专题16-几何类压轴题-湖北省2019-2021年3年中考真题数学分项汇编(解析版).docx

专题16 几何类压轴题一、单选题1（2021·湖北中考真题）如图，在正方形中，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接下列结论：；的最小值为3其中正确结论的个数有（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】C【分析】延长，交于点，交于点，连接，交于点，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，再根据矩形的判定与性质可得，由此可判断；先根据三角形全等的性质可得，再根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，由此可判断；根据直角三角形的性质可得，从而可得，由此可判断；先根据垂线段最短可得当时，取得最小值，再解直角三角形可得的最小值，从而可得的最小值，由此可判断【详解】解：如图，延长，交于点，交于点，连接，交于点，四边形是正方形，在和中，四边形是矩形，即结论正确；，即结论正确；，即，结论正确；由垂线段最短可知，当时，取得最小值，此时在中，又，的最小值与的最小值相等，即为，结论错误；综上，正确的结论为，共有3个，故选：C【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键2（2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）如图，已知和都是等腰三角形，交于点F，连接，下列结论：；平分；其中正确结论的个数有（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】C【分析】证明BADCAE,再利用全等三角形的性质即可判断；由BADCAE可得ABF=ACF，再由ABF+BGA=90°、BGA=CGF证得BFC=90°即可判定；分别过A作AMBD、ANCE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平分BFE,即可判定；由AF平分BFE结合即可判定【详解】解：BAC=EADBAC+CAD=EAD+CAD,即BAD=CAE在BAD和CAE中AB=AC, BAD=CAE,AD=AEBADCAEBD=CE故正确；BADCAEABF=ACFABF+BGA=90°、BGA=CGFACF+BGA=90°,BFC=90°故正确；分别过A作AMBD、ANCE垂足分别为M、NBADCAESBAD=SCAE, BD=CEAM=AN平分BFE，无法证明AF平分CAD故错误；平分BFE，故正确故答案为C【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键3（2020·湖北荆门市·中考真题）在平面直角坐标系中，长为2的线段（点D在点C右侧）在x轴上移动，连接、，则的最小值为（ ）ABCD【答案】B【分析】作A（0，2）关于x轴的对称点A（0，-2），再过A作AEx轴且AE=CD=2，连接BE交x轴与D点，过A作ACDE交x轴于点C，得到四边形CDEA为平行四边形，故可知AC+BD最短等于BE的长，再利用勾股定理即可求解【详解】作A（0，2）关于x轴的对称点A（0，-2）过A作AEx轴且AE=CD=2，故E（2，-2）连接BE交x轴与D点过A作ACDE交x轴于点C，四边形CDEA为平行四边形，此时AC+BD最短等于BE的长，即AC+BD=AC+BD=DE+BD=BE=故选B【点睛】此题主要考查最短路径的求解，解题的关键是熟知直角坐标系、平行四边形的性质4（2019·湖北黄石市·中考真题）如图，矩形中，与相交于点，将沿折叠，点的对应点为，连接交于点，且，在边上有一点，使得的值最小，此时（ ）ABCD【答案】B【分析】设BD与AF交于点M设AB=a，AD=a，根据矩形的性质可得ABE、CDE都是等边三角形，利用折叠的性质得到BM垂直平分AF，BF=AB=a，DF=DA=a解直角BGM，求出BM，再表示DM，由ADMGBM，求出a=2，再证明CF=CD=2作B点关于AD的对称点B，连接BE，设BE与AD交于点H，则此时BH+EH=BE，值最小建立平面直角坐标系，得出B（3，2），B（3，-2），E（0，），利用待定系数法求出直线BE的解析式，得到H（1，0），然后利用两点间的距离公式求出BH=4，进而求出=【详解】如图，设BD与AF交于点M设AB=a，AD=a，四边形ABCD是矩形，DAB=90°，tanABD=，BD=AC=2a，ABD=60°，ABE、CDE都是等边三角形，BE=DE=AE=CE=AB=CD=a，将ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，BM垂直平分AF，BF=AB=a，DF=DA=a，在BGM中，BMG=90°，GBM=30°，BG=2，GM=BG=1，BM=GM=，DM=BD-BM=2a-，矩形ABCD中，BCAD，ADMGBM，即，a=2，BE=DE=AE=CE=AB=CD=2，AD=BC=6，BD=AC=4，易证BAF=FAC=CAD=ADB=BDF=CDF=30°，ADF是等边三角形，AC平分DAF，AC垂直平分DF，CF=CD=2，作B点关于AD的对称点B，连接BE，设BE与AD交于点H，则此时BH+EH=BE，值最小如图，建立平面直角坐标系， 则A（3，0），B（3，2），B（3，-2），E（0，），易求直线BE的解析式为y=-x+，H（1，0），BH=4，=故选B【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形、垂直平分线、相似三角形的判定与性质，待定系数法求直线的解析式，轴对称-最短路线问题，两点间的距离公式等知识综合性较强，有一定难度分别求出BH、CF的长是解题的关键二、填空题5（2021·湖北黄冈市·中考真题）如图，正方形中，连接，的平分线交于点E，在上截取，连接，分别交，于点G，H，点P是线段上的动点，于点Q，连接下列结论：；的最小值是其中所有正确结论的序号是_【答案】【分析】先根据定理证出，从而可得，再根据角的和差即可判断结论；根据等腰三角形的性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可判断结论；先根据正方形的性质可得，再根据可得，从而可得，由此即可判断结论；过点作于点，连接，先根据角平分线的性质可得，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，取得最小值，然后解直角三角形即可得判断结论【详解】解：四边形是正方形，在和中，即，结论正确；平分，结论正确；，即，结论错误；如图，过点作于点，连接，平分，由两点之间线段最短得：当点共线时，取得最小值，由垂线段最短得：当时，取得最小值，此时在中，即的最小值是，结论正确；综上，所有正确结论的序号是，故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识点，较难的是，利用两点之间线段最短、垂线段最短得出当时，取最小值是解题关键6（2020·湖北随州市·中考真题）如图，已知矩形中，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（不与两端点重合），过点作于点，连接，给出下列判断：；折痕的长度的取值范围为；当四边形为正方形时，为的中点；若，则折叠后重叠部分的面积为其中正确的是_（写出所有正确判断的序号）.【答案】【分析】由题意，逐一判定，由折叠的性质以及等腰三角形三线合一的性质即可判定；根据题意点在线段上（不与两端点重合），假设F分别在C、D两点，即可得出其取值范围；由相似三角形、正方形的性质以及勾股定理构建方程，即可判定；由相似三角形以及勾股定理，得出梯形MEFN的面积和MEO的面积，即可得解；【详解】由折叠性质，得，BG=FG，BN=FNBFMNBIH=MIG，HBI=GMIMHN=BCF=90°故结论正确；假设F与C重合时，MN取得最小值，即为3；假设F与D重合时，MN取得最大值，MH=3，BC=4，点在线段上（不与两端点重合）折痕的长度的取值范围为故结论正确；四边形为正方形MH=HC=3BH=1令，则，（不符合题意，舍去），即为的中点故结论正确；，AB=CD=3DF=1，CF=2BG=GF=HN=FGNMHNGN=BH=BC-HN-NC=4-=1EMO=CNF，MEO=NCF=90°MEONCFEO=折叠后重叠部分的面积为：故结论正确；故答案为：.【点睛】此题主要考查矩形的折叠性质以及相似三角形的综合运用，熟练掌握，即可解题.7（2020·湖北武汉市·中考真题）如图，折叠矩形纸片，使点落在边的点处，为折痕，设的长为，用含有的式子表示四边形的面积是_【答案】【分析】首先根据题意可以设DE=EM=x，在三角形AEM中用勾股定理进一步可以用t表示出x，再可以设CF=y，连接MF，所以BF=2y，在三角形MFN与三角形MFB中利用共用斜边，根据勾股定理可求出用t表示出y，进而根据四边形的面积公式可以求出答案.【详解】设DE=EM=x，x= ，设CF=y，连接FM，BF=2y，又FN= y，NM=1，y=，四边形的面积为：=1，故答案为：.【点睛】本题主要考查了勾股定理的综合运用，熟练掌握技巧性就可得出答案.8（2021·湖北襄阳市·中考真题）如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在的延长线上，交于点，则_【答案】【分析】作出如图所示的辅助线，利用SAS证明ADHABF以及EAFEAH，在RtABE中，利用勾股定理求得正方形的边长，再证明BAFOAG，即可求解【详解】解：如图，在CD上取点H，使DH=BF=2，连接EH、AH，四边形ABCD是正方形，ADH=ABC=ABF=90°，AD=AB，BAC=DAC=45°，ADHABF(SAS)，DAH=BAF，AH=AF，EAF=45°，即BAF+EAB=45°，DAH+EAB=45°，则EAH=45°，EAF=EAH=45°，EAFEAH (SAS)，EF=EH，设BE=a，则AB=2a，EC=a，CH=2a-2，EF=EH=a+2，在RtCEH中，,即，解得：，则AB=AD=6，BE=EC=3，在RtABE中，,AE=3，同理AF=2，AO=AB=3，BEAD，AG=2，EAF=BAC=45°，BAF=OAG，BAFOAG，GAF=OAB=45°，GAF是等腰直角三角形，FG= AG=2，故答案为：2【点睛】本题主要考查了四边形综合题，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数是解题的关键9（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，依此类推，则点的坐标为_【答案】(-1,8)【分析】先求出N1至N6点的坐标，找出其循环的规律为每6个点循环一次即可求解【详解】解：由题意得，作出如下图形：N点坐标为(-1,0)，N点关于A点对称的N1点的坐标为(-3,0)，N1点关于B点对称的N2点的坐标为(5,4)，N2点关于C点对称的N3点的坐标为(-3,8)，N3点关于A点对称的N4点的坐标为(-1,8)，N4点关于B点对称的N5点的坐标为(3,-4)，N5点关于C点对称的N6点的坐标为(-1,0)，此时刚好回到最开始的点N处，其每6个点循环一次，即循环了336次后余下4，故的坐标与N4点的坐标相同，其坐标为(-1,8) 故答案为：(-1,8) 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的对称规律问题，本题需要先去验算前面一部分点的坐标，进而找到其循环的规律后即可求解10（2019·湖北武汉市·中考真题）问题背景：如图，将绕点逆时针旋转60°得到，与交于点，可推出结论：问题解决：如图，在中，点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是_【答案】【分析】如图，将MOG绕点M逆时针旋转60°，得到MPQ，易知MOP为等边三角形，继而得到点O到三顶点的距离为：ONOMOGONOPPQ，由此可以发现当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ONOMOG最小，此时，NMQ75°+60°135°，过Q作QANM交NM的延长线于A，利用勾股定理进行求解即可得.【详解】如图，将MOG绕点M逆时针旋转60°，得到MPQ，显然MOP为等边三角形，OMOGOPPQ，点O到三顶点的距离为：ONOMOGONOPPQ，当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ONOMOG最小，此时，NMQ75°+60°135°，过Q作QANM交NM的延长线于A，则MAQ=90°，AMQ180°-NMQ=45°，MQMG4，AQAMMQcos45°=4，NQ，故答案为.【点睛】本题考查了旋转的性质，最短路径问题，勾股定理，解直角三角形等知识，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线是解题的关键.三、解答题11（2021·湖北襄阳市·中考真题）在中，是边上一点，将沿折叠得到，连接（1）特例发现：如图1，当，落在直线上时，求证：；填空：的值为_；（2）类比探究：如图2，当，与边相交时，在上取一点，使，交于点探究的值（用含的式子表示），并写出探究过程；（3）拓展运用：在（2）的条件下，当，是的中点时，若，求的长【答案】（1）见解析；1；（2），见解析；（3）【分析】（1）根据折叠性质证明即可；当，证明，即可得出的值；（2）延长交于点，根据折叠性质证明，即可得出结论；（3）由（2）可知，设，则，可得，再由勾股定理列方程求解即可【详解】解：（1）证明：延长交于点由折叠得，当，即时，可知AC=BC，在和中，(AAS)，故答案为：1；（2）解：理由：延长交于点，由折叠得，（3）解：由折叠得，是的中点，由（2）知，是的中点， ，设，则， ，在中，由勾股定理得，解得（负值舍去），【点睛】本题为三角形综合题，考查折叠的性质，全等三角形判定与性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，根据折叠性质找到角度之间的关系是解题的关键12（2021·湖北宜昌市·中考真题）如图，在矩形中，是边上一点，垂足为将四边形绕点顺时针旋转，得到四边形所在的直线分别交直线于点，交直线于点，交于点所在的直线分别交直线于点，交直线于点，连接交于点（1）如图1，求证：四边形是正方形；（2）如图2，当点和点重合时求证：；若，求线段的长；（3）如图3，若交于点，求的值【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）先利用三个角是直角的四边形是矩形证明，再根据证得结论；（2）证明即可得到结论；方法一：设正方形边长为，根据，求出，利用勾股定理得到，求出a，得到，根据CKG，求出KG，再根据，求出答案；方法二：过点作于点，根据，求出，由，再利用勾股定理求得结果；（3）方法一：延长与的延长线交于点，证明，求出，设，则，证明，求得，由，求出，利用，求出，即可得到答案；方法二，过点作，垂足为点设，则，求得，证明，求出，再证明，求出答案；方法三：设与交于点，设，则，证明，得到，根据，求出答案【详解】（1）在矩形中，则，四边形是矩形，矩形是正方形（2）如图1，又，方法一：设正方形边长为，PG，在中，CKG，,，BCKEKD，DK=KC，又DKP=GKC，P=G，PG=KG，；方法二：如图2，过点作于点，由，可得：，由方法一，可知，由方法一，可知为中点，从而，从而由勾股定理得（3）方法一：如图3，延长与的延长线交于点，由题意可知，设，则，方法二，如图4，过点作，垂足为点由题意可知，设，则，则，方法三：如图5，设与交于点，设，则，由题意可知，由方法（2）可知，所以，又，【点睛】此题考查正方形的判定定理及性质定理，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，综合掌握各知识点并熟练应用解决问题是解题的关键13（2021·湖北武汉市·中考真题）问题提出 如图（1），在和中，点在内部，直线与交于点，线段，之间存在怎样的数量关系？问题探究 （1）先将问题特殊化如图（2），当点，重合时，直接写出一个等式，表示，之间的数量关系； （2）再探究一般情形如图（1），当点，不重合时，证明（1）中的结论仍然成立问题拓展 如图（3），在和中，（是常数），点在内部，直线与交于点，直接写出一个等式，表示线段，之间的数量关系【答案】（1）（2）见解析；问题拓展：【分析】（1）先证明BCEACD,得到AF=BE，BF-BE=BF-AF=EF=；（2）过点作交于点，证明，是等腰直角三角形即可；利用前面的方法变全等为相似证明即可【详解】问题探究 （1）理由如下：如图（2），BCA=ECF=90°，BCE=ACF，BC=AC，EC=CF，BCEACF，BE=AF，BF-BE=BF-AF=EF=；（2）证明：过点作交于点，则，又，是等腰直角三角形问题拓展 理由如下：BCA=ECD=90°，BCE=ACD，BC=kAC，EC=kCD，BCEACD，EBC=FAC，过点作交于点M，则，BCMACF，BM:AF=BC:AC=MC:CF=k，BM=kAF,MC=kCF，BF-BM=MF，MF=BF- kAF =【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定，三角形相似的判定，勾股定理是解题的关键14（2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点M，交于点N，再把纸片展平 问题解决：（1）如图1，填空：四边形的形状是_；（2）如图2，线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；（3）如图2，若，求的值【答案】（1）正方形；（2），见解析；（3）【分析】（1）有一组邻边相等且一个角为直角的平行四边形是正方形；（2）连接，由（1）问的结论可知，又因为矩形纸片沿过点E的直线折叠，可知折叠前后对应角以及对应边相等，有，可以证明和全等，得到，从而有；（3）由，有；由折叠知，可以计算出；用勾股定理计算出DF的长度，再证明得出等量关系，从而得到的值【详解】（1）解：ABCD是平行四边形，四边形是平行四边形矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处四边形的形状是正方形故最后答案为：四边形的形状是正方形；（2）理由如下：如图，连接，由（1）知：四边形是矩形，由折叠知：又，（3），由折叠知：，设，则在中，由勾股定理得：解得：，即如图，延长交于点G，则，【点睛】（1）本问主要考查了正方形的定义，即有一组邻边相等且一个角为直角的平行四边形是正方形，其中明确折叠前后对应边、对应角相等是解题的关键；（2）本问利用了正方形的性质以及折叠前后对应边、对应角相等来证明三角形全等，再根据角相等则边相等即可做题，其中知道角相等则边相等的思想是解题的关键；（3）本问考查了全等三角形、相似三角形的性质、角相等则正切值相等以及勾股定理的应用，其中知道三角形相似则对应边成比例是解题的关键15（2020·湖北中考真题）如图1，已知，点D在上，连接并延长交于点F，（1）猜想：线段与的数量关系为_；（2）探究：若将图1的绕点B顺时针方向旋转，当小于时，得到图2，连接并延长交于点F，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展：图1中，过点E作，垂足为点G当的大小发生变化，其它条件不变时，若，直接写出的长 【答案】(1)AF=EF；(2)成立，理由见解析；(3)12【分析】(1) 延长DF到G点，并使FG=DC，连接GE，证明ACFEDG，进而得到GEF为等腰三角形，即可证明AF=GE=EF；(2)证明原理同(1)，延长DF到G点，并使FG=DC，连接GE，证明ACFEDG，进而得到GEF为等腰三角形，即可证明AF=GE=EF；(3)补充完整图后证明四边形AEGC为矩形，进而得到ABC=ABE=EBG=60°即可求解【详解】解：(1)延长DF到G点，并使FG=DC，连接GE，如下图所示，DE=AC，BD=BC，CDB=DCB，且CDB=ADF，ADF=DCB，ACB=90°，ACD+DCB=90°，EDB=90°，ADF+FDE=90°，ACD=FDE，又延长DF使得FG=DC，FG+DF=DC+DF，DG=CF，在ACF和EDG中，ACFEDG(SAS)，GE=AF，G=AFC，又AFC=GFE，G=GFEGE=EFAF=EF，故AF与EF的数量关系为：AF=EF.故答案为：AF=EF；(2)仍旧成立，理由如下：延长DF到G点，并使FG=DC，连接GE，如下图所示设BD延长线DM交AE于M点，DE=AC，BD=BC，CDB=DCB，且CDB=MDF，MDF=DCB，ACB=90°，ACD+DCB=90°，EDB=90°，MDF+FDE=90°，ACD=FDE，又延长DF使得FG=DC，FG+DF=DC+DF，DG=CF，在ACF和EDG中，ACFEDG(SAS)，GE=AF，G=AFC，又AFC=GFE，G=GFEGE=EF，AF=EF，故AF与EF的数量关系为：AF=EF.故答案为：AF=EF；(3)如下图所示： BA=BE，BAE=BEA，BAE=EBG,BEA=EBG，AECG，AEG+G=180°，AEG=90°，ACG=G=AEG=90°，四边形AEGC为矩形，AC=EG，且AB=BE，RtACBRtEGB(HL)，BG=BC=6，ABC=EBG，又ED=AC=EG，且EB=EB，RtEDBRtEGB(HL)， DB=GB=6，EBG=ABE，ABC=ABE=EBG=60°，BAC=30°，在RtABC中由30°所对的直角边等于斜边的一半可知：故答案为：【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了三角形全等的性质和判定，矩形的性质和判定，本题的关键是延长DF到G点并使FG=DC，进而构造全等，本题难度稍大，需要作出合适的辅助线16（2020·湖北咸宁市·中考真题）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形理解：（1）若四边形是对余四边形，则与的度数之和为_；证明：（2）如图1，是的直径，点在上，相交于点D求证：四边形是对余四边形；探究：（3）如图2，在对余四边形中，探究线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由【答案】（1）90°或270°；（2）见解析；（3），理由见解析【分析】（1）分当A和C互余时，当B和D互余时，两种情况求解；（2）连接BO，得到BON+BOM=180°，再利用圆周角定理证明C+A=90°即可；（3）作ABD的外接圆O，分别延长AC，BC，DC，交圆O于E，F，G，连接DF，DE，EF，先证明GF是圆O的直径，得到，再证明ABCFEC，ACDGCE，BCDGCF，可得，从而得出，根据ABC为等边三角形可得AB=AC=BC，从而得到.【详解】解：（1）四边形是对余四边形，当A和C互余时，A+C=90°，当B与D互余时，B+D=90°，则A+C=360°-90°=270°，故答案为：90°或270°；（2）如图，连接BO，可得：BON=2C，BOM=2A，而BON+BOM=180°，2C+2A=180°，C+A=90°，四边形是对余四边形；（3）四边形ABCD为对于四边形，ABC=60°，ADC=30°，如图，作ABD的外接圆O，分别延长AC，BC，DC，交圆O于E，F，G，连接DF，DE，EF，则AEF=ABC=60°，AEG=ADG=30°，AEF+AEG=90°，即FEG=90°，GF是圆O的直径，AB=BC，ABC为等边三角形，ABC=AEF，ACB=ECF，ABCFEC，得：，则，同理，ACDGCE，得：，则，BCDGCF，得：，可得：，而，AB=BC=AC，.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，四边形的新定义问题，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，多边形内角和，解题的关键是理解对余四边形的概念，结合所学知识求证.17（2020·湖北随州市·中考真题）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理在我国古书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）后人称之为“赵爽弦图”，流传至今（1）请叙述勾股定理；勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件） （2）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_个； 如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，直角三角形面积为，请判断，的关系并证明；（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，的边长分别为，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含的式子表示）_；与的关系为_，与的关系为_ 【答案】（1）如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为c，那么，（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方）；证明见解析；（2）3，结论；（3）， 【分析】（1）根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可；根据题意，利用面积相等的方法，即可证明勾股定理成立；（2）根据题意，设直角三角形的三边分别为a、b、c，利用面积相等的方法，分别求出面积的关系，即可得到答案；利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大半圆的面积，即可得到答案；（3）由（1）（2）中的结论，结合勾股定理的应用可知，；由，则，同理可得，利用解直角三角形以及勾股定理，即可得到答案【详解】解：（1）如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为c，那么 （或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方）证明： 在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和即，化简得在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和即，化简得在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和即，化简 （2）根据题意，则如下图所示：在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，则由勾股定理，得，；在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，则，；在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，则，；满足的有3个，故答案为：3；结论；，；（3）如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，则有由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：A+B=E，C+D=F，E+F=M，故答案为：；，由解直角三角形和正方形的性质，则，；同理：；，故答案为：；【点睛】本题考查了求扇形的面积，解直角三角形，勾股定理的证明，以及正方形的性质，解题的关键是掌握勾股定理的应用，注意归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，是中档题18（2021·湖北中考真题）已知和都为等腰三角形，（1）当时，如图1，当点D在上时，请直接写出与的数量关系；_；如图2，当点D不在上时，判断线段与的数量关系，并说明理由；（2）当时，如图3，探究线段与的数量关系，并说明理由；当时，请直接写出的长【答案】（1）；，理由见解析；（2），理由见解析；5【分析】（1）先根据等边三角形的判定与性质可得，再根据线段的和差即可得；先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得出结论；（2）先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得出结论；设与交于点，先根据（2）的结论可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，然后利用勾股定理、线段的和差可得，最后在中，解直角三角形即可得【详解】解：（1）当时，和都为等腰三角形，和都为等边三角形，即，故答案为：；，理由如下：和都为等边三角形，即，在和中，；（2）当时，和都为等腰直角三角形，即，设，则，在和中，即；如图，设与交于点， ，设，则，即，解得，在中，在中，则在中，【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，较难的是题（2），正确找出相似三角形是解题关键19（2020·湖北襄阳市·中考真题）在中，点D在边上，且，交边于点F，连接（1）特例发现：如图1，当时，求证：；推断：_；（2）探究证明：如图