数学分析幂级数.pptx

1 幂级数第1页/共36页一、函数项级数的一般概念1.定义:第2页/共36页2.收敛点与收敛域:第3页/共36页函数项级数的部分和余项(x在收敛域上)注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.3.和函数:(定义域是?)第4页/共36页解由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛.第5页/共36页原级数发散.收敛;发散;第6页/共36页二、幂级数及其收敛性1.定义:2.收敛性:第7页/共36页证明第8页/共36页第9页/共36页由(1)结论几何说明收敛区域发散区域发散区域第10页/共36页推论第11页/共36页定义:正数R称为幂级数的收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.规定问题如何求幂级数的收敛半径?第12页/共36页证明第13页/共36页由比值审敛法,第14页/共36页定理证毕.第15页/共36页例2 求下列幂级数的收敛区间:解该级数收敛该级数发散第16页/共36页第17页/共36页发散收敛故收敛区间为(0,1.第18页/共36页解缺少偶次幂的项级数收敛,第19页/共36页级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛区间为第20页/共36页三、幂级数的运算1.代数运算性质:(1)加减法(其中第21页/共36页(2)乘法(其中柯西乘积第22页/共36页(3)除法(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多)2.和函数的分析运算性质:第23页/共36页(收敛半径不变)第24页/共36页(收敛半径不变)第25页/共36页解两边积分得第26页/共36页第27页/共36页解收敛区间(-1,1),第28页/共36页常用已知和函数的幂级数第29页/共36页四、小结2.幂级数的收敛性:收敛半径R3.幂级数的运算:分析运算性质1.函数项级数的概念:第30页/共36页思考题 幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？第31页/共36页思考题解答不一定.例它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是第32页/共36页练 习 题第33页/共36页第34页/共36页练习题答案第35页/共36页感谢您的观看。第36页/共36页