钢结构稳定理论2.pptx
2-2 理想轴压杆的弹性屈曲(perfect columns)(perfect columns)1）理想轴压杆的欧拉临界力Euler critical load基本假设：v同一材料制成的等截面直杆，两端铰接；v荷载作用在截面形心上；v平截面假定，仅考虑弯曲变形（忽略剪切变形）；v材料为弹性；v构件变形非常微小（小挠度理论 ）。第1页/共91页则力矩平衡方程为：为二阶齐次常微分方程该微分方程的通解为：A,B为待定系数，由边界条件确定第2页/共91页否则方程的解为0，没有意义。即由此可得临界力公式为：与之对应的挠曲线为：第3页/共91页v参数kn或Pcrn在数学上称为固有值、本征值或特征值(eigenvalue)。v在参数取特征值时，方程有非0解，所以数学上也叫求解特征值问题。轴向压力横向挠度最低的临界力即为欧拉临界力第4页/共91页2）边界效应与计算长度的概念 (boundary conditions and effective length concept)（求解两端为任意支承情况时的临界力）PQMBMAPQMAPQPQMxxyy任意一截面弯矩(对A点取矩)：弯矩与曲率的关系则有二阶常系数微分方程：其中：第5页/共91页则方程的通解为：其中A、B、C、D为四个由边界条件确定的待定系数。对通解求导，可得其各阶导数：各种支承情况的边界条件为：铰支：固支：自由端：剪力Q0，由前面的微分方程得：再求一次导数得：杆件两端各有两个边界条件，共四个，正好形成四个方程第6页/共91页v工况一：两端嵌固轴心压杆有：为使关于A、B、C、D的齐次方程组有非0解，则其系数行列式应为0。第7页/共91页则：因此有：由第一式得：第二式为超越方程，需采用数值解法或图解法 在坐标系中分别画出曲线 和 ，其交点即为方程的解。第8页/共91页取最小值得：结合上述两个方程的解，取小值，得两端嵌固杆的临界力为：第9页/共91页v工况二：一端铰接、一端嵌固的轴心压杆有：第10页/共91页采用图形曲线法得：第11页/共91页v工况三：一端嵌固、一端自由的轴心压杆有：第12页/共91页第13页/共91页v工况四：一端嵌固、另一端侧向可动但不转动的轴心压杆有：第14页/共91页第15页/共91页v工况五：一端铰支、一端侧向可动但不转动的轴心压杆有：第16页/共91页注：从上述五种工况的结果可以看出，临界力Pcr可表达为：l0有效长度、或计算长度；l实际杆长；杆件计算长度系数。第17页/共91页第18页/共91页临界应力：其中：屈曲临界应力与长细比的关系：超过屈服点fy时以虚线表示第19页/共91页2-3 轴心受压构件的大挠度理论1）大挠度方程基本假设：v同一材料制成的等截面两端铰接直杆；v荷载作用在截面形心上；v平截面假定，仅考虑弯曲变形；v材料为弹性；v构件曲率与变形的关系：因此大挠度方程为：与小挠度理论相同第20页/共91页2）大挠度理论的解 应采用特殊的变换和数值解法才能求解。（大多数非齐次微分方程都没有解析解）可以得到大挠度理论轴心受压构件的荷载挠度曲线第21页/共91页第22页/共91页3）几点结论v当P比例极限p时，欧拉公式不再适用。因为前面推导时用到了 ，E为弹性模量，应该是不变的；而弹塑性阶段时模量将发生变化。第24页/共91页v临界长细比（为弹性失稳和弹塑性失稳的分界点）若令：第25页/共91页v轴心压杆弹塑性失稳的计算理论 切线模量理论，1889，Engesser.F,Et 双模量理论，1895，Engesser.F,EtErE Shanley理论，1946，Shanley.F.R,广泛用于解决稳 定的分岔失稳问题，或板的非弹性屈曲。Shanley证明：切线模量屈曲荷载是弹塑性屈曲荷载的下限，而双模量屈曲荷载为其上限。实际试验结果更接近于切线模量理论。第26页/共91页2）切线模量理论 Tangent Modulus Theory,1889年Engesser提出v基本假设构件是挺直的；构件两端铰接，荷载沿构件轴线作用；构件的弯曲变形很微小；弯曲前的平截面在弯曲后仍为平面；在弯曲时全截面没有出现反号应变。第27页/共91页第28页/共91页最后一条假设认为：达到弹塑性失稳荷载Pt后，构件微弯时荷载还略有增加，而且增加的平均轴向应力正好抵消因弯曲而在11截面右侧边缘产生的拉应力。即：凹面压应力增加为max；凸面压应力增加量正好为0。作用于11截面上的压力为：第29页/共91页作用于11截面上的内力矩为：全截面对形心轴的面积矩为0第30页/共91页任意截面i上的内力（弯矩和轴力）对原点的平衡方程为：代入前面推导得到的轴力和弯矩，则求解微分方程，得：其中Pt和Et均为未知，需要迭代求解。第31页/共91页3）双模量理论 Double Modulus Theory,1895年Engesser提出v补充基本假设上述假设最后一条变为：弯曲时凹面产生正号应变，凸面产生负号应变；即凹面为继续加载区，凸面为卸载区。v 加载区变形模量为Et（它与截面平均应力r相对应）；卸载区变形模量为E 弯曲轴远离形心轴向移动第32页/共91页第33页/共91页v 在加载区距弯曲轴z1处：v在卸载区距弯曲轴z2处：第34页/共91页v 1-1截面上的压力：认为由上式可以求出中性轴的位置第35页/共91页v 1-1截面上的内力矩：第36页/共91页任意截面i上的内力（弯矩和轴力）对原点的平衡方程为：代入前面推导得到的轴力和弯矩，则求解微分方程，得：其中 为折算模量。第37页/共91页注：若求 ,故需反复迭代计算；对于矩形截面 对于工字形截面腹板很薄时，绕强轴的Pt小于Pr，曾认为双模量理论更为完善，但研究表明Pt更接近试验结果。原因是：非理想轴心压杆都存在微小缺陷，屈曲时弯曲凸面不出现反号应变。第38页/共91页4）Shanley理论 1946年v使用由三部分组成的力学模型：两根l/2长的刚性杆和中间连接的弹塑性铰；v弹塑性变形全部集中在弹塑性铰处发生；v铰的应力应变关系为双折线；第39页/共91页v铰模型如图，铰的弹性模量为E，切线模量为Et，铰的肢长为h，肢距h，每肢面积为A/2；v当P达到临界时，由直杆变为微弯，引起铰的左右肢杆应变为1和2，两肢变形如图；v构件挠度为第40页/共91页v铰链处外力矩：v铰链处内力矩：v若弯曲凹面和凸面的变形模量为E1和E2，则v所以内力矩第41页/共91页v由内外力矩平衡，即相等得：v讨论如下：当构件发生弹性屈曲时，E1E2E，则：当构件在弹塑性状态屈曲时，并采用切线模量理论时，E1E2Et，则与切线模量理论结果一致第42页/共91页当构件在弹塑性状态屈曲时，并采用双模量理论时：E1Et，E2E。因为 则：其中：是Shanley模型的折算模量。经比较可知EtErE，因此PtPrPE；与双模量理论结果一致第43页/共91页Shanley模型柱屈曲后性能研究。前提是建立荷载P与挠度d之间的关系。令：,并利用前面的 代入(a)式得：(b)下面想办法消去2。考虑到模型达到Pt后荷载仍在继续增加，因此 (c)第44页/共91页由(b)(c)两式得：分析如下：i.d0时，P=Pt，这是分岔屈曲荷载。切线模量屈曲荷载Pt是弹塑性屈曲荷载的下限。ii.d时，由于 说明双模量理论屈曲荷载为上限。第45页/共91页iii.当d为有限值时，PtP，即 这也是1907年魁北克大桥倒塌的原因(弦杆缀条太弱)。当=3050时，sin cos2 0.36，则v讨论第83页/共91页4）双肢缀板柱v剪力Q引起的位移单肢水平位移第84页/共91页v柱肢的水平变形：一般缀板刚度要求大于柱肢刚度的6倍以上，所以b可以忽略。v单位剪切角v换算长细比第85页/共91页其中 为单肢长细比。第86页/共91页1）钢结构设计规范法v以构件极限荷载为准则的设计方法v允许部分截面发展塑性2-7 轴心压杆的实用设计方法其中 为轴心受压柱的稳定系数；为钢材强度设计值（按厚度分为三组）；为材料抗力分项系数(近似概率法,95保证率,1.087,1.111)第87页/共91页v规范采用稳定名义应力的表达形式且根据柱缺陷的不同，把柱子分为a、b、c、d四类，根据不同的稳定系数曲线加以确定。初始缺陷包括初弯曲（初偏心）和十四种不同模式的残余应力等。第88页/共91页第89页/共91页2）冷弯薄壁型钢规范法v采用边缘屈服的Perry公式；v取l/1000的初弯曲；v只有一条柱子曲线；v稳定系数由边缘纤维屈服时的平均应力与钢材屈服强度的比值确定：v构件稳定设计公式采用统一形式：第90页/共91页感谢您的观看。第91页/共91页
