立体几何中的向量方法求夹角.pptx
1.两条异面直线所成的角(1)定义:设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线a a,b b,则a,b 所夹的锐角或直角叫a与b所成的角.(2)范围:(3)向量求法:设直线a、b的方向向量为 ,其夹角为 ,则有(4)注意:两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得,当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的角.空间三种角的向量求解方法空间三种角的向量求解方法第1页/共35页例例2第2页/共35页解：以点解：以点C C为坐标原点建立空间直角坐标系为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设如图所示，设 则：则：所以：所以：所以 与 所成角的余弦值为第3页/共35页 题后感悟如何用坐标法求异面直线所成的角？(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)找到两条异面直线的方向向量的坐标形式；(3)利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角；(4)结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角 第4页/共35页方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角 的大小为其中AB DCLBA2、二面角第5页/共35页注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角L 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量 ，则二面角 的大小 2、二面角若二面角若二面角 的大小为的大小为 ,则法向量法第6页/共35页BDCA3.二面角(1)范围:(2)二面角的向量求法:若AB、CD分别是二面角 的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量 与 的夹角(如图(1)设 是二面角 的两个面 的法向量,则向量 与 的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图(2)(1)(2)第7页/共35页例2 正三棱柱 中，D是AC的中点，当 时，求二面角 的余弦值。CADBC1B1A1第8页/共35页以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz 在坐标平面yoz中 设面 的一个法向量为 同法一，可求 B(0,1,0)可取 (1,0,0)为面 的法向量 yxzCADBC1B1A1由 得解得 所以，可取 二面角 的大小等于 cos =即二面角 的余弦值为 方向朝面外，方向朝面内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角第9页/共35页第10页/共35页第11页/共35页设平面第12页/共35页 如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角AA1DB的余弦值 策略点睛 第13页/共35页第14页/共35页第15页/共35页第16页/共35页 题后感悟如何利用法向量求二面角的大小？(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；(3)求出两个法向量的夹角；(4)判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角；(5)确定出二面角的平面角的大小 第17页/共35页ABn3.线面角设n为平面 的法向量，直线AB与平面 所成的角为 ，向量 与n所成的角为 ，则n而利用 可求 ，从而再求出 第18页/共35页3.线面角l设设直直线线l的的方方向向向向量量为为 ，平平面面 的的法法向向量量为为 ，且且直线直线 与平面与平面 所成的角为所成的角为 (),则则第19页/共35页2.直线与平面所成的角(1)定义:直线与它在这个平面内的射影所成的角.(2)范围:(3)向量求法:设直线l的方向向量为 ,平面的法向量为 ,直线与平面所成的角为 ,与 的夹角为 ,则有第20页/共35页第21页/共35页第22页/共35页第23页/共35页第24页/共35页N解：如图建立坐标系A-xyz,则即在长方体 中，例1：第25页/共35页N又在长方体 中，例1：第26页/共35页例2、如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC 底面ABCD。已知 AB=2，BC=，SA=SB=.(1)求证 (2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。SABCDOxyz【典例剖析】第27页/共35页例3 如图,在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，PA=AB=1,AD=，在线段BC上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450?若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由。【典例剖析】DBACEPxzy第28页/共35页解：以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为X轴、Y轴、Z轴，建立空间直角坐标系，设BE=m，则第29页/共35页第30页/共35页2 2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是的方向向量分别是a=a=（1 1，0 0，1 1），），b=b=（0 0，1 1，1 1），那么这条斜线与平面所成的角是），那么这条斜线与平面所成的角是_._.3 3、已知两平面的法向量分别、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则，则两平面所成的钝二面角为两平面所成的钝二面角为_._.基础训练基础训练:1 1、已知、已知 =(2,2,1),=(4,5,3),=(2,2,1),=(4,5,3),则平面则平面ABCABC的一个法向量是的一个法向量是_._.6001350第31页/共35页【巩固练习】1 三棱锥P-ABC PAABC,PA=AB=AC,E为PC中点,则PA与BE所成角的余弦值为_.2 直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2,AB=AC=1,则AC1与截面BB1CC1所成角的余弦值为_.3正方体正方体中中ABCD-A1B1C1D1中中E为为A1D1的的中点中点,则二面角则二面角E-BC-A的大小是的大小是_第32页/共35页用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形问题）小结：小结：第33页/共35页小结：小结：1.异面直线所成角学学.科科.网网：2.直线与平面所成角：3.二面角：关键：观察二面角的范围第34页/共35页感谢您的观看！第35页/共35页
