数值分析插值法.pptx
x0 x1x2x3x4xP(x)f(x)f(x)y=f(x)P(x),使得P(xi)=f(xi)=yi (i=0,1,.,n)其它点P(x)f(x)=y第1页/共91页2.1.1 插值问题设y=f(x)是区间a,b 上的一个实函数,xi(i=0,1,.,n)是a,b上n+1个互异实数,已知y=f(x)在xi 的值 yi=f(xi)(i=0,1,.,n),求一个次数不超过n的多项式Pn(x)使其满足Pn(xi)=yi (i=0,1,.,n)(5-1)这就是多项式插值问题.2.1 引言引言第2页/共91页其中Pn(x)称为f(x)的n次插值多项式,f(x)称为被插函数,xi(i=0,1,.,n)称为插值节点,(xi,yi)(i=0,1,n)称为插值点,a,b称为插值区间,式(5-1)称为插值条件。从几何意义来看,上述问题就是要求一条多项式曲线y=Pn(x),使它通过已知的n+1个点(xi,yi)(i=0,1,n),并用Pn(x)近似表示f(x).第3页/共91页即 P(x)=a0+a1x+a2x2+.+anxn其中ai为实数，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值，若P(x)为分段的多项式，就称为分段插值，若P(x)为三角多项式,就称为三角插值，本章只讨论插值多项式与分段插值。本章主要研究如何求出插值多项式，分段插值函数，样条插值函数；讨论插值多项式P(x)的存在唯一性、收敛些及误差估计等。第4页/共91页定理1设节点xi(i=0,1,n)互异,则满足插值条件Pn(xi)=yi (i=0,1,.,n)的次数不超过n的多项式存在且唯一.证设所求的插值多项式为 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+.+anxn (5-2)则由插值条件式Pn(xi)=yi (i=0,1,.,n)可得关于系数a0,a1,an的线性代数方程组2.1.2插值多项式的存在性和唯一性第5页/共91页此方程组有n+1个方程,n+1个未知数,其系数行列式是范德蒙(Vandermonde)行列式：（5-3）由克莱姆法则知方程组(5-3)的解存在唯一.证毕。第6页/共91页考虑最简单、最基本的插值问题.求n次插值多项式l i(x)(i=0,1,n),使其满足插值条件2.2.1基函数可知,除xi点外,其余都是li(x)的零点,故可设Lagrange法1736-18132.2 拉格朗日插值拉格朗日插值第7页/共91页其中A为常数,由li(xi)=1可得称之为拉格朗日基函数,都是n次多项式。第8页/共91页n=1时的一次基函数为:y1 Ox y1O x第9页/共91页即已知函数 f(x)在点x0和x1点的函数值 y0=f(x0)，y1=f(x1).求线性函数 L(x)=a0+a1x使满足条件：L(x0)=y0,L(x1)=y1.此为两点线性插值问题第10页/共91页或用直线的两点式表示为：插值基函数的特点：x0 x1l010l1011x0 x1l0l1记第11页/共91页n=2时的二次基函数为:第12页/共91页可知其满足2.2.2拉格朗日插值多项式利用拉格朗日基函数l i(x),构造次数不超过n的多项式称为拉格朗日插值多项式,再由插值多项式的唯一性,得特别地,当n=1时又叫线性插值,其几何意义为过两点的直线.当n=2时又叫抛物（线）插值,其几何意义为过三点的抛物线.第13页/共91页注意:(1)对于插值节点,只要求它们互异,与大小次序无关;以xi(i=0,1,n)为插值节点,函数f(x)1作插值多项式,由插值多项式的唯一性即得基函数的一个性质(2)插值基函数l i(x)仅由插值节点xi(i=0,1,n)确定,与被插函数 f(x)无关;(3)插值基函数l i(x)的顺序与插值节点xi(i=0,1,n)的顺序一致.第14页/共91页这是因为若取(x)=xk(k=0,1,n),由插值多项式的唯一性有特别当k=0时,就得到第15页/共91页所以例1已知用线性插值(即一次插值多项式)求的近似值。基函数分别为:解插值多项式为()第16页/共91页例2求过点(-1,-2),(1,0),(3,-6),(4,3)的抛物线插值(即三次插值多项式).解以以为节点的基函数分别为:第17页/共91页则拉格朗日的三次插值多项式为第18页/共91页截断误差Rn(x)=f(x)-Ln(x)也称为n次Lagrange插值多项式的余项。以下为拉格朗日余项定理。定理2设f(x)在区间a,b上存在n+1阶导数,xia,b(i=0,1,n)为n+1个互异节点,则对任何xa,b,有2.2.3插值余项且与x有关)第19页/共91页证由插值条件和n+1(x)的定义,当x=xk时,式子显然成立,并且有n+1(xk)=0(k=0,1,n),这表明x0,x1,xn都是函数n+1(x)的零点,从而n+1(x)可表示为其中K(x)是待定函数。对于任意固定的xa,b,xxk,构造自变量t 的辅助函数第20页/共91页由式n+1(xk)=0和式Ln(xk)=yk(k=0,1,n),以及可知：x0,x1,xn和x 是(t)在区间a,b上的n+2个互异零点,因此根据罗尔(Rolle)定理,至少存在一点=(x)(a,b),使即所以第21页/共91页一般来说,外推比内插效果差,在估计误差时下列不等式很有用。第22页/共91页的抛物插值多项式,且计算f(3)的近似值并估计误差。例3设解插值多项式为第23页/共91页因为故于是另见书p29的例1.第24页/共91页用二次插值计算ln11.25的近似值,并估计误差.例4给定函数表x10111213lnx 2.302585 2.3978952.484907 2.564949解 取节点x0=10,x1=11,x2=12,作二次插值有ln11.25L2(11.25)第25页/共91页在区间10,12上lnx 的三阶导数的上限M3=0.002,可得误差估计式实际上,ln11.25=2.420368,|R2(11.25)|=0.000058.第26页/共91页2.3.1均差及其基本性质定义1称为f(x)在x0、x1点的一阶均差.一阶均差的均差(差商)称为函数f(x)在x0、x1、x2点的二阶均差.英1642-17272.3 均差与牛顿插值公式均差与牛顿插值公式第27页/共91页一般地，n-1阶均差的均差 称为f(x)在x0,x1,xn点的n 阶均差。差商的计算步骤与结果可列成均差表，如下 一般f(xi)称为f(x)在xi点的零阶均差，记作fxi。第28页/共91页xk函数值函数值一阶均差一阶均差二阶均差二阶均差三阶均差三阶均差.x0 x1 x2 x3.f(x0)f(x1)f(x2)f(x3).f x0,x1 f x1,x2 f x2,x3 .f x0,x1,x2 f x1,x2,x3 .f x0,x1,x2,x3.表5-1（均差表）第29页/共91页给出节点x0,x1,xn和函数值(x0),(x1),(xn),可按如下的差商表顺序逐次计算各阶差商值.xi(xi)一阶一阶差商差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商n阶差商阶差商x0 x1x2x3 xn(x0)(x1)(x2)(x3)(xn)x0,x1x1,x2x2,x3 xn-1,xnx0,x1,x2x1,x2,x3 xn-2,xn-1,xnx0,x1,x2,x3 xn-3,xn-2,x2,x3 x0,x1,xn第30页/共91页这一性质可以用数学归纳法证明，它表明均差与节点的排列次序无关，即fx0,x1,x2,.,xn=fx1,x0,x2,.,xn=fx1,x2,.,xn,x0 性质1均差可以表示为函数值的线性组合，即称之为均差的对称性（也称为对称性质）。第31页/共91页性质2由性质1立刻得到或第32页/共91页性质3n次多项式f(x)的k阶差商,当kn时是一个n-k次多项式;当kn时恒等于0.性质4若f(x)在a,b上存在n阶导数,且节点x0,x1,xna,b,则至少存在一点a,b满足下式例1f(x)=6x8+7x510,求f 1,2,9及f 1,2,10.解f(8)(x)=68!,f 1,2,9=-6,f(9)(x)=0,f 1,2,10=0.第33页/共91页2.3.2牛顿插值多项式设x是a，b上一点，由一阶均差定义得同理，由二阶均差定义如此继续下去，可得一系列等式得得第34页/共91页依次把后式代入前式，最后得第35页/共91页其中第36页/共91页可见,Nn(x)为次数不超过n 的多项式,且易知Rn(xi)=0即Nn(xi)=yi,(i=0,1,n)满足插值条件,故其为插值问题的解,Nn(x)称为牛顿插值多项式。Rn(x)称为牛顿型插值余项。第37页/共91页由插值多项式的唯一性知，它与拉格朗日插值多项式是等价的,即Ln(x)Nn(x)且有如下递推形式和余项公式由此即得性质4。且第38页/共91页xk f(xk)一阶均差一阶均差 二阶均差二阶均差三阶均差三阶均差四阶均差四阶均差0.400.550.650.800.900.410750.578150.696750.888111.026521.11601.18601.27571.38410.28000.35880.43360.19700.21370.0344例1已知f(x)=shx的数表,求二次牛顿插值多项式,并由此计算f(0.596)的近似值。解由上表可得过前三点的二次牛顿插值多项式为第39页/共91页又可得过前四点的三次牛顿插值多项式故可得N3(x)的截断误差第40页/共91页设函数y=f(x)在等距节点xi=x0+ih(i=0,1,n)上的函数值为fi=f(xi)(h为步长)定义2fi=fi+1-fi 和fi=fi-fi-1分别称为函数f(x)在点xi处的一阶向前差分和一阶向后差分。一般地,f(x)在点xi 处的m 阶向前差分和m 阶向后差分分别为mfi=m-1fi+1-m-1fi 和mfi=m-1fi-m-1fi-12.4 差分与等距节点插值差分与等距节点插值2.4.1差分及其性质第41页/共91页函数值函数值一阶差分一阶差分二阶差分二阶差分三阶差分三阶差分四阶差分四阶差分.f(x0)f(x1)f(x2)f(x3)f(x4).f0(f1)f1(f2)f2(f3)f3(f4).2f0(2f2)2f1(2f3)2f2(2f4).3f0(3f3)3f1(3f4).4f0(4f4).构造差分表5-2第42页/共91页容易证明，差分有如下基本性质性质1各阶差分均可用函数值表示.即且有等式nfi=nfi+n.第43页/共91页性质3均差与差分的关系式为性质2函数值均可用各阶差分表示.即且有差分与微商的关系式为差分的其它性质参看本章p59习题8，9，10，11.第44页/共91页代入牛顿插值公式,可得称为牛顿向前插值公式，其余项为插值节点为xi=x0+ih(i=0,1,n),如果要计算x0附近点x 处的函数值f(x),可令x=x0+th(0tn)2.4.2等距节点差值公式第45页/共91页类似地,若计算xn 附近的函数值f(x),可令x=xn+th (-nt0)，可得牛顿向后插值公式及其余项第46页/共91页例2设y=f(x)=ex,xi=1,1.5,2,2.5,3,用三次插值多项式求f(1.2)及f(2.8)的近似值.解相应的函数值及差分表如下:xif(xi)一阶差分一阶差分二阶差分二阶差分三阶差分三阶差分 四阶差分四阶差分11.522.532.71828 4.481697.2890612.1824920.08554 1.76341 2.90347 4.793437.90305 1.14396 1.886063.10962 0.74210 1.223560.48146第47页/共91页求f(1.2)用牛顿前插公式,且由1.2=1+0.5t,得t=0.4xif(xi)一阶差分一阶差分二阶差分二阶差分三阶差分三阶差分 四阶差分四阶差分11.522.532.71828 4.481697.2890612.1824920.08554 1.76341 2.90347 4.793437.90305 1.14396 1.886063.10962 0.74210 1.223560.48146第48页/共91页求f(2.8)用牛顿后插公式,且由2.8=3+0.5t,得t=-0.4xif(xi)一阶差分一阶差分二阶差分二阶差分三阶差分三阶差分 四阶差分四阶差分11.522.532.71828 4.481697.2890612.1824920.08554 1.76341 2.90347 4.793437.90305 1.14396 1.886063.10962 0.74210 1.223560.48146求f(1.8)呢?第49页/共91页2.5.1三次埃尔米特插值多项式设y=f(x)是区间a,b上的实函数,x0,x1是a,b上相异两点,且x0 x1,y=f(x)在xi上的函数值和一阶导数值分别为yi=f(xi)(i=0,1)和mi=f(xi)(i=0,1),求三次多项式H3(x),使其满足：H3(x)称为三次埃尔米特插值多项式。法1822-19012.5 埃尔米特埃尔米特(Hermite)插值插值第50页/共91页构造三次埃尔米特插值多项式如下:定理3满足条件式的三次埃尔米特插值多项式存在且唯一。条条 件件函函 数数函数值函数值导数值导数值x0 x1x0 x1 0(x)1000 1(x)0100 0(x)0010 1(x)0001第51页/共91页由可将它写成第52页/共91页第53页/共91页即插值点的Lagrange一次基函数.第54页/共91页可得满足条件的三次埃尔米特插值多项式为第55页/共91页定理4设f(x)在包含x0、x1的区间a,b内存在四阶导数，则当xa,b时有余项设则当x(x0,x1)时,余项有如下估计式（误差限）2.5.2误差估计且与x有关)第56页/共91页例2已知f(x)=x1/2及其一阶导数的数据见下表,用埃尔米特插值公式计算1251/2的近似值,并估计其截断误差.x121144 f(x)1112 f(x)1/22 1/24解第57页/共91页得由可求得第58页/共91页2.6 分段低次插值分段低次插值先看下面的例子对(x)=(1+25x2)-1,在区间-1,1上取等距节点xi=-1+ih,i=0,1,10,h=0.2,作(x)关于节点xi(i=0,1,10)的10次插值多项式L10(x),如图所示第59页/共91页xyo1-10.511.5y=L10(x)这个现象被称为Runge现象.表明高次插值的不稳定性.实际上,很少采用高于7次的插值多项式.第60页/共91页2.6.1分段线性插值求一个分段函数P(x),使其满足:(1)P(xi)=yi (i=0,1,.,n);(2)在每个子区间xi，xi+1上是线性函数.称满足上述条件的函数P(x)为分段线性插值函数.第61页/共91页分别作线性插值得,在每个子区间xi，xi+1已知或第62页/共91页由线性插值的误差即得分段线性插值在区间xi,xi+1上的余项估计式为因此,在插值区间a,b上有余项第63页/共91页2.6.2分段抛物线插值(2)在每个子区间xi-1,xi+1上，L(x)是次数不超过2的多项式.称满足上述条件的函数L(x)为分段抛物线插值函数.(1)L(xi)=yi (i=0,1,.,n);对求一个分段函数L(x),使其满足:即将区间a,b分为小区间xi-1,xi+1(i=1,2,n)第64页/共91页2.6.3分段三次Hermite插值已知求一个分段函数H(x),使其满足:(2)在每个子区间xi,xi+1上，H(x)是次数不超过3的多项式.称满足上述条件的函数H(x)为分段三次Hermite插值函数.第65页/共91页或xi，xi+1上得在每个子区间由第66页/共91页分段三次埃尔米特插值在区间xi,xi+1上的余项估计式为因此，在插值区间a,b上有余项第67页/共91页例3构造函数f(x)=lnx在1x10上的数表,应如何选取步长h,才能使利用数表进行分段插值时误差不超过0.510-4。解欲使即进行分段线性插值时，应取h210-2，误差不超过0.510-4。第68页/共91页欲使即进行分段三次埃尔米特插值时,应取误差不超过0.510-4。第69页/共91页2.7.1问题的提出定义给定区间a,b的一个划分a=x0 x1xn=b，yi=f(xi)(i=0,1,n),如果函数S(x)满足：(1)S(xi)=yi(i=0,1,n);(2)在每个小区间xi,xi+1(i=0,1,.,n-1)上是次数不超过3的多项式;(3)在每个内节点xi(i=1,2,.,n-1)上具有二阶连续导数,则称 S(x)为关于上述划分的一个三次多项式样条 函数，简称三次样条。2.7 三次样条插值三次样条插值第70页/共91页 S(x)在每个小区间xi,xi+1上是一个次数不超过3的多项式,因此需确定四个待定常数,一共有n个小区间,故应确定4n个系数,S(x)在n-1个内节点上具有二阶连续导数，应满足条件即有3n-3个连续条件，再加上S(x)满足的插值条件n+1个，共计4n-2个，因此还需要2个条件才能确定S(x)，通常补充两个边界条件。第71页/共91页2.7.2三弯矩方程Mi来求S(x)的方法称为三弯矩法。为参数,这种通过确定设在xi,xi+1上是一次多项式,且可表示为对积分两次并利用S(xi)=yi和S(xi+1)=yi+1定出积分常数得第72页/共91页对S(x)求导得第73页/共91页所以(i=1,2,.,n-1)由第74页/共91页得其中第75页/共91页由公式1.边界条件为得第76页/共91页即第77页/共91页从中解出Mi(i=0,1,.,n)得三次样条S(x).第78页/共91页从中解出Mi(i=1,2,.,n-1)得三次样条S(x)。2、边界条件为已知第79页/共91页3、周期函数M0=Mn第80页/共91页整理得其中第81页/共91页从中解出Mi(i=1,2,.,n),得三次样条S(x).第82页/共91页2.7.3 三转角方程用分段埃尔米特插值，得到S(x)在上S(x)的表达式为设为参数，这种通过确定mi 来求S(x)的方法叫三转角法。第83页/共91页所以同理第84页/共91页其中：同三弯矩方程一样，有三种条件：1、已知(6-42)由S(x)二阶连续可微，即第85页/共91页2、已知由可得由可得则方程组化为：第86页/共91页于是有)(,(446121-=niL即矩阵形式为：第87页/共91页3、已知则有：第88页/共91页第89页/共91页则其I型和II型三次样条插值函数以及导数的误差有如下估计式设f(x)在a，b上有直到四阶的连续导数，第90页/共91页感谢您的观看。第91页/共91页
