BBD1_3数列的极限.ppt
分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究的对象 研究的方法 研究的桥梁第一章函数与极限1 第一章 三三、收敛数列的性质、收敛数列的性质 四四、极限存在准则、极限存在准则 一、数列一、数列 第三节第三节数列的极限数列的极限二二、数列极限的定义、数列极限的定义 2极限概念极限概念是高等数学中最基本的概念，这个概念贯串着整个数学分析，作用。因数学分析的其它基本概念可用极限概念来表达。微分、积分都可用极限运算来描述。掌握极限的概念和运算很重要。极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。变量的变化有各种各样的情况，经常遇到，也就是说它在变化的过程中无限的接近于某一确定的常数某一确定的常数。极限概念前言极限概念前言有一类变量是稳定的状态。这就是它在变化的过程中逐步趋向于相对并在数学的其它领域中起重要3“割之弥细，所失弥少，割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无割，则与圆周合体而无所失矣所失矣”播放播放刘徽刘徽正六边形的面积 A 1正十二边形的面积 A 2一、数列一、数列1 1、割圆术：、割圆术：41 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽概念的引入51 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽概念的引入6“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入7“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入8“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入9“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入10“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入11“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入12“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽概念的引入13之半，如此分割下去问：共去棒长多少？解：解：把所去之半排列起来：此是公比为的等比数列引例引例2：第一次去其一半，第二次再去所余“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”一尺之棰，共去棰长141 1、数列的定义、数列的定义依次排列的一列无穷多个数：称为数列数列，其中每一个数称为数列的项项，第 n 项 xn称为数列的一般项一般项（或通项），下标称为数列的项数。或按照一定的法则，定义定义1数列简记为15可看作一动点在数轴上依次取数列对应着数轴上一个点列，数列是整标函数数列是整标函数162、数列的性质数列的性质（1）有界性有界性设已知数列若存在 M 0,对于一切 n 都有则称数列是有界的；否则，若不存在这样的正数 M，则称是无界的。例如：例如：数列都是有界的，而数列是无界的。17(2）单调性单调性在称此数列是单调减少的。单调增加或单调减少的数列，统称为单调数列。例如:是单调增加数列;是单调减少数列其特点是数列的点作定向移动，单增向右，单减向左。反之若在称此数列是单调增加的；若的项 xn 随着项数 n 的增大而增大，即满足18二、数列极限的定义二、数列极限的定义在1 与 1 之间跳动观察可见：的变化趋势只有两种：是无限地接近某个确定的常数，就是不接近于任何确定的常数。由此，得到数列极限的初步定义如下：引例引例 观察下列数列的变化趋势19定义定义 若当 时，一般项无限地接近于某个则称 A 为数列的极限，记作或（读作 n 趋向无穷大时，趋向于 A）.若当 时，不接近于任何确定常数A,确定的常数 A,则称数列没有极限。20而无极限我们称有极限的数列为收敛数列，收敛数列，无极限的数列为发散数列。发散数列。例如：例如：21及常数 a 有下列关系:当 n N 时,总有记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.即或则称该数列的极限为 a,若数列为了精确的反映接近 a 的程度与 n 之间的关系给出定义定义222为具体的说明几何解释几何解释:考察一般项为数列，当 n 无限增大时 xn 与 2的距离无限的小.当 n N 时,总有欲使23由取只要即从10001 项起以后的所有点与 2 的距离小于即有取只要即从101 项起以后的所有点与 2 的距离小于即有24例如例如,趋势不定收 敛发 散25三、收敛数列的性质三、收敛数列的性质即即及则有1.收敛数列的极限惟一收敛数列的极限惟一.若2.收敛数列一定有界收敛数列一定有界.即即:若则有说明说明:此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.数列收敛数列必有界.262.收敛数列一定有界收敛数列一定有界.证证:设取则当时,从而有取 则有由此证明收敛数列必有界.说明说明:此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.有数列27四、极限存在准则四、极限存在准则1.夹逼准则夹逼准则(准则1)夹逼准则;单调有界准则;.28例例1.证明证证:利用夹逼准则.且由29例例2 求解：解：因为则原式130例例3.证明证证:利用夹逼准则.原式得证令312.单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限(准则2)(证明略)32例例4.设证明数列极限存在.(P28)证证:利用二项式公式,有33大大 大大 正正又比较可知34根据准则 2 可知数列记此极限为 e,e 为无理数,其值为即有极限.又35的极限存在，并求此极限。证证：设又单调有界数列必有极限设例例5 求证数列36内容小结内容小结1.数列极限的“N”定义及应用2.收敛数列的性质:惟一性;有界性;3.极限存在准则:夹逼准则;单调有界准则;37P29 1(2),2(3),3(1,3,5),5 口答 作业作业38
