不定积分求解方法换元法教案.pptx
会计学1不定积分求解方法换元法不定积分求解方法换元法第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法基本思路基本思路基本思路基本思路 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设可导,则有第1页/共42页一、第一类换元法一、第一类换元法一、第一类换元法一、第一类换元法 （P221P221）定理定理1.则有换元公式(也称配元法配元法即,凑微分法凑微分法)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共42页例例例例1.1.求求求求解解:令则故原式原式=注注:当时机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共42页例例例例2.2.（P222P222）求求求求解解:令则想到公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共42页例例例例3.3.（P223P223）求求求求想到解解:(直接配元)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共42页例例例例4.4.（P225P225）求求求求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似第6页/共42页例例例例5.5.（P223P223）求求求求解解:原式原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共42页常用的几种配元形式常用的几种配元形式常用的几种配元形式常用的几种配元形式:万能凑幂法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共42页例例例例6.6.求求求求解解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共42页例例例例7.7.求求求求解解:原式=例例8.求解解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共42页例例例例9.9.求求求求解法解法1解法解法2 两法结果一样机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共42页例例例例10.10.（P227P227）求求求求解法解法1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共42页解法解法解法解法 2 2 同样可证或(P226-P227)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共42页例例例例11.11.求求求求解解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共42页例例例例12.12.求求求求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共42页例例例例13.13.求求求求解解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共42页例例例例14.14.求求求求解解:原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析分析:第17页/共42页例例例例15.15.求求求求解解:原式原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共42页小结小结小结小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如第19页/共42页思考与练习思考与练习思考与练习思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共42页2.2.求求求求提示提示:法法1法法2法法3作业 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共42页二、第二类换元法二、第二类换元法二、第二类换元法二、第二类换元法 （P228P228）机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，第22页/共42页定理定理定理定理2.2.设设设设是单调可导函数,且具有原函数,证证:令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有换元公式（P228）第23页/共42页例例例例16.16.（P230P230）求求求求解解:令则 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共42页例例例例17.17.求求求求解解:令则 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共42页例例例例18.18.（P230P230）求求求求解解:令则 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共42页令于是机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页/共42页说明说明说明说明:被积函数含有时,除采用采用双曲代换消去根式,所得结果一致.或或机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角代换外,还可利用公式第28页/共42页原式例例例例19.19.求求求求解解:令则原式当 x 0 时,类似可得同样结果.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第29页/共42页小结小结小结小结:1.第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型:令令令或令或令或机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节讲第30页/共42页机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.2.常用基本积分公式的补充常用基本积分公式的补充常用基本积分公式的补充常用基本积分公式的补充 (P399-404)(P399-404)(7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换倒代换 令第31页/共42页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第32页/共42页解解:原式(P399 公式(9)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例例例20.20.求求求求例例21.求解解:(P400 公式(15)第33页/共42页例例例例22.22.求求求求解解:原式=(P401 公式(33)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例23.求解解:原式(P401 公式(33)第34页/共42页例例例例24.24.求求求求解解:令得原式机动 目录 上页 下页 返回 结束(P400 公式(19)第35页/共42页例例例例25.25.求求求求解解:原式令例例16例16 目录 上页 下页 返回 结束 第36页/共42页思考与练习思考与练习思考与练习思考与练习1.下列积分应如何换元才使积分简便?令令令机动 目录 上页 下页 返回 结束 第37页/共42页2.2.已知已知已知已知求解解:两边求导,得则(代回原变量代回原变量)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第38页/共42页备用题备用题备用题备用题 1.1.求下列积分求下列积分求下列积分求下列积分:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第39页/共42页2.2.求不定积分解：解：利用凑微分法,原式=令得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第40页/共42页分子分母同除以3.3.求不定积分解解:令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第41页/共42页
