概率论与数理统计(第三章第3节).ppt

第三节 条件分布 条件分布是对于二维随机变量条件分布是对于二维随机变量(X,Y),在已知随机变量在已知随机变量 Y 取定某一个数值取定某一个数值 y 的的条件下条件下,随机变量随机变量 X 的概率分布的概率分布。也可以。也可以是在已知随机变量是在已知随机变量 X 取定某一个数值取定某一个数值 x 的的条件下条件下,随机变量随机变量 Y 的概率分布的概率分布。条件分布也是有条件分布也是有离散型离散型和和连续型连续型两种两种常见的类型常见的类型:11.条件分布律条件分布律 例例1.设随机变量设随机变量(X,Y)具有如下联合具有如下联合分布律分布律:X01Y1 2 3 4试求试求 Y=2 时时,X 的条件分布律。的条件分布律。2 解解.X 的可能取值是的可能取值是 0,1;当当 Y=2 时时,X 的条件分布的条件分布,即是在条件即是在条件 Y=2下计算下计算X 分别取分别取 0,1 的概率的概率P X=0|Y=2 和和 P X=1|Y=2 由条件概率计算公式由条件概率计算公式,有有3于是得到于是得到Y=2 时时,X 的条件分布的条件分布为为P X=0|Y=2=P X=1|Y=2=此外此外,不难算出不难算出 X 的无条件分布的无条件分布(边边缘分布缘分布)为为P X=0=P X=1=4 由此给出一般情形条件分布律的描述由此给出一般情形条件分布律的描述:定义定义1.设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为P X=xi,Y=yj =pij,i,j=1,2,对于某一个对于某一个 j,有有 P Y=yj =pj 0,则则称称P X=xi|Y=yj =i=1,2,为为Y=yj 时时,X 的条件分布律。的条件分布律。5 同样同样,关于关于 Y 也有类似的条件分布律也有类似的条件分布律:对于某一个对于某一个 i,有有 P X=xi =pi 0,则称则称PY=yj|X=xi =j=1,2,为为 X=xi 时时,Y 的条件分布律。的条件分布律。我们看到我们看到,条件分布律的计算条件分布律的计算,依赖依赖于二维随机变量的联合分布律。于二维随机变量的联合分布律。6 例例2.设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为 的泊的泊松分布松分布,即即 X P();当当 X=k 时时,Y 的的条件分布是二项分布条件分布是二项分布 B(k,p),即有即有PY=i|X=k=Ck pi(1-p)kii=0,1,2,k证明证明:Y 服从服从参数为服从服从参数为 p 的泊松分布的泊松分布,即即 Y P(p)。分析分析.要由要由 X 的分布得到的分布得到Y 的分布的分布,需需先求出先求出(X,Y)的联合分布律的联合分布律,这是本题的这是本题的出发点。出发点。7 证证.X 的分布律是的分布律是P X=k =,k=0,1,2,(X,Y)的联合分布律是的联合分布律是:i、k=0,1,2,当当 ik 时时,P X=k,Y=i =0;当当 ik 时时,P X=k,Y=i =P X=k PY=i|X=k=8故故 Y 的分布律是的分布律是PY=i =P X=k,Y=i =注意有公式注意有公式9于是于是PY=i =i=0,1,2,所以所以,Y P(p),原题结论得证。原题结论得证。102.条件概率密度条件概率密度 设设(X,Y)是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量,由由于于连续型随机变量取固定值的概率为连续型随机变量取固定值的概率为0,故故不能直接考虑不能直接考虑 Y=y 时时 X 的条件分布的条件分布,或或 X=x 时时 Y 的条件分布。的条件分布。此时通常的处理方式是此时通常的处理方式是:讨论在事件讨论在事件 y Yy+y 发生的条件下发生的条件下,X 的条件的条件分布分布,再令再令 y0,求出相应的结果求出相应的结果,即即是是 Y=y 时时 X 的条件分布。的条件分布。11 类似地类似地,在事件在事件 x 0 时时,称称fX|Y(x|y)=是是 Y=y 时时 X 的条件概率密度。的条件概率密度。当当 fX(x)0 时时,称称fY|X(y|x)=是是 X=x 时时 Y 的条件概率密度。的条件概率密度。x是自变量是自变量y是固定值是固定值y是自变量是自变量x是固定值是固定值13 注注:(1)除了表示的符号和本质意义上的除了表示的符号和本质意义上的差异外差异外,条件分布与一般分布具有几乎相条件分布与一般分布具有几乎相同的概率性质同的概率性质,可以照搬过来。例如可以照搬过来。例如P x1 Xx2|Y=y=(2)如果随机变量如果随机变量 X、Y 相互独立相互独立,则则条件分布与无条件的分布条件分布与无条件的分布(边缘分布边缘分布)相同。相同。14