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第16章振动本讲稿第一页，共四十三页本章内容Contentschapter 16简谐振动的特征及其描述简谐振动的特征及其描述characteristic and describe of simple harmonic motion 简谐振动的能量简谐振动的能量energy of simple harmonic motion compose of simple harmonic motion 简谐振动的合成简谐振动的合成本讲稿第二页，共四十三页振动习题练习3234其中 练习32T三2；练习33T三.2；练习34T三1 填空本讲稿第三页，共四十三页第一节 引言characteristic and describe of1 6-11 6-1simple harmonic motion 往复运动。如声源的振动、钟摆的摆动等。机械振动 物体在它的平衡位置附近所作的物体发生机械振动的条件：物体受到始终指向平衡位置的回复力；物体具有惯性。掌握机械振动的基本规律是研究其它形式振动的基础。简谐振动（simple harmonic vibration)是最简单、最基本的振动理想模型。它是研究各种复杂振动的重要基础。这里主要讨论简谐振动。本讲稿第四页，共四十三页动力学特征以物体受力为零的平衡位置为坐标原点水平光滑面，弹簧劲度 质量可忽略，物体质量物体在任一位置受的弹性力以铅垂方向 为摆角参考轴线，单摆在任一角位置 所受的重力矩为则取摆幅很小（A）弹簧振子（B）单 摆X正X向反X向本讲稿第五页，共四十三页运动学特征简谐振动的速度A简谐振动的加速度A应用转动定律，同理也可求得单摆的角振动方程X简谐振动微分方程对于给定的弹簧振子 为常量，其比值亦为常量。令则即得A为微分方程求解时的积分常量，由系统的初始条件决定。简谐振动方程A该微分方程的解通常表成余弦函数本讲稿第六页，共四十三页续上简谐振动的加速度AA简谐振动的振动方程简谐振动的速度AAA最大最大最大AAA本讲稿第七页，共四十三页简谐振动参量XAA振幅 ：的最大绝对值A周期：完成一次振动需时频率：角频率：弹簧振子单 摆AA相位：是界定振子在时刻 的运动状态的物理量运动状态要由位置 和速度 同时描述，而 和 的正负取决于 ，不是指开始振动，而是指开始观测和计时。所谓时质点的运动状态AA位置速度初始条件即为初相 ：是时，振子的相位。本讲稿第八页，共四十三页续上由 和 求给定振子的振幅AAAA消去 得初相 由 和 求给定振子的AAA消去 得 但由于 在 0 2p 范围内，同一正切值对应有两个 值，因此，还必须再根据 和 的正负进行判断。联系振子运动状态直观图不难作出判断且若则若且则且若则且若则（第一象限）（第二象限）（第三象限）（第四象限）本讲稿第九页，共四十三页旋转矢量法AAXXOjM(0)Aj初相M(t )twtwM(t )twM(t )twM(t )M(t )twM(t )twM(T)Tw周期 TM(t )twM(t )twXOjM(0)j初相M(t )twA矢量端点在X 轴上的投影对应振子的位置坐标t 时刻的振动相位(w w tj j)旋转矢量A以匀角速逆时针转动循环往复x=A cos(w w tj j)简谐振动方程本讲稿第十页，共四十三页续上旋转矢量端点 M 作匀速圆周运动振子的运动速度（与 X 轴同向为正）wA其 速率wAjtwAXAAXOwjtwO 旋转矢量端点 M 的加速度为法向加速度，其大小为wA振子的运动加速度（与 X 轴同向为正）wAjtw和任一时刻的 和 值，其正负号仅表示方向。同号时为加速异号时为减速本讲稿第十一页，共四十三页例一0.040.0412简谐振动的曲线完成下述简谐振动方程A=0.04(m)T=2(s)w w =2 p/p/T T =p p (rad/s)0.04p pp p2Aw w=p p/2 t=0v0 从 t=0 作反时针旋转时，A矢端的投影从x=0向X轴的负方运动，即 ，与 已知 X t 曲线一致。v0SI本讲稿第十二页，共四十三页 试证明，若选取受力平衡点作为位置坐标原点，垂直弹簧振子与水平弹簧振子的动力学方程和振动方程相同。平衡点在受力平衡点小球受弹性力大小选取受力平衡点作为位置坐标原点小球在为置坐标 处所受弹性力合外力振动方程A动力学方程微分方程的解：均与水平弹簧振子结果相同例二本讲稿第十三页，共四十三页例三弹簧振子x0=0t=0 时v0=0.4 ms-1m=510-3 kgk=210-4 Nm-1 完成下述简谐振动方程v0mk0.2(rad s 1)x0v02(m)x0=0已知w w相应的旋转矢量图为20.2(SI)v0本讲稿第十四页，共四十三页例四某物体沿 X 轴作简谐运动，振幅 A=0.12 m，周期周期 T=2 s，t=0 时x0=0.06 m处初相 j j ,t=0.5 s 时的位置 x,速度 v,加速度 a物体背离原点移动到位置A=0.12 m，T=2 s,w w =2p/p/T=p p rad s-1,将j j=p/3 p/3 rad 及 t=0.5 s 代入谐振动的 x,v,a 定义式得x A cos(w w tj j )0.104(m)A0.19(m s-1)A1.03(m s-2)x=A cos(w w tj j )由简谐振动方程t=0 时0.06=0.12 cos j j 得 j j=p/3p/3再由题意知 t=0 时物体正向运动，即A0且j j=p/3p/3，则 j j 在第四象限，故取本讲稿第十五页，共四十三页例五周期均为 T=8.5s 用旋转矢量法两质点振动相位差两质点第一次通过平衡点的时刻两质点 1、2同在 X 轴上作简谐振动t=0 时 在 处 质点2 AA向平衡点运动质点1在 处向平衡点运动振幅 A 相同Acos Acos 或因且在第一象限应取Acos Acos 两质点振动相位差AA从旋转矢量图可以看出：时，质点1第一次通过平衡点A转过1.06(s)A转过时，质点2第一次通过平衡点2.13(s)本讲稿第十六页，共四十三页练习练习32T三三1,2、简谐振动的动力学特征、简谐振动的动力学特征1 1、解：、解：yBoxy取固定坐标系取固定坐标系xoy，坐标原点，坐标原点o在水面上。在水面上。设货轮静止不动时设货轮静止不动时货轮上的货轮上的 B 点恰在水面上点恰在水面上o点点此时浮力和重力平衡（此时浮力和重力平衡（f=mg）该力与位移成正比该力与位移成正比方向指向平衡位置方向指向平衡位置则浮力的则浮力的增量为增量为 设设B点下沉致坐标为点下沉致坐标为 y 处处整理，得整理，得练习32本讲稿第十七页，共四十三页根据简谐振动的动力学方程，有：根据简谐振动的动力学方程，有：满足简谐振动的动力学方程，说明货轮作简谐振动。满足简谐振动的动力学方程，说明货轮作简谐振动。则：则：本讲稿第十八页，共四十三页2 2、解：、解：振幅：振幅：频率：频率：角频率：角频率：周期：周期：初相：初相：本讲稿第十九页，共四十三页 根据：根据：将将 代入，得：代入，得：本讲稿第二十页，共四十三页练习练习33T33T三三1,21,2、简谐振动运动学、简谐振动运动学1 1、解：、解：由旋转矢量图法知：由旋转矢量图法知：练习33本讲稿第二十一页，共四十三页mk1k22 2、解：、解：当物体处于平衡位置时当物体处于平衡位置时设两弹簧的伸长量分别为设两弹簧的伸长量分别为 、向右为向右为x 轴正方向。轴正方向。k1的伸长量为的伸长量为其中其中 只与弹簧性质有关只与弹簧性质有关因此证明物体作简谐振动。因此证明物体作简谐振动。k2的伸长量为的伸长量为则物体受力为：则物体受力为：当物体位移为当物体位移为x 时时以平衡位置为坐标原点，以平衡位置为坐标原点，则则mk1k2本讲稿第二十二页，共四十三页振动的角频率和振幅分别为振动的角频率和振幅分别为:振动方程为振动方程为:若以向左为正方向，则振动方程为若以向左为正方向，则振动方程为:本讲稿第二十三页，共四十三页第二节 振动能量1 6-21 6-2energy of simple harmonic motion （以x x=0 0处为零势点）系统的 动能A系统的 势能A系统的 机械能AA振子运动速度AA简谐振动方程振动系统：弹簧劲度振子质量振动角频率如 水平弹簧振子均随时间而变且能量相互转换变到最大时变为零系统的机械能守恒。及A变为零变到最大时时 间能 量本讲稿第二十四页，共四十三页例六动能A 势能A当时则其中得振动相位或一水平弹簧振子弹簧劲度振子质量振幅 A沿 X X 轴振动 当振动系统的以平衡点为原点位置坐标 x 相等时 动能值与势能值 振子的A代入中，解得能量位置本讲稿第二十五页，共四十三页例七该摆动系统的机械能守恒数学表达式该摆的运动学微分方程及摆动周期动能 刚体（直棒）转动动能 势能 系统的重力势能以垂态直棒中心点 C 为重力零势点令机械能机械能守恒，即 为恒量，即得 简谐角振动微分方程该摆的振动周期匀质细直悬棒质量 m、长 L在铅直面内摆动摆幅很小转动惯量本讲稿第二十六页，共四十三页随堂小议（1 1）E E1 1/4/4；（2 2）E E1 1/2/2；（3 3）2 2E E1 1；（4 4）4 4E E1 1。结束选择结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案请在放映状态下点击你认为是对的答案 一弹簧振子作简谐振动，总能量为一弹簧振子作简谐振动，总能量为 E E1 1，如果谐振，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4 4倍，则其总能量将变为倍，则其总能量将变为本讲稿第二十七页，共四十三页小议链接1（1 1）E E1 1/4/4；（2 2）E E1 1/2/2；（3 3）2 2E E1 1；（4 4）4 4E E1 1。结束选择结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案请在放映状态下点击你认为是对的答案 一弹簧振子作简谐振动，总能量为一弹簧振子作简谐振动，总能量为 E E1 1，如果谐振，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4 4倍，则其总能量将变为倍，则其总能量将变为本讲稿第二十八页，共四十三页小议链接2（1 1）E E1 1/4/4；（2 2）E E1 1/2/2；（3 3）2 2E E1 1；（4 4）4 4E E1 1。结束选择结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案请在放映状态下点击你认为是对的答案 一弹簧振子作简谐振动，总能量为一弹簧振子作简谐振动，总能量为 E E1 1，如果谐振，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4 4倍，则其总能量将变为倍，则其总能量将变为本讲稿第二十九页，共四十三页小议链接3（1 1）E E1 1/4/4；（2 2）E E1 1/2/2；（3 3）2 2E E1 1；（4 4）4 4E E1 1。结束选择结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案请在放映状态下点击你认为是对的答案 一弹簧振子作简谐振动，总能量为一弹簧振子作简谐振动，总能量为 E E1 1，如果谐振，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4 4倍，则其总能量将变为倍，则其总能量将变为本讲稿第三十页，共四十三页小议链接4（1 1）E E1 1/4/4；（2 2）E E1 1/2/2；（3 3）2 2E E1 1；（4 4）4 4E E1 1。结束选择结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案请在放映状态下点击你认为是对的答案 一弹簧振子作简谐振动，总能量为一弹簧振子作简谐振动，总能量为 E E1 1，如果谐振，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4 4倍，则其总能量将变为倍，则其总能量将变为本讲稿第三十一页，共四十三页第三节 振动合成1 6-31 6-3compose of simple harmonic motion 且 相同同在 X X 轴合成振动用旋转矢量法可求得合成振动方程与计时起始时刻有关合成初相分振动初相差与计时起始时刻无关，但它对合成振幅属相长还是相消合成起决定作用本讲稿第三十二页，共四十三页续上合振动分振动；其中，合振幅若则为合振幅可能达到的最大值若则若为其它值，则 处于与之间若则为合振幅可能达到的最小值若则本讲稿第三十三页，共四十三页例八0.050.060.07简谐振动(SI)(SI)(SI)合成的和合成的 最大时合成的 最小时8.9210 2(m)0.92868 1224812(舍去）时当得合成的 达到最小当时合成的 达到最大得本讲稿第三十四页，共四十三页练习练习34T34T三三1,21,2、振动的合成、振动的合成1 1、解：、解：由：由：得：得：由：由：得：得：则合振动的表达式为：则合振动的表达式为：xoA或或练习34本讲稿第三十五页，共四十三页2 2、解：、解：合振动的振幅为：合振动的振幅为：合振动的初位相满足：合振动的初位相满足：则：则：当时，即：当时，即：时的振幅最大；时的振幅最大；xoA或或本讲稿第三十六页，共四十三页时的振幅最小。时的振幅最小。当时，即：当时，即：ox*用旋转矢量表示：用旋转矢量表示：本讲稿第三十七页，共四十三页随堂小议结束选择结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案请在放映状态下点击你认为是对的答案（1 1）0；（2 2）4 cm；（4 4）8 cm。两个同方向同频率的谐振动，振动方程为两个同方向同频率的谐振动，振动方程为x1=610-2 cos(5t+),x2=210-2 sin(5 t )2 则其合振动的振幅为谐振动则其合振动的振幅为谐振动（3 3）4 cm；本讲稿第三十八页，共四十三页小议链接1（1 1）0；（2 2）4 cm；（4 4）8 cm。结束选择结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案请在放映状态下点击你认为是对的答案 两个同方向同频率的谐振动，振动方程为两个同方向同频率的谐振动，振动方程为x1=610-2 cos(5t+),x2=210-2 sin(5 t )2 则其合振动的振幅为谐振动则其合振动的振幅为谐振动（3 3）4 cm；本讲稿第三十九页，共四十三页小议链接2（1 1）0；（2 2）4 cm；（4 4）8 cm。结束选择结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案请在放映状态下点击你认为是对的答案 两个同方向同频率的谐振动，振动方程为两个同方向同频率的谐振动，振动方程为x1=610-2 cos(5t+),x2=210-2 sin(5 t )2 则其合振动的振幅为谐振动则其合振动的振幅为谐振动（3 3）4 cm；本讲稿第四十页，共四十三页小议链接3（1 1）0；（2 2）4 cm；（4 4）8 cm。结束选择结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案请在放映状态下点击你认为是对的答案 两个同方向同频率的谐振动，振动方程为两个同方向同频率的谐振动，振动方程为x1=610-2 cos(5t+),x2=210-2 sin(5 t )2 则其合振动的振幅为谐振动则其合振动的振幅为谐振动（3 3）4 cm；本讲稿第四十一页，共四十三页小议链接4（1 1）0；（2 2）4 cm；（4 4）8 cm。结束选择结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案请在放映状态下点击你认为是对的答案 两个同方向同频率的谐振动，振动方程为两个同方向同频率的谐振动，振动方程为x1=610-2 cos(5t+),x2=210-2 sin(5 t )2 则其合振动的振幅为谐振动则其合振动的振幅为谐振动（3 3）4 cm；本讲稿第四十二页，共四十三页振动习题振动习题练习3234 下次交本讲稿第四十三页，共四十三页