隐函数组概念隐函数组定理反函数组与坐标变换.pptx

隐函数组概念隐函数组概念隐函数组定理隐函数组定理反函数组与坐标变换反函数组与坐标变换第1页/共27页一、隐函数组概念隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.以两个方程确定两个隐函数的情况为例以两个方程确定两个隐函数的情况为例,例如例如,方程组方程组第2页/共27页隐函数组在隐函数组在 D 上成立恒等式：上成立恒等式：第3页/共27页二、隐函数组定理隐函数组定理其中其中称为称为F、G 的的雅可比雅可比(Jacobi)行列式行列式.第4页/共27页第5页/共27页第6页/共27页例.设 解解:方程组两边对方程组两边对 x 求导，并移项得求导，并移项得 求求由题设由题设故有故有第7页/共27页类似地可计算类似地可计算:答案答案:第8页/共27页三、三、反函数组与坐标变换反函数组与坐标变换反函数组与坐标变换反函数组与坐标变换设函数组设函数组是定义在是定义在 x y 平面点集平面点集 B 上的两个上的两个函数，其值域为函数，其值域为若对每一点若对每一点都有唯一确定的点都有唯一确定的点与与 u,v 一起满足一起满足方程组方程组，由此产生，由此产生上的一个函数组：上的一个函数组：称方程组称方程组为方程组为方程组的反函数组的反函数组.它们满足：它们满足：定义在定义在第9页/共27页反函数组的存在性问题，是隐函数组存在性反函数组的存在性问题，是隐函数组存在性反函数组的存在性问题，是隐函数组存在性反函数组的存在性问题，是隐函数组存在性应用定理应用定理 18.4，可得下述定理：，可得下述定理：问题的一种特殊情形，将方程组问题的一种特殊情形，将方程组改写成改写成反函数组的存在性反函数组的存在性第10页/共27页第11页/共27页第12页/共27页例2:直角坐标与极坐标之间的坐标变换公式为所以，除原点外所以，除原点外由于由于从而，除原点外，在一切点上由函数组：从而，除原点外，在一切点上由函数组：可确定一反函数组：可确定一反函数组：第13页/共27页例3:直角坐标与球坐标之间的坐标变换公式为由于由于第14页/共27页所以，在所以，在即除去即除去 z 轴上的一切点，轴上的一切点，方程组方程组可确定一反函数组：可确定一反函数组：第15页/共27页例.设函数 在点(u,v)的某一1)证明函数组(x,y)的某一邻域内2)求解解:1)令对 x,y 的偏导数.在与点(u,v)对应的点邻域内有连续的偏导数,且 唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数第16页/共27页式两边对 x 求导,得则有由定理 3 可知结论 1)成立.2)求反函数的偏导数.第17页/共27页从方程组解得同理,式两边对 y 求导,可得第18页/共27页从方程组解得同理,式两边对 y 求导,可得第19页/共27页例:计算极坐标变换的反变换的导数的反变换的导数.同样有所以由于第20页/共27页内容小结1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.利用微分形式不变性;方法3.代公式思考与练习思考与练习设求第21页/共27页提示:第22页/共27页解法2.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.由d y,d z 的系数即可得第23页/共27页备用题备用题 分别由下列两式确定:又函数有连续的一阶偏导数,1.设解解:两个隐函数方程两边对 x 求导,得(2001考研)解得因此第24页/共27页2.设是由方程和所确定的函数,求解法解法1 分别在各方程两端对 x 求导,得(99考研)第25页/共27页解法2 微分法.对各方程两边分别求微分:化简得消去可得第26页/共27页感谢您的观看！第27页/共27页