6d_9习题课学习教程.pptx

主要内容一、线性空间1定义代数运算，数量乘法满足8条规则2性质：零元素是唯一的；负元素是唯一0a0，k00；ka0k0或a0第1页/共21页3线性空间的维数（有限维，无限维）有限维线性空间的基基变换与坐标变换、过渡矩阵，基变换公式与坐标变换个数二、线性子空间(linearsubspace)1子空间的定义与判定条件线性空间V的子集W称为线性子空间，如果W对于V的两种运算封闭。由r个向量生成的子空间第2页/共21页生成元零子空间、平凡子空间、非平凡子空间。两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价。有限维向量空间中的任意线性无关的向量组都可以扩充成原向量空间的一组基。第3页/共21页2子空间的和与交设V1，V2是线性空间V的子空间，则V1V2，和则V1V2都是V的子空间。如果V1，V2是有限维线性空间V的子空间，那么dim（V1)+dim(V2)=dim(V1V2)+dim(V1V2)向量组生成的子空间的维数等于向量组的秩。第4页/共21页3子空间的直和如果子空间V1，V2的和中每个向量的分解式都唯一，则称为直和。设V1，V2是线性空间V的子空间，则以下命题等价：第5页/共21页线性子空间的概念可推广到多个子空间的情形4线性空间的同构同构的定义：11映射满足同构的性质:（2）同构映射保持向量间的线性关系.第6页/共21页(3)V中的向量组线性相关充分必要条件是它们的象线性相关.(4)子空间的象构成子空间,且维数相同.(5)同构映射的逆映射及两个同构映射的乘积还是同构映射.(6)有限维向量空间同构的充分必要条件是它们的维数相同.习题举例第7页/共21页ExEx.1；证明，复数域C C作为实数域R R上的向量空间，与V V2 2同构。ExEx.2；设 是线性空间V到W的一个同构映射，U U是V V的一个子空间，证明：是W W的一个子空间。;证明：线性空间FxFx可以与它的一个真子空间同构。V=FxV=Fx，W=W=第8页/共21页ExEx.4 P Pn n的任意一个子空间都是某一含n n个末知量的齐次线性方程组的解空间。证明：设V V是P Pn n的任意一个子空间，维（V V）=r r,令V=V=L L()其中 ，第9页/共21页构造线性方程组：其解向量构成n-rn-r维线性空间，设由下面n-rn-r个向量组成 显然V是线性方程组 的解空间。第10页/共21页Ex.Ex.5;求线性空间的维数1）数域P上所有反对称矩阵组成的线性空间。2）数域P上所有上三角形矩阵组成的线性空间。第11页/共21页ExEx.6;证明：P Pn n的任意一个真子空间都是若干个n-1n-1维子空间的交。证明：设V V是P Pn n的任意一个真子空间，不仿设 V=V=L L()，它是线性方程组 的解空间，记 为线性方程组k=1,2n-r的解空间,是P Pn n的n-1n-1维子空间,V V恰是这n-rn-r个n-1n-1维子空间的交 第12页/共21页ExEx.7;设 是n n维线性空间V V中的n n个向量，V V中的每个向量都可以由它们线性给出，求证：是V的一组基。证明：只须证明 线性无关，事实上，如果 是 的一个极大线性无关组，则 是V的一组基，所以 ，向量组 就是向量组 是线性无关。第13页/共21页ExEx.8;在 中求齐次线性方程组 的解空间的维数与一组基。第14页/共21页解空间的维数是3，一组基是 解：由于第15页/共21页EX.9;已知 ，求向量 生成的 的子空间 与向量 生成的 的子空间 的交与和空间的维数与一个基。第16页/共21页ExEx.10;设 证明：实数域上矩阵A A的全体实系数多项式 组成的空间与复数域C C作为实数域R R上的线性空间 同构。第17页/共21页证明：注意到 ，则，建立V V到 的映射：是同构映射；所以V V与 同构 第18页/共21页作成实数域R上的线性空间.把实数域R看成是自身上的线性空间.例全体正实数R+关于加法与数量乘法：证明：并写出一个同构映射.证：作对应易证为的11对应.且对有第19页/共21页所以，为的同构映射.故 方法二：作对应易证：为的11对应，而且也为同构映射.事实上，为的逆同构映射.第20页/共21页感谢您的观看！第21页/共21页