22圆的参数方程(教育精品).ppt
高二数学高二数学 选修选修4-4 第二章第二章参数方程参数方程2.2 圆的参数方程圆的参数方程 1.“旋转角旋转角”的概念：的概念：2.圆心为原点半径为圆心为原点半径为r的圆的参数方程的圆的参数方程 如图所示在圆如图所示在圆x2+y2=r2上上,对于对于 的每一个允许的每一个允许值值,由方程组由方程组所确定的点所确定的点P(x,y)都在圆都在圆x2+y2=r2上上,圆的参数方程圆的参数方程观察观察1 一条射线从起始位置按逆时一条射线从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置形成的角，叫正角；针方向旋转到终止位置形成的角，叫正角；按顺时针方向旋转形成的角形成的角按顺时针方向旋转形成的角形成的角,叫做叫做负角；若没有旋转负角；若没有旋转,就称为零角就称为零角.方程组方程组叫做圆心为原点叫做圆心为原点,半径为半径为r的圆的的圆的参数方程参数方程,为参数为参数.3.圆心为圆心为O1(a,b),半径为半径为r的圆的参数方程的圆的参数方程把圆心为原点把圆心为原点O,半径为半径为r的圆按向量的圆按向量平移平移,可得到圆心为可得到圆心为O1(a,b),半径为半径为r的圆的圆 如图如图,设圆上任意一点设圆上任意一点P(x,y),它是圆它是圆O上一点上一点P1(x1,y1)按按 平移向量平移后得到的平移向量平移后得到的,则根据平移公式，有则根据平移公式，有 由于由于 故故 这就是圆心为这就是圆心为O1(a,b),半径为半径为r的圆的参数方程的圆的参数方程.观察观察23.参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互化x2+y2=r2例例2.已知圆方程已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0，将它化为将它化为参数方程。参数方程。解：解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，化为标准方程，参数方程为参数方程为(为参数为参数)(x+1)2+(y-3)2=1，练习：练习：1.填空：已知圆填空：已知圆O的参数方程是的参数方程是如果圆上点如果圆上点P所对应的参数所对应的参数 则点则点P的坐的坐标是标是 .A的的圆，化为标准方程为圆，化为标准方程为(2,-2)1化为参数方程为化为参数方程为把圆方程把圆方程0142)2(22=+-+yxyx解解:设设M的坐标为的坐标为(x,y),点点M的轨迹是以的轨迹是以(6,0)为圆心、为圆心、2为半径的圆为半径的圆.由中点坐标公式得由中点坐标公式得:点点P的坐标为的坐标为(2x-12,2y)(2x-12)2+(2y)2=16即即 M的轨迹方程为的轨迹方程为(x-6)2+y2=4点点P在圆在圆x2+y2=16上上xMPAyO O例例3.如图如图,已知点已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动点上的一个动点,点点A是是x轴上的定点轴上的定点,坐标为坐标为(12,0).当点当点P在圆在圆上运动时上运动时,线段线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?xMPAyO解解:设设M的坐标为的坐标为(x,y),可设点可设点P坐标为坐标为(4cos,4sin)点点M的轨迹是以的轨迹是以(6,0)为圆心、为圆心、2为半径的圆。为半径的圆。由中点公式得由中点公式得:点点M的轨迹方程为的轨迹方程为x=6+2cosy=2sin例例3.如图如图,已知点已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动点上的一个动点,点点A是是x轴上的定点轴上的定点,坐标为坐标为(12,0).当点当点P在圆在圆上运动时上运动时,线段线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?观察观察3x=4cosy=4sin圆圆x2+y2=16的参数方程为的参数方程为例例4.已知点已知点P(x,y)是圆是圆x2+y2-6x-4y+12=0上上动点动点,求求:(1)x2+y2 的的最值最值;(2)x+y的最值，的最值，(3)P到直线到直线x+y-1=0的距离的距离d的最值。的最值。解：圆解：圆x2+y2-6x-4y+12=0即即(x-3)2+(y-2)2=1，用参数方程表示为用参数方程表示为由于点由于点P在圆上在圆上,所以可设所以可设P(3+cos,2+sin)(1)x2+y2=(3+cos)2+(2+sin)2(其中其中tan=3/2)=14+4 sin +6cos =14+2 sin(+).最小值为最小值为14-2 .x2+y2 的的最大值为最大值为14+2 ,(2)x+y=3+cos+2+sin x+y的最大值为的最大值为5+,最小值为最小值为5-.例例4.已知点已知点P(x,y)是圆是圆x2+y2-6x-4y+12=0上上动点动点,求求:(1)x2+y2 的的最值最值;(2)x+y的最值，的最值，(3)P到直线到直线x+y-1=0的距离的距离d的最值。的最值。=5+sin(+)显然当显然当sin(+)=1时时,d取取最大值最大值,最小值最小值,分别为分别为例例4.已知点已知点P(x,y)是圆是圆x2+y2-6x-4y+12=0上上动点动点,求求:(1)x2+y2 的的最值最值;(2)x+y的最值，的最值，(3)P到直线到直线x+y-1=0的距离的距离d的最值。的最值。小小 结结:1.圆的参数方程圆的参数方程2.参数方程与普通方程的概念参数方程与普通方程的概念3.圆的参数方程与普通方程的互化圆的参数方程与普通方程的互化4.求轨迹方程的三种方法：求轨迹方程的三种方法：相关点点相关点点问题问题(代入法代入法)；参数法；参数法；定义法定义法5.求最值求最值 高二数学高二数学 选修选修4-4 第二章第二章参数方程参数方程2.2 圆的参数方程圆的参数方程第第二二课时课时 1.圆心为原点半径为圆心为原点半径为r的圆的参数方程的圆的参数方程圆的参数方程圆的参数方程（为参数）为参数）2.圆心为圆心为O1(a,b),半径为半径为r的圆的参数方程的圆的参数方程（为参数）为参数）x2+y2=r2练习练习:1.若实数若实数 x,y满足满足 求求xy的最大值的最大值.解法一：将圆解法一：将圆 变为变为 xy的为最大值的为最大值 圆的参数方程为圆的参数方程为 解法二：令解法二：令u=xy,则代入圆方程得则代入圆方程得由由即即 即即 xy的为最大值的为最大值 练习练习:1.若实数若实数 x,y满足满足 求求xy的最大值的最大值.解法三解法三：将圆：将圆 变为变为令令u=xy,即即xyu=0,即即 xy的为最大值的为最大值 练习练习:1.若实数若实数 x,y满足满足 求求xy的最大值的最大值.A、36 B、6 C、26 D、25AyOx解：由解：由 得其参数方程为：得其参数方程为：得得cos+1+sin+m0,代入代入 mcos sin 1,3.已知对于圆已知对于圆 上任意一点上任意一点P(x,y),不等式不等式 恒成立恒成立,求实数求实数m的取的取值范围值范围.恒成立恒成立,的最大值为的最大值为 解法二：由解法二：由得得或或 结合图形知结合图形知 3.已知对于圆已知对于圆 上任意一点上任意一点P(x,y),不等式不等式 恒成立恒成立,求实数求实数m的取的取值范围值范围.4.已知点已知点P(x,y)是圆是圆(x+2)2+y2=1上任意一点上任意一点.(1)求点求点P到直线到直线3x+4y+12=0的距离的最大值的距离的最大值和最小值；和最小值；(2)求求x-2y的最大值和最小值；的最大值和最小值；(3)求求 的最大值和最小值的最大值和最小值.解解:(1)圆心圆心C(-2,0)到直线到直线3x+4y+12=0的距离的距离为为所以点所以点P到直线到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为的距离的最大值为 最小值为最小值为 (2)设设t=x-2y,则直线则直线x-2y-t=0与圆与圆(x+2)2+y2=1有公共有公共点点,所以所以 所以所以所以所以圆圆(x+2)2+y2=1(2)求求x-2y的最大值和最小值；的最大值和最小值；(3)设设则直线则直线kx-y-k+2=0与圆与圆(x+2)2+y2=1有公共点，有公共点，所以所以 所以所以所以所以(3)求求 的最大值和最小值的最大值和最小值.(圆圆(x+2)2+y2=1)5.解解:C21
