不定积分的概念与性质 教学课件教学课件高等数学.pptx

不定积分的概念与性质 教学课件教学课件高等数学原函数的概念原函数的概念0101不定积分的概念不定积分的概念0202目录不定积分的基本公式不定积分的基本公式0303不定积分的基本运算法则不定积分的基本运算法则0404不定积分的几何意义不定积分的几何意义050513:04:464.1.1原函数的概念定义1设函数 与 在区间 上都有定义，并且在该区间内的任一点都有那么函数 就称为函数 在区间 上的一个原函数例如，因为 ，所以 是 在 上的一个原函数；因为 ，所以 是 在 上的一个原函数.13:04:464.1.1原函数的概念事实上，研究原函数必须解决以下两个重要问题：（1）一个函数具备什么条件，能保证它的原函数一定存在？如果存在，是否只有一个？（2）若已知某函数的原函数存在，又怎样把它求出来？定理4.1如果函数 在区间 上连续，则函数 在区间 上存在原函数13:04:464.1.1原函数的概念定理4.2如果函数 是 在区间 上的一个原函数，则1)也是 的原函数，其中 为任意常数；2)的任意两个原函数之间只差一个常数；证1)对任意常数 ，因为所以 是 的原函数，即 的原函数有无限多个2)设 是 的另一个原函数，则有根据拉格朗日中值定理的推论2，可知,因此 原函数的概念原函数的概念0101不定积分的概念不定积分的概念0202目录不定积分的基本公式不定积分的基本公式0303不定积分的基本运算法则不定积分的基本运算法则0404不定积分的几何意义不定积分的几何意义050513:04:464.1.2不定积分的概念定义2函数 在区间 上的全体原函数称为函数 在区间 上的不定积分，记作其中记号 称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称称为积分变量由定义2可见，不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若函数 由是 在区间 上的一个原函数，则函数 在区间 上的不定积分是一个函数族 ，其中 是任意常数，即13:04:464.1.2不定积分的概念例4.1求下列不定积分：解 (1)因为 ，所以 (2)当 时，由于 ，所以 是 在 内的一个原函数因此，在 内，当 时，由于 ，所以 是 在 内的一个原函数因此，在 内，综合以上两种情况，可得13:04:464.1.2不定积分的概念从不定积分的定义可知，积分运算和微分运算互为逆运算，有如下关系：由于 是 的原函数，所以又由于 是 的原函数，所以原函数的概念原函数的概念0101不定积分的概念不定积分的概念0202目录不定积分的基本公式不定积分的基本公式0303不定积分的基本运算法则不定积分的基本运算法则0404不定积分的几何意义不定积分的几何意义050513:04:464.1.3不定积分的基本公式13:04:474.1.3不定积分的基本公式解 例4.2求不定积分解 例4.3求不定积分原函数的概念原函数的概念0101不定积分的概念不定积分的概念0202目录不定积分的基本公式不定积分的基本公式0303不定积分的基本运算法则不定积分的基本运算法则0404不定积分的几何意义不定积分的几何意义050513:04:474.1.4不定积分的基本运算法则法则1 两个函数的代数和的积分等于各个函数不定积分的代数和，即法则2 被积表达式中的非零常数因子可提到积分号外，即解 例4.4求不定积分13:04:474.1.4不定积分的基本运算法则解 例4.5求不定积分解 例4.6求不定积分13:04:474.1.4不定积分的基本运算法则解 例4.7求不定积分解 例4.8求不定积分求不定积分时，有时要对被积函数进行恒等变形，利用不定积分的线性运算性质，转化为基本积分公式表中存在的不定积分，从而得到它们的不定积分，这种方法称为直接积分法原函数的概念原函数的概念0101不定积分的概念不定积分的概念0202目录不定积分的基本公式不定积分的基本公式0303不定积分的基本运算法则不定积分的基本运算法则0404不定积分的几何意义不定积分的几何意义050513:04:474.1.5不定积分的几何意义函数 在区间 上的一个原函数 ，表示一条曲线 ，称为函数 的一条积分曲线曲线 上点 处的切线斜率等于 ，即 由于函数 的不定积分是 的全体原函数 （为任意常数），对于每一个给定的 的值，都有一条确定的积分曲线，当 取不同的值时，就得到不同的积分曲线，所有的积分曲线组成了积分曲线族13:04:474.1.5不定积分的几何意义解 设所求曲线方程为 ，由题意可知 ，所以例4.9 求经过点 且其上任一点 的切线的斜率为 的曲线方程由于所求的曲线经过点 ，把 代入上式可得 ，所以所求的曲线方程为