数字信号处理第七章.ppt

第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 7.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的条件和特点数字滤波器的条件和特点 7.2 利用窗函数法设计利用窗函数法设计FIR滤波器滤波器 7.3 利用频率采样法设计利用频率采样法设计FIR滤波器滤波器 7.4 利用等波纹最佳逼近法设计利用等波纹最佳逼近法设计FIR数字滤波器数字滤波器 7.5 IIR和和FIR数字滤波器的比较数字滤波器的比较 7.6 几种特殊类型滤波器简介几种特殊类型滤波器简介 7.7 滤波器分析设计工具滤波器分析设计工具FDATool 习题与上机题习题与上机题第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 IIR数字滤波器的特性数字滤波器的特性优点：优点：缺点：缺点：设计方便，可利用模拟滤波器的设计结果；设计方便，可利用模拟滤波器的设计结果；非非线线性性相相位位，若若需需线线性性相相位位，则则要要增增加加相相位位校校正网络。正网络。引言7-0 引引 言言第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 引7-0 引引 言言言FIR数字滤波器的特性数字滤波器的特性优点：优点：缺点：缺点：1 1）可可得得到到严严格格的的线线性性相相位位，又又可可具具有有任任意意的的幅幅度度特性。特性。2 2）系统无反馈，是无条件稳定系统。）系统无反馈，是无条件稳定系统。3 3）进行滤波时可采用）进行滤波时可采用FFTFFT。幅度特性较差，滤波器的阶次较高。幅度特性较差，滤波器的阶次较高。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 二、二、FIR DFFIR DF的特点的特点 1 1、单单位位抽抽样样响响应应h(n)h(n)是是有有限限长长的的，因因此此FIR FIR DFDF一定是稳定的；一定是稳定的；2 2、经经延延时时，h(n)h(n)总总可可变变成成因因果果序序列列，所所以以FIR FIR DFDF总可以由因果系统实现；总可以由因果系统实现；3 3、h(n)h(n)为为有有限限长长，可可以以用用FFTFFT实实现现FIRFIR数数字字滤滤波波器器;4 4、FIRFIR的的系系统统函函数数是是Z Z-1-1的的多多项项式式，故故IIRIIR的的方方法法不适用不适用;5 5、FIRFIR的的相相位位特特性性可可以以是是线线性性的的，即即 ，或或 。因因此此，它它有有更更广广泛泛的的应应用用，非非线性的线性的FIRFIR一般不作研究。一般不作研究。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 FIR滤波器设计任务是选择有限长度的滤波器设计任务是选择有限长度的h(n)，使，使频率响应函数频率响应函数H(ej)满足技术指标要求。满足技术指标要求。本章主要介绍本章主要介绍三种设计方法：窗函数法、频率采三种设计方法：窗函数法、频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法。样法和切比雪夫等波纹逼近法。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 1、相位失真（波形失真之一）、相位失真（波形失真之一）当信号通过一个线性滤波器时，输出信号的幅度和相当信号通过一个线性滤波器时，输出信号的幅度和相位都会发生变化，即位都会发生变化，即第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 两边取模：两边取模：两边取相位：两边取相位：一、线性相位一、线性相位FIRFIR数字滤波器数字滤波器第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 当当输输入入信信号号的的不不同同频频率率分分量量通通过过滤滤波波器器时时，所所产产生生的相位延迟也不同，从而有可能产生的相位延迟也不同，从而有可能产生相位失真相位失真。确确保保输输出出信信号号不不产产生生相相位位失失真真的的唯唯一一方方法法是是，使使不不同同输输入入频频率率分分量量的的信信号号通通过过滤滤波波器器时时都都有有相相同同的时间延迟的时间延迟，即，即两边积分，可得到滤波器的线性相位特性。两边积分，可得到滤波器的线性相位特性。一、线性相位一、线性相位FIRFIR数字滤波器数字滤波器第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 7.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的条件和特点数字滤波器的条件和特点1 线性相位线性相位FIR数字滤波器数字滤波器对于长度为对于长度为N的的h(n)，频率响应函数为，频率响应函数为（7.1.1）（7.1.2）式中，式中，Hg()称为幅度特性称为幅度特性;()称为相位特性。称为相位特性。线性相位线性相位FIR滤波器是指滤波器是指()是是的线性函数，即的线性函数，即第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 第一类线性相位第一类线性相位为常数为常数 （7.1.3）第二类线性相位第二类线性相位是起始相位是起始相位 （7.1.4）以上两种情况都满足群时延是一个常数，即以上两种情况都满足群时延是一个常数，即也称这种情况为线性相位。也称这种情况为线性相位。0=/2是第二类线性相位是第二类线性相位特性常用的情况特性常用的情况，所以本章仅介绍这种情况。，所以本章仅介绍这种情况。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 2.线性相位线性相位FIR的时域约束条件的时域约束条件线性相位线性相位FIR滤波器的时域约束条件是指满足线性相位时，滤波器的时域约束条件是指满足线性相位时，对对h(n)的约束条件。的约束条件。1)第一类线性相位对第一类线性相位对h(n)的约束条件的约束条件 第一类线性相位第一类线性相位FIR DF的相位函数的相位函数()=，由式，由式（7.1.1）和（）和（7.1.2）得到）得到:（7.1.5）第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 由式（由式（7.1.5）得到）得到:(7.1.6)将（将（7.1.6）式中两式相除得到：）式中两式相除得到：第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 即即 移项并用三角公式化简得到移项并用三角公式化简得到:（7.1.7）函数函数h(n)sin(n)关于求和区间的中心关于求和区间的中心(N1)/2奇对奇对称，是满足（称，是满足（7.1.7）式的一组解。）式的一组解。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 结论：长度为结论：长度为N的的FIR数字滤波器具有第一类线性相位特数字滤波器具有第一类线性相位特性的条件是性的条件是h(n)关于关于n=(N1)/2点偶对称。点偶对称。N为奇数和偶数时为奇数和偶数时,h(n)的对称情况分别如表的对称情况分别如表7.1.1中的情中的情况况1和情况和情况2所示。所示。（7.1.8）因为因为sin(n)关于关于n=奇对称，如果取奇对称，如果取=(N1)/2，则要求，则要求h(n)关于关于(N1)/2偶对称，所以要求偶对称，所以要求和和h(n)满足如下条件满足如下条件:第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 表7.1.1 线性相位FIR数字滤波器的时域和频域特性一览 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 2)第二类线性相位对第二类线性相位对h(n)的约束条件的约束条件第二类线性相位第二类线性相位FIR数字滤波器的相位函数数字滤波器的相位函数()=/2，由式（，由式（7.1.1）和（）和（7.1.2），经过同样的），经过同样的推导过程可得到推导过程可得到:（7.1.9）函数函数h(n)cos(n)关于求和区间的中心关于求和区间的中心(N1)/2奇对奇对称，是满足式（称，是满足式（7.1.9）的一组解。）的一组解。因为因为cos(n)关于关于n=偶对称，所以要求偶对称，所以要求和和h(n)满足如下条件：满足如下条件：第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 结论：长度为结论：长度为N的的FIR数字滤波器具有第二类线性相数字滤波器具有第二类线性相位特性的条件是位特性的条件是h(n)关于关于n=(N1)/2点奇对称。点奇对称。N为奇数和偶数时为奇数和偶数时h(n)的对称情况分别如表的对称情况分别如表7.1.1中情中情况况3和情况和情况4所示。所示。（7.1.10）第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 h(n)偶对称时的线性相位特性偶对称时的线性相位特性h(n)奇对称时的线性相位特性奇对称时的线性相位特性相位特性同样为一严格相位特性同样为一严格的直线，但在零点处有的直线，但在零点处有/2的截距的截距二、线性相位二、线性相位FIRFIR滤波器的时域约束条件滤波器的时域约束条件第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 所以，所以，FIR滤波器的线性相位的充要条件是：滤波器的线性相位的充要条件是：由由于于h(n)有有奇奇对对称称和和偶偶对对称称两两种种，而而h(n)的的点点数数又又有有奇奇数数和和偶偶数数两两种种形形式式，共共有有四四种种形形式式，它它们们的性质各不相同。的性质各不相同。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 二、线性相位二、线性相位FIRFIR滤波器的时域约束条件滤波器的时域约束条件第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 3 线性相位线性相位FIR滤波器幅度特性滤波器幅度特性Hg()的特点的特点实质上，幅度特性的特点就是线性相位实质上，幅度特性的特点就是线性相位FIR滤波器的频滤波器的频域约束条件。域约束条件。对于两类线性相位特性，下面分四种情况讨论其幅度特对于两类线性相位特性，下面分四种情况讨论其幅度特性的特点。为了推导方便，引入两个参数符号：性的特点。为了推导方便，引入两个参数符号：式中，式中，表示取不大于表示取不大于(N1)/2的最大整数的最大整数。当当N为奇数时，为奇数时，M=(N1)/2。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 情况情况1：h(n)=h(Nn1),N为奇数。为奇数。将时域约束条件将时域约束条件h(n)=h(Nn1)和和()=代入式（代入式（7.1.1）和）和（7.1.2），得到），得到:第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 所以所以 （7.1.11）因为因为cos(n-)关于关于=0,2三点偶对称，三点偶对称，所以，所以，Hg()关于关于=0,2三点偶对称。情况三点偶对称。情况1可以可以实现各种（低通、高通、带通、带阻）滤波器。实现各种（低通、高通、带通、带阻）滤波器。对于对于N=13的低通情况，的低通情况，Hg()的一种例图如的一种例图如表表7.1.1中中情况情况1所示。所示。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 情况情况2：h(n)=h(Nn1),N为偶数。为偶数。仿照情况仿照情况1的推导方法得到的推导方法得到:（7.1.12）式中，。因为式中，。因为是偶数，所是偶数，所以当时以当时第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 因为因为cos(n)关于过零点奇对称，关于关于过零点奇对称，关于=0和和2偶对称。偶对称。所以所以Hg()=0，Hg()关于关于=奇对称，关于奇对称，关于=0和和2偶对称。情况偶对称。情况2适合于设计适合于设计低通低通和和带通带通滤波器滤波器对对N=12 的低通情况，的低通情况，Hg()如如表表7.1.1中情况中情况2所示。所示。情况情况3：h(n)=h(Nn1)，N为奇数。为奇数。将时域约束条件将时域约束条件h(n)=h(Nn1)和和()=/2代入式（代入式（7.1.1）和（）和（7.1.2），），并考虑并考虑，得到，得到:第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 式中，式中，N是奇数，是奇数，=(N1)/2是整数。是整数。因为因为 当当=0，,2时，时，sin(n)=0,而且而且sin(n)关于过零点奇对称。关于过零点奇对称。所以所以Hg()关于关于=0,2三点奇对称，情况三点奇对称，情况3只能实只能实现带通滤波器（在现带通滤波器（在=0，,2 处幅度为处幅度为0）。对对N=13的带通滤波器举例，的带通滤波器举例，Hg()如如表表7.1.1中情况中情况3所示。所示。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 情况情况4：h(n)=h(Nn1),N为偶数。为偶数。用情况用情况3的推导过程可以得到的推导过程可以得到:（7.1.13）式中，式中，N是偶数，是偶数，=(N1)/2=N/21/2。当当=0,2时，时，sin(n)=0，为过零点；，为过零点；当当=时，时，sin(n)=sin (n N/2)+/2=cos (n N/2)=(1)nN/2,为峰值点。为峰值点。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 由于由于sin(n)关于过零点关于过零点=0和和2两点奇对称，两点奇对称，关于峰值点关于峰值点=偶对称。因此偶对称。因此Hg()关于关于=0和和2两点奇两点奇对称，关于对称，关于=偶对称。情况偶对称。情况4不能实现低通和带阻滤波不能实现低通和带阻滤波器。器。故适用于故适用于高通高通，带通带通滤波器。滤波器。对对N=12的高通滤波器举例，的高通滤波器举例，Hg()如如表表7.1.1中情况中情况4所示。所示。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 4.线性相位线性相位FIR数字滤波器的零点分布特点数字滤波器的零点分布特点(了解了解)将将h(n)=h(N1n)代入上式代入上式,得到得到:（7.1.14）第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 由（由（7.1.14）式可以看出，如）式可以看出，如z=zi是是H(z)的零点，其倒的零点，其倒数数也必然是其零点；又因为也必然是其零点；又因为h(n)是实序列，是实序列，H(z)的零点必定共轭成对，因此也是其零点。的零点必定共轭成对，因此也是其零点。这样，线性相位这样，线性相位FIR滤波器零点必定是互为倒数的共滤波器零点必定是互为倒数的共轭对，确定其中一个，另外三个零点也就确定了轭对，确定其中一个，另外三个零点也就确定了,如如图图7.1.1中中。当然，也有一些特。当然，也有一些特殊情况，如图殊情况，如图7.1.1中中z1、z2和和z4情况。情况。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 图图7.1.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的零点分布数字滤波器的零点分布第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 7.2 利用窗函数法设计利用窗函数法设计FIR滤波器滤波器一、一、窗函数设计法原理窗函数设计法原理逼近方法有三种：逼近方法有三种：1、窗函数设计法窗函数设计法（时域逼近）（时域逼近）2、频率采样法频率采样法（频域逼近）（频域逼近）3、最优化设计最优化设计（等波纹逼近）（等波纹逼近）一般先给出为理想频率响应一般先给出为理想频率响应 ，现要，现要求设计一个求设计一个N点点()的的 FIR滤波器滤波器 去逼近去逼近 )(wjdeH第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 一、窗函数设计法原理一、窗函数设计法原理 理想理想单位脉冲单位脉冲响应响应hd(n)通过傅立叶反变换获得通过傅立叶反变换获得 一般来说，理想频率响应一般来说，理想频率响应 是是分段常数型分段常数型的，在边界频率处有突变点，所以，这样得到的理的，在边界频率处有突变点，所以，这样得到的理想单位脉冲响应想单位脉冲响应hd(n)一定是无限长序列，而且是非一定是无限长序列，而且是非因果的。因果的。而能实现的而能实现的h(n)只能是只能是因果的、有限长序列因果的、有限长序列。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 一、窗函数设计法原理一、窗函数设计法原理怎样用一个有限长序列怎样用一个有限长序列h(n)来逼近无限长的来逼近无限长的hd(n)？最简单的办法是直接截取一段最简单的办法是直接截取一段 hd(n)代替代替 h(n)。这种截取。这种截取可以形象地想象为可以形象地想象为h(n)是是通过一个通过一个“窗口窗口”看到一段看到一段hd(n)因此因此，h(n)也可表示为也可表示为hd(n)和一个和一个“窗函数窗函数”的乘积的乘积即即 式中窗函数式中窗函数w(n)就是矩形脉冲函数就是矩形脉冲函数RN(n)，为了改善设计滤波，为了改善设计滤波器的特性，窗函数还可以有其它的形式。器的特性，窗函数还可以有其它的形式。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 一、窗函数设计法原理一、窗函数设计法原理 窗函数设计法是从单位冲激响应着手，使窗函数设计法是从单位冲激响应着手，使h(n)逼近理想的单位冲激响应序列逼近理想的单位冲激响应序列hd(n)如果窗函数如果窗函数w(n)的序列值的序列值1，则在，则在0nN-1内，内，对对hd(n)作一定的调整（加权处理）作一定的调整（加权处理）。w(n)是引起时域误差和频域误差的根本原因，因是引起时域误差和频域误差的根本原因，因此，此，窗函数窗函数w(n)序列的序列的形状形状和和长度长度是非常关键的选择。是非常关键的选择。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 已知理想频率响应已知理想频率响应 ，求，求hd(n)。（4）若不满足，则重新选择窗函数设计。）若不满足，则重新选择窗函数设计。一、窗函数设计法原理一、窗函数设计法原理第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 二、矩形窗函数设计方法二、矩形窗函数设计方法 下面以一个截止频率为下面以一个截止频率为 c的的线性相位理想低通线性相位理想低通滤波器滤波器为例，讨论为例，讨论FIR的设计问题。的设计问题。给定的理想低通滤波器为给定的理想低通滤波器为 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 下面是滤波器的理想频率特性下面是滤波器的理想频率特性二、矩形窗函数设计方法二、矩形窗函数设计方法第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 第一步：，计算第一步：，计算hd(n)二、矩形窗函数设计方法二、矩形窗函数设计方法第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 理想低通的理想低通的hd(n)二、矩形窗函数设计方法二、矩形窗函数设计方法第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 hd(n)是一个以是一个以中心中心的的偶对称偶对称的的无限长非因果无限长非因果序列序列，如果截取一段，如果截取一段n=0N-1的的hd(n)作为作为h(n)，则为保证所得到的是线性相位，则为保证所得到的是线性相位FIR滤波器，延滤波器，延时时应怎样选择？应怎样选择？为为h(n)长度长度N的一半的一半,即即第二步：用窗函数截取第二步：用窗函数截取hd(n)二、矩形窗函数设计方法二、矩形窗函数设计方法第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 第三步，检验求第三步，检验求hd(n)的频率特性的频率特性二、矩形窗函数设计方法二、矩形窗函数设计方法第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 二、矩形窗函数设计方法二、矩形窗函数设计方法其线性相位部分其线性相位部分 表示延时一半长度表示延时一半长度用幅度函数和相位函数来表示，则有用幅度函数和相位函数来表示，则有第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 对频率响应起作用的是它的幅度函数对频率响应起作用的是它的幅度函数主瓣宽度主瓣宽度二、矩形窗函数设计方法二、矩形窗函数设计方法第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 将将Hd(ej)和和WR(ej)代入（代入（7.2.4）式，得到）式，得到：（7.2.6）将将H(ej)写成写成H(ej)=Hg()ej ，则，则理想低通滤波器的幅度特性函数（如图理想低通滤波器的幅度特性函数（如图7.2.3（a）所示）为）所示）为该式说明加窗后的滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的幅度特该式说明加窗后的滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的幅度特性性Hdg()与矩形窗幅度特性与矩形窗幅度特性WRg()的卷积。的卷积。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 图图7.2.3 矩形窗加窗效应矩形窗加窗效应=0时：=c时：=c-2/N时 正峰=c+2/N时 负峰 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 综上所述：加窗对理想矩形频率响应产生以下影响综上所述：加窗对理想矩形频率响应产生以下影响-吉布斯效应吉布斯效应（1）在理想特性不连续点）在理想特性不连续点=c附近形成过渡附近形成过渡带。过渡带的宽度，近似等于带。过渡带的宽度，近似等于RN()主瓣宽度主瓣宽度（实际的过渡带要小），即（实际的过渡带要小），即4/N。其震荡的幅值取决于旁瓣的相对幅度，而震荡的多少取决于旁瓣的多少。其震荡的幅值取决于旁瓣的相对幅度，而震荡的多少取决于旁瓣的多少。窗谱肩峰及其波动的存在影响了滤波器通带内的平稳性，影响了阻带的衰减。窗谱肩峰及其波动的存在影响了滤波器通带内的平稳性，影响了阻带的衰减。wc01/210.08950.0468-0.08950.0468w(2)通带内产生了波纹，最大的峰值在通带内产生了波纹，最大的峰值在c-2/N处。阻带内产生了余振，最大处。阻带内产生了余振，最大的负峰在的负峰在c+2/N处处。窗函数的频率特性使窗函数的频率特性使矩形频率响应矩形频率响应产生带产生带内和带外内和带外波动波动。在。在 (在过在过渡带的两侧渡带的两侧)波动最大，约为波动最大，约为8.95%，与，与N无关，称为无关，称为吉布斯效应吉布斯效应。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计（3）在主瓣附近，按照前面分析，）在主瓣附近，按照前面分析，可近似为可近似为 增加增加N，只能改变窗谱的主瓣宽度只能改变窗谱的主瓣宽度、坐标的比例、坐标的比例、WRg()的的绝对值大小等内容，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例绝对值大小等内容，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例，这个相，这个相对比例由窗函数的形状决定。对比例由窗函数的形状决定。因而，当截取长度因而，当截取长度N增加时，只会减小过渡带宽增加时，只会减小过渡带宽(4/N)，即增加，即增加N只能使通、阻带内振荡加快，但相对振荡幅度却不减小，而不会只能使通、阻带内振荡加快，但相对振荡幅度却不减小，而不会改变肩蜂的相对值，这也意味着所有的波动集中在带的边沿。改变肩蜂的相对值，这也意味着所有的波动集中在带的边沿。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 图7.2.4 矩形窗函数长度的影响第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 1.尽可能减少主瓣宽度，尽可能减少主瓣宽度，以使过渡带尽量陡以使过渡带尽量陡；窗函数的选择对吉布斯效应会产生影响窗函数的选择对吉布斯效应会产生影响窗函数的选择对吉布斯效应会产生影响窗函数的选择对吉布斯效应会产生影响，分析分析分析分析窗函数的选取原则：窗函数的选取原则：2.2.旁瓣相对于主瓣越小越好，这样可使肩峰和波动减旁瓣相对于主瓣越小越好，这样可使肩峰和波动减 小，即能量尽可能集中于主瓣内。小，即能量尽可能集中于主瓣内。调整窗口调整窗口长度长度N只能有效地控制过渡带的宽度，而要减少带内只能有效地控制过渡带的宽度，而要减少带内波动以及增大阻带衰减，只能从窗函数的波动以及增大阻带衰减，只能从窗函数的形状形状上找解决问题上找解决问题的方法。的方法。旁瓣的减小可使通带、阻带波动减小，从而加大阻带衰减。旁瓣的减小可使通带、阻带波动减小，从而加大阻带衰减。但这样总是以加宽过渡带为代价的。但这样总是以加宽过渡带为代价的。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 三、各种窗函数三、各种窗函数（1）矩形窗矩形窗为了描述方便，定义窗函数的几个参数为了描述方便，定义窗函数的几个参数:旁瓣峰值旁瓣峰值 n窗函数的幅频函数窗函数的幅频函数|Wg()|的最大旁瓣的最大值相对主瓣最大值的衰减值的最大旁瓣的最大值相对主瓣最大值的衰减值（dB）；）；过渡带宽度过渡带宽度Bg用该窗函数设计的用该窗函数设计的FIR数字滤波器（数字滤波器（FIRDF）的过渡带宽度；）的过渡带宽度；阻带最小衰减阻带最小衰减 s用该窗函数设计的用该窗函数设计的FIRDF的阻带最小衰减。的阻带最小衰减。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 2巴特列特（巴特列特（Bartlett）窗（又称三角形窗）窗（又称三角形窗）其幅度函数为其幅度函数为三、各种窗函数三、各种窗函数第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 3 汉宁（汉宁（Hanning）窗）窗升余弦窗升余弦窗三、各种窗函数三、各种窗函数汉宁窗的幅度函数汉宁窗的幅度函数WHng()由三部分相加，旁瓣互相由三部分相加，旁瓣互相对消，使能量更集中在主瓣中对消，使能量更集中在主瓣中。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 4 哈明（哈明（Hamming）窗）窗改进的升余弦窗改进的升余弦窗 其幅度函数其幅度函数WHmg()为为三、各种窗函数三、各种窗函数这种改进的升余弦窗，能量更加集中在主瓣中，主瓣的这种改进的升余弦窗，能量更加集中在主瓣中，主瓣的能量约占能量约占99.96%，瓣峰值幅度为，瓣峰值幅度为40 dB，但其主瓣宽度和，但其主瓣宽度和汉宁窗的相同，仍为汉宁窗的相同，仍为8/N。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 6种窗函数的基本参数种窗函数的基本参数 三、各种窗函数三、各种窗函数第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 四、窗函数法设计四、窗函数法设计FIR滤波器的步骤滤波器的步骤(1)根据对过渡带及阻带衰减的指标要求，选择窗根据对过渡带及阻带衰减的指标要求，选择窗函数的类型，并估计窗口长度函数的类型，并估计窗口长度N。(2)构造希望逼近的频率响应函数构造希望逼近的频率响应函数Hd(ej)(3)计算计算hd(n)(4)加窗得到设计结果：加窗得到设计结果：h(n)=hd(n)w(n)。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 四、窗函数法设计四、窗函数法设计FIR滤波器的步骤滤波器的步骤(1)根据对过渡带及阻带衰减的指标要求，选择窗根据对过渡带及阻带衰减的指标要求，选择窗函数的类型，并估计窗口长度函数的类型，并估计窗口长度N。(2)先按照阻带衰减选择窗函数类型。原则是先按照阻带衰减选择窗函数类型。原则是在保证阻带衰减满足要求的情况下，尽量选择在保证阻带衰减满足要求的情况下，尽量选择主瓣窄的窗函数。主瓣窄的窗函数。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计(2)构造希望逼近的频率响应函数构造希望逼近的频率响应函数Hd(ej)，即，即 对所谓的对所谓的“标准窗函数法标准窗函数法”，就是选择，就是选择Hd(ej)为线性相为线性相位理想滤波器（理想低通、理想高通、理想带通、理想带位理想滤波器（理想低通、理想高通、理想带通、理想带阻）。以低通滤波器为例，阻）。以低通滤波器为例，Hdg()应满足：应满足：（7.2.19）第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 四、窗函数法设计四、窗函数法设计FIR滤波器的步骤滤波器的步骤(3)计算计算hd(n)第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 如果如果Hd(ej)较复杂，或者不能用封闭公式表示，则不较复杂，或者不能用封闭公式表示，则不能用上式求出能用上式求出hd(n)。我们可以对。我们可以对Hd(ej)从从=0到到=2采样采样M点，采样值为点，采样值为，k=0,1,2,M1，进行，进行M点点IDFT(IFFT)，得到：，得到：（7.2.22）根据频域采样理论，根据频域采样理论，hdM(n)与与hd(n)应满足如下关系：应满足如下关系：第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 因此，如果因此，如果M选得较大，可以保证在窗口内选得较大，可以保证在窗口内hdM(n)有有效逼近效逼近hd(n)。对（对（7.2.19）式给出的线性相位理想低通滤波器）式给出的线性相位理想低通滤波器作为作为Hd(ej)，由（，由（7.2.2）式求出单位脉冲响应）式求出单位脉冲响应hd(n)：为保证线性相位特性，为保证线性相位特性，=(N1)/2。(4)加窗得到设计结果：加窗得到设计结果：h(n)=hd(n)w(n)。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 例例1、用窗函数法设计线性相位高通用窗函数法设计线性相位高通FIRDF，要求通带截止频，要求通带截止频率率p=/2 rad，阻带截止频率，阻带截止频率s=/4 rad，通带最大衰减，通带最大衰减 p=1 dB，阻带最小衰减，阻带最小衰减 s=40 dB。解解（1）选择窗函数选择窗函数w(n)，计算窗函数长度，计算窗函数长度N。已知阻带最小衰减已知阻带最小衰减 s=40 dB，由表可知汉宁窗和哈明窗均满，由表可知汉宁窗和哈明窗均满足要求，选择汉宁窗。足要求，选择汉宁窗。过渡带宽度过渡带宽度Btps=/4，汉宁窗的精确过渡带宽度汉宁窗的精确过渡带宽度Bt=6.2/N，所以要求，所以要求Bt=6.2/N/4，解之得，解之得N24.8。对高。对高通滤波器通滤波器N必须取奇数，取必须取奇数，取N=25,则则例题例题第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计（2）构造Hd(ej):式中例题例题第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计（3）求出求出hd(n):将将=12代入得代入得 例题例题第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计(n12)对应全通滤波器，是截止频率对应全通滤波器，是截止频率为为3/8的理想低通滤波器的单位脉冲响应，二者之差的理想低通滤波器的单位脉冲响应，二者之差就是理想高通滤波器的单位脉冲响应。这就是求理想就是理想高通滤波器的单位脉冲响应。这就是求理想高通滤波器的单位脉冲响应的另一个公式。高通滤波器的单位脉冲响应的另一个公式。（4）加窗加窗:第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 利用频率采样法设计利用频率采样法设计FIRFIR窗函数设计法是从时域出发窗函数设计法是从时域出发窗函数设计法是从时域出发窗函数设计法是从时域出发频率采样法是从频域出发频率采样法是从频域出发频率采样法是从频域出发频率采样法是从频域出发 第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 下面讨论两个问题：下面讨论两个问题：一个是为了设计线性相位一个是为了设计线性相位FIRFIR滤波器，滤波器，频域采样序列频域采样序列H Hd d(k k)应满足的条件；应满足的条件；另一个是逼近误差问题及其改进措施。另一个是逼近误差问题及其改进措施。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计直接型直接型结构结构频率频率采样型采样型77有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计实现线性相位实现线性相位H Hd d(k(k)应满足的条件应满足的条件1.1.1.1.以以以以h(nh(nh(nh(n)为偶对称，为偶对称，为偶对称，为偶对称，N N N N为奇数的情况进行分析：为奇数的情况进行分析：为奇数的情况进行分析：为奇数的情况进行分析：采样后也具有线性相位：采样后也具有线性相位：采样后也具有线性相位：采样后也具有线性相位：78有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计实现线性相位实现线性相位H Hd d(k(k)应满足的条件应满足的条件2.2.2.2.以以以以h(nh(nh(nh(n)为偶对称，为偶对称，为偶对称，为偶对称，N N N N为偶数的情况进行分析：为偶数的情况进行分析：为偶数的情况进行分析：为偶数的情况进行分析：采样后也具有线性相位：采样后也具有线性相位：采样后也具有线性相位：采样后也具有线性相位：第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 设用理想低通作为希望逼近的滤波器设用理想低通作为希望逼近的滤波器Hd(ej)，截止，截止频率为频率为c，采样点数为，采样点数为N，Hg(k)和和(k)用下列公式计算：用下列公式计算：N=奇数时，奇数时，（7.3.13）第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 上面公式中的上面公式中的k kc c是通带内最后一个采样点的序号，所以是通带内最后一个采样点的序号，所以k kc c的值取不大于的值取不大于c cN N/(2)/(2)的最大整数。另外，对的最大整数。另外，对于高通和带阻滤波器，这里于高通和带阻滤波器，这里N N只能取奇数。只能取奇数。（7.3.14）N=偶数时，偶数时，第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 3 逼近误差及其改进措施逼近误差及其改进措施如果待逼近的滤波器为如果待逼近的滤波器为H Hd d(e(ej j)，对应的单位脉冲响，对应的单位脉冲响应为应为h hd d(n n)，则由频率域采样定理知道，在频域，则由频率域采样定理知道，在频域0 0 22范围范围等间隔采样等间隔采样N N点，利用点，利用IDFTIDFT得到的得到的h h(n n)应是应是h hd d(n n)以以N N为周为周期的周期延拓的主值区序列，即期的周期延拓的主值区序列，即误差来源：误差来源：如果如果H Hd d(e(ej j)有间断点，那么相应的单位脉有间断点，那么相应的单位脉冲响应冲响应h hd d(n n)应是无限长的。这样，应是无限长的。这样，由于时域混叠及截断，由于时域混叠及截断，使使h h(n n)与与h hd d(n n)有偏差。有偏差。所以，频域的采样点数所以，频域的采样点数N N愈大，时愈大，时域混叠愈小，设计出的滤波器频响特性愈逼近域混叠愈小，设计出的滤波器频响特性愈逼近H Hd d(e(ej j)。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 频域采样定理表明，频率域等间隔采样频域采样定理表明，频率域等间隔采样H(k)，经过，经过IDFT得到得到h(n)，而，而H(ej)=FTh(n)的内插表示形式：的内插表示形式：式中式中第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 上式表明：上式表明：1 1）在采样频点，）在采样频点，k k=2=2k k/N N,k k=0=0，1 1，2 2，N N1,1,(22k k/N N)=1)=1，因此，因此采样点处采样点处 与与H H(k k)相等，逼近误差为相等，逼近误差为0 0。2 2）在采样点之间，由在采样点之间，由N N项项H H(k k)(22k k/N N)之之和形成。和形成。频域幅度采样序列频域幅度采样序列H Hg g(k k)及其内插波形及其内插波形H Hg g()如如图图7.3.17.3.1所示。所示。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 图图7.3.1 频域幅度采样序列频域幅度采样序列Hg(k)及其内插波形及其内插波形Hg()Hdg()特性愈平滑特性愈平滑的区域，误差愈小；的区域，误差愈小；特性曲线间断点处，特性曲线间断点处，误差最大。误差最大。实线实线Hg(）与）与虚线虚线dg()有有误差误差实线表示理想幅实线表示理想幅度函数度函数Hdg(),黑黑点表示幅度采样点表示幅度采样序列序列Hg(k);第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 增加增加N N可以使过渡带变窄，但是通带最大衰减和阻带最可以使过渡带变窄，但是通带最大衰减和阻带最小衰减随小衰减随N N的增大并无明显改善。的增大并无明显改善。且且N N太大，会增加滤波器太大，会增加滤波器的阶数，即增加了运算量和成本。的阶数，即增加了运算量和成本。N N=15=15和和N N=75=75两种情况下的幅度内插波形两种情况下的幅度内插波形H Hg g()如图如图7.3.27.3.2所示所示.误差表现形式为：误差表现形式为：间断点变成倾斜下降的过渡间断点变成倾斜下降的过渡带曲线，过渡带宽度近似为带曲线，过渡带宽度近似为2/2/N N。通带和阻带内。通带和阻带内产生震荡波纹，且间断点附近振荡幅度最大，使产生震荡波纹，且间断点附近振荡幅度最大，使阻带衰减减小，往往不能满足技术要求。阻带衰减减小，往往不能满足技术要求。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 图图7.3.2 N=15和和N=75的幅度内插波形的幅度内插波形Hg()N=75N=15第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 在窗函数设计法中，通过加大过渡带宽度换取在窗函数设计法中，通过加大过渡带宽度换取阻带衰减的增加。频率采样法同样满足这一规律。阻带衰减的增加。频率采样法同样满足这一规律。提高阻带衰减的具体方法：提高阻带衰减的具体方法：是在频响间断点附是在频响间断点附近区间内插一个或几个过渡采样点，使不连续点变近区间内插一个或几个过渡采样点，使不连续点变成缓慢过渡带，成缓慢过渡带，这样，虽然加大了过渡带，但阻带这样，虽然加大了过渡带，但阻带中相邻内插函数的旁瓣正负对消，明显增大了阻带中相邻内插函数的旁瓣正负对消，明显增大了阻带衰减。衰减。第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 图7.3.1 理想低通滤波器增加过渡点 1、在采样点、在采样点k=2k/N处处2、在采样点之间则由公式求、在采样点之间则由公式求得得3、间断点处误差最大，使阻、间断点处误差最大，使阻带衰减变