先制定了一个决策规则：把这药给给10 10 个病人服用，如果这个病人服用，如果这 10 10 病人中至少有病人中至少有4 4 个人个人痊愈，则认为新药有效；反之，则认为新药无效痊愈，则认为新药有效；反之，则认为新药无效求：求：新药有效，并且把痊愈率提高到新药有效，并且把痊愈率提高到 0.350.35，但通过试，但通过试验却被否定的概率验却被否定的概率 新药完全无效，但通过试验却被判为有效的概率新药完全无效，但通过试验却被判为有效的概率解：解：给给10个病人服药可看作是一个病人服药可看作是一10重重Bernoulli试验试验离散型随机变量、离散型随机变量、2-1-24 由于新药无效，则由于新药无效，则此时若肯定新药，只有在试验中至少有此时若肯定新药，只有在试验中至少有4人痊愈因此人痊愈因此离散型随机变量、离散型随机变量、若新药有效，则此时若否定新药，只有在试验中若新药有效，则此时若否定新药，只有在试验中不到不到4 4人痊愈因此人痊愈因此2-1-25定义：定义：如果随机变量如果随机变量 X 的分布律为的分布律为(1)由于由于0p 1,以及以及 n 为自然数为自然数,可知可知离散型随机变量离散型随机变量2-1-26(2)又由二项式定理又由二项式定理,可知可知所以所以是分布律是分布律说 明：Bernoulli 分布是二项分布的特例分布是二项分布的特例当当 n=1 时时离散型随机变量离散型随机变量2-1-27说明：说明：事件事件A在在n重重Bernoulli试验中至少出现试验中至少出现m次的次的概率概率,若令若令X表示表示事件事件A A在在n n重重Bernoulli试验中出现次试验中出现次数数.则则离散型随机变量离散型随机变量 事件事件A在在n重重Bernoulli试验中出现的次数不少于试验中出现的次数不少于m次的概率次的概率,则则2-1-28例例5 一大批产品的次品率为一大批产品的次品率为0.1，现从中取出，现从中取出15件试求下列件试求下列事件的概率：事件的概率：B=取出的取出的15件产品中恰有件产品中恰有2件次品件次品 C=取出的取出的15件产品中至少有件产品中至少有2件次品件次品 由于从一大批产品中取由于从一大批产品中取15件产品，故可近似看作是件产品，故可近似看作是15重重Bernoulli试验试验解：解：所以，所以，离散型随机变量离散型随机变量2-1-29例例 6 一张考卷上有一张考卷上有5道选择题，每道题列出道选择题，每道题列出4个可能答案，其个可能答案，其中只有一个答案是正确的某学生靠猜测能答对中只有一个答案是正确的某学生靠猜测能答对4道题以上的道题以上的概率是多少？概率是多少？答答5道题相当于做道题相当于做5重重Bernoulli试验试验解：解：每答一道题相当于做一次每答一道题相当于做一次Bernoulli试验试验，所以，所以，离散型随机变量离散型随机变量2-1-30例例 7 某人在相同的条件下，相互独立地向目标射击某人在相同的条件下，相互独立地向目标射击5次，每次次，每次击中目标的概率为击中目标的概率为0.6,求击中目标次数求击中目标次数X的分布率，并求至少三的分布率，并求至少三次击中目标的概率。次击中目标的概率。解：解：每次射击目标一次相当于做一次每次射击目标一次相当于做一次Bernoulli试验，试验，5次射击次射击相互独立相互独立,若用若用X表示击中目标的次数表示击中目标的次数,X可能取值为可能取值为0,1,2,3,4,5，则则于是，于是，离散型随机变量离散型随机变量2-1-31二项分布的分布形态二项分布的分布形态则二项分布的分布率则二项分布的分布率 先是随先是随着着 k 的增加而增大的增加而增大,达到其最大值后再随着达到其最大值后再随着k 的增大而减少的增大而减少此时称使此时称使PX=k 最大的最大的 为二项分布的最可能值。为二项分布的最可能值。离散型随机变量、离散型随机变量、可以可以证明证明：2-1-32例例 8 对同一目标进行对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的命中率均次独立射击，设每次射击时的命中率均为为0.44，试求，试求300次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？则由题意则由题意解：解：对目标进行对目标进行300次射击相当于做次射击相当于做300重重Bernoulli 试验令：试验令：因此，最可能射击的命中次数为因此，最可能射击的命中次数为其相应的概率为其相应的概率为离散型随机变量、离散型随机变量、2-1-333）Poisson 分布分布如果随机变量如果随机变量X 的分布律为的分布律为,则称随机变量则称随机变量 X 服从参数为服从参数为的的Poisson 分布分布(1)由于由于0,可知对任意的自然数可知对任意的自然数 k,有有(2)又由于又由于离散型随机变量、离散型随机变量、2-1-34如果随机变量如果随机变量X 的分布律为的分布律为试确定未知常数试确定未知常数c.例例9由分布律的性质有由分布律的性质有解：解：离散型随机变量、离散型随机变量、2-1-35例例 10 设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为的的Poisson分布，且已知分布，且已知解：解：随机变量随机变量 X 的分布律为的分布律为由已知由已知得得解方程解方程得得所以，所以，离散型随机变量、离散型随机变量、2-1-36Poisson 定理：定理：n n重重Bernoulli试验中，用表示试验中，用表示 事件事件A A在试验中在试验中发生的概率，它与试验的总次数发生的概率，它与试验的总次数n n有关，如果有关，如果证明：证明：离散型随机变量、离散型随机变量、2-1-37对于固定的对于固定的 k，有，有所以，所以，说明说明由由 Poisson 定理，可知定理，可知离散型随机变量、离散型随机变量、2-1-38例例 11 设每次射击命中目标的概率为设每次射击命中目标的概率为0.012，现射击，现射击600次，求至次，求至少命中少命中3次目标的概率（用次目标的概率（用Poisson分布近似计算）分布近似计算）解解：离散型随机变量、离散型随机变量、2-1-39例例 15 某车间有某车间有100 台车床独立地工作着，发生故障的台车床独立地工作着，发生故障的概率都是概率都是 0.01.在通常情况下，一台车床的故障可由一在通常情况下，一台车床的故障可由一个人来处理个人来处理.问至少需配备多少工人，才能保证当车床问至少需配备多少工人，才能保证当车床发生故障但不能及时维修的概率不超过发生故障但不能及时维修的概率不超过 0.01？解：解：设需配备设需配备 N 人人,记同一时刻发生故障的设备台数记同一时刻发生故障的设备台数为为 X,则则 X b(100，0.01),使得使得 需要确定最小需要确定最小 N 的取值的取值,离散型随机变量、离散型随机变量、2-1-40 查表可知查表可知,满足上式的最小的满足上式的最小的 N 是是 4,因此至少需因此至少需配备配备 4 个工人个工人.例例 15（续）（续）离散型随机变量、离散型随机变量、2-1-41例例 12 保险公司售出某种寿险（一年）保单保险公司售出某种寿险（一年）保单2500份份.每单交保费每单交保费100元，当被保人一年内死亡时，家属可从保险公司获得元，当被保人一年内死亡时，家属可从保险公司获得2万的万的赔偿赔偿.若此类被保人一年内死亡的概率为若此类被保人一年内死亡的概率为0.001，求，求 （1）保险公司亏本的概率；）保险公司亏本的概率；（2）保险公司获利不少于）保险公司获利不少于10万元的概率万元的概率.解：解：设此类被保人一年内死亡的人数设此类被保人一年内死亡的人数为为 X，则则（1）P(保险公司亏本保险公司亏本)（2）P(保险公司获利不少于保险公司获利不少于10万元万元)离散型随机变量、离散型随机变量、2-1-424）几）几 何何 分分 布布若随机变量若随机变量 X 的分布律为的分布律为显然显然,(1)由条件由条件 由条件可知由条件可知于是知于是知 是一分布律是一分布律离散型随机变量、离散型随机变量、2-1-43几何分布的概率背景几何分布的概率背景在在Bernoulli试验中试验中，试验进行到试验进行到 A 首次出现为止首次出现为止即即离散型随机变量、离散型随机变量、2-1-44例例 13 对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率为对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率为0.64，射，射击进行到击中目标时为止，令击进行到击中目标时为止，令 X：所需射击次数：所需射击次数 试求随机试求随机 变量变量 X 的分布律，并求至少进行的分布律，并求至少进行2次射击才能击中目标的概率次射击才能击中目标的概率解：解：离散型随机变量、离散型随机变量、2-1-455 5）超）超 几几 何何 分分 布布如果随机变量如果随机变量 X 的分布律为的分布律为离散型随机变量、离散型随机变量、2-1-46超几何分布的概率背景 一批产品有一批产品有N N 件，其中有件，其中有M M 件次品，其余件次品，其余N-MN-M 件为正件为正品现从中取出品现从中取出n n 件令件令 X X：取出：取出n n 件产品中的次品数，则件产品中的次品数，则X X 的的分布律为分布律为离散型随机变量、离散型随机变量、2-1-47小结小结1）离散型随机变量的分布率及其性质；）离散型随机变量的分布率及其性质；2）两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布；）两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布；要求要求1）掌握分布率的性质；）掌握分布率的性质；2）熟练运用两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布这几）熟练运用两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布这几个分布模型解决实际问题。特别是二项分布个分布模型解决实际问题。特别是二项分布。离散型随机变量、离散型随机变量、
