D112数项级数及审敛法42951.pptx
都有定理定理2(比较审敛法比较审敛法)设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数证证:设对一切则有收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示弱级数和强级数的部分和,则有是两个正项级数,(常数 k 0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共27页(1)若强级数则有因此对一切有由定理 1 可知,则有(2)若弱级数因此这说明强级数也发散.也收敛.发散,收敛,弱级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共27页例例1.讨论讨论 p 级级数数(常数 p 0)的敛散性.解解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知 p 级数发散.发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共27页因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较审敛法知 p 级数收敛.时,2)若若机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共27页调和级数调和级数与与 p 级数级数是两个常用的比较级是两个常用的比较级数数.若存在对一切机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共27页证明级数发散.证证:因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例例2.2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共27页定理定理3.(比较审敛法的极限形比较审敛法的极限形式式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当 l=0(3)当 l=证证:据极限定义,设两正项级数满足(1)当 0 l 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共27页由定理 2 可知同时收敛或同时发散;(3)当l=时,即由定理2可知,若发散,(1)当0 l 时,(2)当l=0时,由定理2 知收敛,若机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共27页是两个正项级数正项级数,(1)当 时,两个级数同时收敛或发散;特别取可得如下结论:对正项级数(2)当 且 收敛时,(3)当 且 发散时,也收敛;也发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共27页的敛散性.例例3.判别级数判别级数的敛散性.解解:根据比较审敛法的极限形式知例例4.判别级数解解:根据比较审敛法的极限形式知机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共27页定理定理4.比值审敛法比值审敛法(Dalembert 判别法判别法)设 为正项级数,且则(1)当(2)当证证:(1)收敛,时,级数收敛;或时,级数发散.由比较审敛法可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共27页因此所以级数发散.时(2)当当说明说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如例如,p 级数但级数收敛;级数发散.从而机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共27页例例5.讨论级数讨论级数的敛散性.解解:根据定理4可知:级数收敛;级数发散;机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共27页对任意给定的正数 定理定理5.根值审敛法根值审敛法(Cauchy判判别法别法)设 为正项级则证明提示证明提示:即分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.数,且机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共27页时,级数可能收敛也可能发散.例如,p 级数 说明说明:但级数收敛;级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习：练习：讨论 的敛散性.第15页/共27页二二、交错级数及其审敛、交错级数及其审敛法法 则各项符号正负相间的级数称为交错级数交错级数.定理定理6.(Leibnitz 判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和 其余项满足机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共27页证证:是单调递增有界数列,又故级数收敛于S,且故机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共27页收敛收敛 例例6.用用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共27页三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 定义定义:对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级收敛,数为条件收敛.均为绝对收敛.例如例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共27页定理定理7.绝对收敛的级数一定收敛绝对收敛的级数一定收敛.证证:设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛且收敛,令机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共27页例例7.证明下列级数绝对收敛证明下列级数绝对收敛:证证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共27页(2)令因此收敛,绝对收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共27页内容小结内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法必要条件不满足发 散比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法（极限形式）用它法判别部分和有界机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共27页3.任意项级数审敛法任意项级数审敛法为(收敛)级数Leibniz判别法:（交错级数）则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共27页思考与练习思考与练习设正项级数收敛,能否推出收敛?提示提示:由比较判敛法可知收敛.注意注意:反之不成立.例如,收敛,发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共27页 作业作业 P206 4 (3),(5),(6);5(2),(3),(5)第三节 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共27页感谢您的欣赏！第27页/共27页
