误差的基本性质与处理幻灯片.ppt
误差的基本性质与处理1第1页，共163页，编辑于2022年，星期三第一节 随机误差2第2页，共163页，编辑于2022年，星期三教学目标本节阐述随机误差产生的原因与特征，减小随机误本节阐述随机误差产生的原因与特征，减小随机误差的途径。通过本节的学习，读者应会分析随机误差差的途径。通过本节的学习，读者应会分析随机误差产生的原因以及减少随机误差的途径；掌握用算术平产生的原因以及减少随机误差的途径；掌握用算术平均值表示测量结果的最佳估计，并用实验标准差以及均值表示测量结果的最佳估计，并用实验标准差以及置信区间来表示该随机误差的大小。本节内容是从事置信区间来表示该随机误差的大小。本节内容是从事精密测量工作所必须掌握的基本方法，也是学习后续精密测量工作所必须掌握的基本方法，也是学习后续章节的基础章节的基础。3第3页，共163页，编辑于2022年，星期三教学重点和难点v 随机误差产生的原因随机误差产生的原因v 随机误差的本质特征随机误差的本质特征v 算术平均值算术平均值v 贝塞尔公式贝塞尔公式v 试验标准差试验标准差v 测量结果的最佳估计测量结果的最佳估计v 置信区间置信区间4第4页，共163页，编辑于2022年，星期三一随机误差概述介绍随机误差产生的原因，随机误差的本质特征以介绍随机误差产生的原因，随机误差的本质特征以及减少随机误差的技术途径。及减少随机误差的技术途径。5第5页，共163页，编辑于2022年，星期三(一一)、随机误差产生的原因、随机误差产生的原因举举例例：某某台台激激光光数数字字波波面面干干涉涉仪仪，对对其其进进行行准准确确度度考考核核，在在相相同同测测量量条条件件下下对对某某标标准准平平晶晶的的表表面面面面形形进进行行150150次次重重复复测测量量获获得得面面形形峰峰谷谷值值数数据据。通通过过实实验验分分析析，查询有关的技术资料和其他信息，可知随机误差来源查询有关的技术资料和其他信息，可知随机误差来源结结论论：对对具具体体测测量量问问题题具具体体分分析析，从从所所用用的的设设备备、人人员员、测测量量方方法法等等资资源源以以及及环环境境等等要要素素中中去去分分析析寻寻找找主主要的随机误差来源。要的随机误差来源。6第6页，共163页，编辑于2022年，星期三150次的面形峰谷值数据0.124 0.120 0.118 0.119 0.121 0.125 0.121 0.123 0.120 0.118 0.119 0.117 0.118 0.121 0.119 0.118 0.119 0.119 0.115 0.120 0.119 0.119 0.119 0.116 0.116 0.118 0.121 0.120 0.122 0.122 0.119 0.121 0.121 0.124 0.121 0.118 0.118 0.119 0.120 0.118 0.119 0.122 0.118 0.119 0.119 0.117 0.118 0.118 0.118 0.120 0.119 0.118 0.120 0.124 0.120 0.118 0.118 0.119 0.121 0.123 0.124 0.123 0.118 0.119 0.119 0.120 0.120 0.119 0.119 0.118 0.123 0.121 0.119 0.118 0.120 0.120 0.120 0.119 0.120 0.123 0.118 0.121 0.119 0.121 0.120 0.123 0.123 0.121 0.118 0.119 0.120 0.121 0.122 0.119 0.121 0.122 0.119 0.120 0.117 0.125 0.119 0.127 0.120 0.124 0.123 0.123 0.118 0.119 0.124 0.122 0.123 0.124 0.121 0.123 0.123 0.121 0.120 0.121 0.123 0.127 0.125 0.121 0.120 0.124 0.123 0.123 0.124 0.123 0.119 0.121 0.123 0.129 0.121 0.120 0.121 0.124 0.123 0.121 0.125 0.119 0.122 0.127 0.121 0.120 0.122 0.121 0.122 0.123 0.124 0.121 7第7页，共163页，编辑于2022年，星期三 数据列表明，各次测值不尽相同，这说数据列表明，各次测值不尽相同，这说明各次测量中含有随机误差，这些误差的明各次测量中含有随机误差，这些误差的出现没有确定的规律，即前一个数据出现出现没有确定的规律，即前一个数据出现后，不能预测下一个数据的大小。后，不能预测下一个数据的大小。但就数据整体而言，却明显具有某种但就数据整体而言，却明显具有某种统计规律，这个规律可以用统计直方图统计规律，这个规律可以用统计直方图来表示。来表示。数据特点8第8页，共163页，编辑于2022年，星期三0.130.1140.1160.1180.120.122 0.124 0.126 0.12801020304050统计直方图统计直方图 统计直方图在对称性方面有一些统计直方图在对称性方面有一些偏离理想正态分布的情形偏离理想正态分布的情形。对于测量状态不完好的光电类对于测量状态不完好的光电类测量仪器，特别是对传动机械部测量仪器，特别是对传动机械部件磨损较严重而规律尚未掌握的件磨损较严重而规律尚未掌握的仪器，其测量随机误差可能就呈仪器，其测量随机误差可能就呈现其他分布的特征。现其他分布的特征。对于测量状态比较完好的光电类对于测量状态比较完好的光电类测量仪器，其随机误差的分布往测量仪器，其随机误差的分布往往较好的呈现正态分布的往较好的呈现正态分布的特征特征9第9页，共163页，编辑于2022年，星期三激光数字波面干涉仪的随机误差主要来源激光数字波面干涉仪的随机误差主要来源测量装置方面的因素测量装置方面的因素 氦氖激光源辐射激氦氖激光源辐射激光束的频率不够稳光束的频率不够稳定造成激光波长的定造成激光波长的漂移漂移 CCDCCD光电探测器采光电探测器采集信号及其电信号集信号及其电信号处理电路造成干涉处理电路造成干涉图像信号的随机噪图像信号的随机噪声声 离散化采样误差、离散化采样误差、各次装夹定位不一各次装夹定位不一致致 测量环境方面的因素测量环境方面的因素 放置测量主机和被测试放置测量主机和被测试样的隔震台不能很好消样的隔震台不能很好消除外界的低频震动除外界的低频震动 仪器所在实验室气仪器所在实验室气流和温度的波动流和温度的波动 空气尘埃的漂浮、空气尘埃的漂浮、稳压电源供电电稳压电源供电电压的微小波动压的微小波动 操作人员方面的因素操作人员方面的因素 操作人员的装夹调操作人员的装夹调整不当引起被采集整不当引起被采集的测量干涉图像质的测量干涉图像质量低、条纹疏密不量低、条纹疏密不当当 采集干涉图像的摄采集干涉图像的摄像头变焦倍数过小像头变焦倍数过小造成较大的离散化造成较大的离散化采样误差采样误差 10第10页，共163页，编辑于2022年，星期三减小随机误差的技术途径减小随机误差的技术途径(1)(1)测测量量前前，找找出出并并消消除除或或减减小小其其随机误差的物理源随机误差的物理源;(2)(2)测测量量中中，采采用用适适当当的的技技术术措措施，抑制和减小随机误差施，抑制和减小随机误差;(3)(3)测测量量后后，对对采采集集的的测测量量数数据据进进行行适适当当处处理理，抑抑制制和和减减小小随机误差随机误差。对防震台充气减震、关对防震台充气减震、关空调减少气流、开机对空调减少气流、开机对激光器预热等。激光器预热等。戴工作手套装夹工件，戴工作手套装夹工件，调整光路要尽量减少离调整光路要尽量减少离焦、倾斜，并使干涉条焦、倾斜，并使干涉条纹疏密适当，人员尽量纹疏密适当，人员尽量远离测量光路；必要的远离测量光路；必要的话，适当增加重复测量话，适当增加重复测量次数取算术平均值等次数取算术平均值等 视需要，有针对性地对采集的测量干涉图进行视需要，有针对性地对采集的测量干涉图进行预处理，如用低通滤波、平滑滤波等方法来消预处理，如用低通滤波、平滑滤波等方法来消除中高频随机噪声，用高通滤波法则可以有效除中高频随机噪声，用高通滤波法则可以有效消除低频随机噪声消除低频随机噪声。11第11页，共163页，编辑于2022年，星期三(二二)、随机误差的本质特征、随机误差的本质特征 若测量列中不包含系统误差和粗大误差，则该测量列中若测量列中不包含系统误差和粗大误差，则该测量列中的随机误差一般具有以下几个特征：的随机误差一般具有以下几个特征：.绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，这称绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，这称为误差的为误差的对称性对称性。.绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，这称绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，这称为误差的为误差的单峰性单峰性。.在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限，这称为误差的一定界限，这称为误差的有界性有界性。.随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零，随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零，这称为误差的这称为误差的抵偿性抵偿性。12第12页，共163页，编辑于2022年，星期三随机误差的表述随机误差的表述 表述方法表述方法 被测量的真值 一系列测量值，假设各次测量值中不含有系统误差 13第13页，共163页，编辑于2022年，星期三随机误差的随机性影响 对于任何的测量，其中的随机误差源客观存在，它造成对每次测量数据的不可预测的随机性影响 影响表现在该测量总体服从某种分布 误差大小可以通过标准差来估计 误差界限则可用置信区间表示 14第14页，共163页，编辑于2022年，星期三含有随机误差的测量数据问题的处理方法 有条件获取较大样本数据的情形 可以做出实验统计直方图，定性定量地给出测量总体及其误差分布的判断，进而从中提取表示被测量大小的数字特征，并给出完整的测量结果 无条件获取大样本数据的情形 必须依据小样本的测量数据以及可能了解到的有关测量信息，合理给出代表测量总体的测量结果，包括其最佳估计值及其标准差、置信区间等 15第15页，共163页，编辑于2022年，星期三二、随机误差的数字特征 用于描述随机误差分布特征的数值叫做用于描述随机误差分布特征的数值叫做随机误差的数字特随机误差的数字特征。征。对于离散型或连续型的随机误差，它在数轴上的分布规律，对于离散型或连续型的随机误差，它在数轴上的分布规律，虽可采取分布函数或分布密度函数及其相应的分布曲线图形来虽可采取分布函数或分布密度函数及其相应的分布曲线图形来表示，但在实际测量数据处理中，要确定误差的分布函数或分表示，但在实际测量数据处理中，要确定误差的分布函数或分布密度函数，是很困难的，一般也是不必要的，若知道了随机布密度函数，是很困难的，一般也是不必要的，若知道了随机误差的数字特征就能明确地说明随机误差分布的特征。误差的数字特征就能明确地说明随机误差分布的特征。16第16页，共163页，编辑于2022年，星期三 随机误差的数字特征主要有两个：随机误差的数字特征主要有两个：算术平均值算术平均值标准差标准差。前者通常是随机误差的。前者通常是随机误差的分布中心分布中心，后者则是，后者则是分散分散性指标性指标。例如，当随机误差服从正态分布时，在算术平均值例如，当随机误差服从正态分布时，在算术平均值处随机误差的概率密度最大，由多次测量所得的测得值处随机误差的概率密度最大，由多次测量所得的测得值是以算术平均值为中心而集中分布的；而标准差则可描是以算术平均值为中心而集中分布的；而标准差则可描述随机误差的散布范围，标准差愈大，测量数据的分散述随机误差的散布范围，标准差愈大，测量数据的分散范围也愈大。范围也愈大。显然，算术平均值可以作为显然，算术平均值可以作为等精度多次测量的结果等精度多次测量的结果，而标准差可以描述而标准差可以描述测量数据和测量结果的精度测量数据和测量结果的精度。17第17页，共163页，编辑于2022年，星期三（一）算术平均值（一）算术平均值主要介绍算术平均值的意义以及如何对算术平均值进行校核。18第18页，共163页，编辑于2022年，星期三算术平均值的意义算术平均值的意义在等权测量条件下，对某被测量进行多次重复测量，得到一系列测量值,常取算术平均值作为测量结果的最佳估计。19第19页，共163页，编辑于2022年，星期三无限多次测量算术平均值作为真值的理论依据 若测量次数无限增多，且无系统误差下，由概率若测量次数无限增多，且无系统误差下，由概率论的大数定律知，算术平均值以概率为论的大数定律知，算术平均值以概率为1 1趋近于真趋近于真值值因为因为根据随机误差的抵偿性，当根据随机误差的抵偿性，当n n充分大时，充分大时，有有 20第20页，共163页，编辑于2022年，星期三最佳估计的意义最佳估计的意义 若若测测量量次次数数有有限限，由由参参数数估估计计知知，算算术术平平均均值值是是该该测测量量总总体体期期望望的的一一个个最最佳佳的的估估计计量量，即即满满足无偏性、有效性、一致性。足无偏性、有效性、一致性。满足最小二乘原理满足最小二乘原理在正态分布条件下，满足最大似然原理在正态分布条件下，满足最大似然原理该所有测量值对其算术平均值之差的平方该所有测量值对其算术平均值之差的平方和达到最小和达到最小该测量事件发生的概率最大该测量事件发生的概率最大 21第21页，共163页，编辑于2022年，星期三残残 余余 误误 差差 一般情况下，被测量的真值为未知，这时可一般情况下，被测量的真值为未知，这时可用算术平均值代替被测量的真值进行计算，则有：用算术平均值代替被测量的真值进行计算，则有：式中，式中，li为第为第i个测得值，个测得值，i，；，；vi为为li的的残余误差残余误差（简称残差）。（简称残差）。22第22页，共163页，编辑于2022年，星期三简便法计算算术平均值v任选一个接近所有测得值的数 作为参考值，23第23页，共163页，编辑于2022年，星期三残余误差的性质对残余误差进行求和可得：对残余误差进行求和可得：当平均值为未凑整的准确数时，则有：当平均值为未凑整的准确数时，则有：残余误差的代数和等于零残余误差的代数和等于零 利用这一性质可以校核算术平均值和残余误差计利用这一性质可以校核算术平均值和残余误差计算的正确性。算的正确性。24第24页，共163页，编辑于2022年，星期三用残余误差代数和校核算术平均值及其残余误差的规则：残差代数和应符合：当，求得的为非凑整的准确数时，为零；当，求得的为非凑整的准确数时，为正，其大小为求时的余数；当，求得的为非凑整的准确数时，为负，其大小为求时的亏数。残差代数和绝对值应符合：当n为偶数时，；当n为奇数时，。式中的A为实际求得的算术平均值末位数的一个单位。25第25页，共163页，编辑于2022年，星期三（二）标准差（标准偏差）主要介绍标准差的意义以及如何计算标准差的方法。26第26页，共163页，编辑于2022年，星期三1、测量列单次测量的标准差l由于随机误差的存在，等精度测量列中各个测得值由于随机误差的存在，等精度测量列中各个测得值一般皆不相同，围绕着该测量列的算术平均值有一一般皆不相同，围绕着该测量列的算术平均值有一定的分散，定的分散，l此分散度说明了测量列中单次测得值的不可靠性，此分散度说明了测量列中单次测得值的不可靠性，必须用一个数值作为其不可靠性的评定标准。必须用一个数值作为其不可靠性的评定标准。27第27页，共163页，编辑于2022年，星期三v由由正正态态分分布布图图形形可可知知：值值越越大大，e的的指指数数绝绝对对值值越越大大，f()减减小小的的越越快快，即即曲曲线线变变陡陡：反反之之曲曲线线越越平平坦。坦。v单单次次测测量量的的标标准准差差是是表表征征同同一一被被测测量量的的n次次测测量量的的测测得得值值分分散散性性的的参参数数，可可作作为为测测量量列列中中单单次次测测量量不可靠性的评定标准。不可靠性的评定标准。28第28页，共163页，编辑于2022年，星期三 应该指出，标准差应该指出，标准差不是不是测量列中任何一个具体测得值测量列中任何一个具体测得值的随机误差。的随机误差。的大小只说明，在一定条件下等精度测量列随机误差的大小只说明，在一定条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况。在该条件下，任一单次测得值的随机误的概率分布情况。在该条件下，任一单次测得值的随机误差，一般都不等于差，一般都不等于，但却认为这一系列测量中所有测得值，但却认为这一系列测量中所有测得值都属同样一个标准差的概率分布。都属同样一个标准差的概率分布。在不同条件下，对同一被测量进行两个系列的等精在不同条件下，对同一被测量进行两个系列的等精度测量，其标准差也不相同。度测量，其标准差也不相同。29第29页，共163页，编辑于2022年，星期三标准差的计算公式 在等精度测量列中，单次测量的标准差计算公在等精度测量列中，单次测量的标准差计算公式为：式为：当被测量未知时，可用残余误差代替真误差，而当被测量未知时，可用残余误差代替真误差，而得到标准差的估计值。得到标准差的估计值。30第30页，共163页，编辑于2022年，星期三实验标准差定义实验标准差定义贝塞尔公式贝塞尔公式极差法极差法最大误差法最大误差法 对于一组测量数据，用其标准差来表述这组数据的分对于一组测量数据，用其标准差来表述这组数据的分散性。散性。如果这组数据是来自于某测量总体的一个样如果这组数据是来自于某测量总体的一个样本，则该组数据的标准差是对该测量总体标准本，则该组数据的标准差是对该测量总体标准差的一个估计，称其为差的一个估计，称其为样本标准差样本标准差，又称为，又称为实实验标准差。验标准差。31第31页，共163页，编辑于2022年，星期三贝塞尔公式公式意义公式意义 总体标准差的估计(实验样本标准差)计算公式计算公式 是方差的无偏估计，但s并不是标准差的无偏估计 为残余误差，简称残差。32第32页，共163页，编辑于2022年，星期三 修正贝塞尔公式修正贝塞尔公式贝塞尔公式的修正因子贝塞尔公式的修正因子34567891015201.251.131.09 1.06 1.05 1.041.041.03 1.031.021.01 值随 减少明显偏离系数1 在样本数较小的情形（如），为了提高对s估计的相对误差，最好用无偏修正的贝塞尔公式33第33页，共163页，编辑于2022年，星期三标准差的相对误差标准差的相对误差 在n次测量服从正态分布且独立的条件下，有 适用的估计贝塞尔公式的相对误差的公式 估计标准差的相对误差，用百分数表示，该百分数愈小，表示估计的信赖程度愈高。34第34页，共163页，编辑于2022年，星期三几种估计标准差的相对误差几种估计标准差的相对误差贝塞尔公式0.80修正贝塞尔公式0.60极差法0.76最大误差法0.750.511230.570.460.520.450.470.390.430.400.400.340.370.360.360.310.340.330.320.280.310.310.300.260.290.2990.280.250.270.28100.260.230.260.27200.170.160.200.23当样本数较小的情形（如 ），用贝塞尔公式估计的信赖程度已经开始低于极差法和最大误差法，应当改用修正的贝塞尔公式来估计标准差 35第35页，共163页，编辑于2022年，星期三用某仪器测某物水份含量，测得50个数据如下（单位：水份百分比（）3.4,2.9,4.6,3.9,3.5,2.8,3.4,4.0,3.1,3.7,3.5,3.1,2.5,4.4,3.7,3.2,3.8,3.2,3.7,3.2,3.6,3.0,3.3,4.0,3.4,3.0,4.3,3.8,3.8,3.6,3.4,2.7,3.5,3.6,3.6,3.3,3.7,3.5,4.1,3.1,3.7,3.2,3.9,4.2,3.5,2.9,3.9,3.6,3.4,3.3 试评价该仪器的测量重复性及其相对标准差。【例【例2-12-1】【解】【解】分别计算故该仪器的测量重复性为0.44,其估计相对误差为0.10。36第36页，共163页，编辑于2022年，星期三别捷尔斯法37第37页，共163页，编辑于2022年，星期三极差法极差法 对多次独立测得的数据 ，最大值，最小值当测量误差服从正态分布时，标准差的计算公式 极差 是测量总体标准差的无偏估计 38第38页，共163页，编辑于2022年，星期三 极差法系数极差法系数1.130.7692.970.27163.530.2131.690.52103.080.26173.590.2142.060.43113.170.25183.640.2052.330.37123.260.24193.690.2062.530.34133.310.23203.740.2072.700.31143.410.2282.850.29153.470.2239第39页，共163页，编辑于2022年，星期三最大误差法最大误差法测量误差服从正态分布时，估计标准差的计算公式 在已知被测量的真值的情形，多次独立测得的数据的真误差，其中的绝对值最大40第40页，共163页，编辑于2022年，星期三最大残差法 在一般情况下，被测量的真值难以知道，无法应用最大误差法估计标准差 最大残余误差 估计标准差 41第41页，共163页，编辑于2022年，星期三最大误差法系数最大误差法系数0.880.511.771230.750.451.020.680.400.830.640.360.740.610.330.680.580.310.640.560.290.61100.530.270.57200.460.230.251.250.7542第42页，共163页，编辑于2022年，星期三对某量测得数据7.7,7.7,7.5,7.7,7.7,7.7,7.9,7.6,7.7,7.8,7.9，试分别用贝塞尔公式、极差法、最大误差法估计其测量标准差【例【例2-22-2】【解】【解】(1)用贝塞尔公式估算43第43页，共163页，编辑于2022年，星期三(2)用极差法估算查表，得故计算结果144第44页，共163页，编辑于2022年，星期三（3）用最大误差法估算真值未知，计算最大残差 查表，插值计算得 故计算结果245第45页，共163页，编辑于2022年，星期三2、算术平均值的标准差算术平均值的标准差 在多次测量的测量列中，是以算术平均值作为测量结果，在多次测量的测量列中，是以算术平均值作为测量结果，因此必须研究因此必须研究算术平均值不可靠性算术平均值不可靠性的评定标准。的评定标准。如果在相同条件下对同一量值作如果在相同条件下对同一量值作多组重复多组重复的系列测量，的系列测量，每一系列测量都有一个算术平均值。由于随机误差的存在，每一系列测量都有一个算术平均值。由于随机误差的存在，各个测量列的算术平均值也不相同，它们围绕着被测量的真各个测量列的算术平均值也不相同，它们围绕着被测量的真值有一定的分散。此分散说明了算术平均值的不可靠性。值有一定的分散。此分散说明了算术平均值的不可靠性。算术平均值的标准差则是表征同一被测量的各个独立测算术平均值的标准差则是表征同一被测量的各个独立测量列算术平均值分散性的参数，可作为算术平均值不可靠性量列算术平均值分散性的参数，可作为算术平均值不可靠性的评定标准。的评定标准。46第46页，共163页，编辑于2022年，星期三适当增加测量次数取其算术平均值表适当增加测量次数取其算术平均值表示测量结果，是减小测量随机误差的示测量结果，是减小测量随机误差的一种常用方法。一种常用方法。计算公式计算公式算术平均值的标算术平均值的标准差准差单次测量标准差测量总体标准差 47第47页，共163页，编辑于2022年，星期三10 10次算术平均值与单次测量的分布关系次算术平均值与单次测量的分布关系 两者的分布类型和峰值位置未发生变化，只是两者的分布类型和峰值位置未发生变化，只是分散性不同。分散性不同。48第48页，共163页，编辑于2022年，星期三 测量次数愈大时，也愈难测量次数愈大时，也愈难保证测量条件的不变，从保证测量条件的不变，从而带来新的误差。另外，而带来新的误差。另外，增加测量次数，必增加测量次数，必与测量次数的关系 当当 一定时，一定时，以以后，后，已减小得较缓慢。已减小得较缓慢。然会增加测量的工作量及其成本。因此一般情况下，取然会增加测量的工作量及其成本。因此一般情况下，取 以内较为适宜。总之，要提高测量准确度，应选用适当准以内较为适宜。总之，要提高测量准确度，应选用适当准确度的测量仪器，选取适当的测量次数。确度的测量仪器，选取适当的测量次数。49第49页，共163页，编辑于2022年，星期三三、极限误差（置信区间）三、极限误差（置信区间）介绍如何确定误差分布的区间性指标，即可用于表述介绍如何确定误差分布的区间性指标，即可用于表述误差界限的置信区间。在置信概率一定的情况下，置信区误差界限的置信区间。在置信概率一定的情况下，置信区间还与误差分布的具体形态密切相关。本节对置信区间给间还与误差分布的具体形态密切相关。本节对置信区间给出一般的数学描述，而且还要针对几种常见的误差分布进出一般的数学描述，而且还要针对几种常见的误差分布进行具体讨论。由于测量误差分布与测量总体的分布之间对行具体讨论。由于测量误差分布与测量总体的分布之间对测量数据的描述方式上，只是相差一个常数值，故以下均测量数据的描述方式上，只是相差一个常数值，故以下均按测量总体分布来描述。按测量总体分布来描述。50第50页，共163页，编辑于2022年，星期三（一）置信区间的基本概念（一）置信区间的基本概念置信区间计算公式置信区间计算公式 测量总体的概率密度测量总体的概率密度 置信概率或置信水平置信概率或置信水平,为显著水平为显著水平 期望值期望值 下半置信区间宽度，下半置信区间宽度，上半置信区间宽度上半置信区间宽度 概率密度呈对称分布的情形，常取概率密度呈对称分布的情形，常取 高置信水平下的置信区间半宽度又称为极限误差高置信水平下的置信区间半宽度又称为极限误差51第51页，共163页，编辑于2022年，星期三置信区间半宽度的常用表示方法置信区间半宽度的常用表示方法或 或或 置信因子置信因子 标准差标准差 确定置信区间半宽度的关键是在已确定置信区间半宽度的关键是在已估计标准差下如何确定置信因子估计标准差下如何确定置信因子 52第52页，共163页，编辑于2022年，星期三若某随机误差在若某随机误差在 范围内出现的概率为范围内出现的概率为则超出的概率为则超出的概率为 根据给定的概率，查表得到根据给定的概率，查表得到t的值，就可计算出极限的值，就可计算出极限误差的值。误差的值。因此一般情况下，测量列单次测量的极限误差可用下式表示：因此一般情况下，测量列单次测量的极限误差可用下式表示：因此一般情况下，测量列单次测量的极限误差可用下式表示：因此一般情况下，测量列单次测量的极限误差可用下式表示：53第53页，共163页，编辑于2022年，星期三 t t|=t|=t不超出不超出的的概率概率（t t）超出超出的的概率概率1-1-（t t）测测量量 次次数数n n超出超出的测量的测量次数次数0.67 0.670.49720.502821110.68260.317431220.95440.0456221330.99730.00273701 440.99990.000115626154第54页，共163页，编辑于2022年，星期三正态分布的置信区间55第55页，共163页，编辑于2022年，星期三1 1、总体标准差或大样本标准差已知的情形、总体标准差或大样本标准差已知的情形置信区间半宽度为置信区间半宽度为置信因子由 计算得到 正态积分函数，可查表获得总体标准差已知总体标准差未知，但已知大样本标准差 置信概率或置信水平(单次测量)(n次测量)(单次测量)(n次测量)56第56页，共163页，编辑于2022年，星期三2.03.02.580.990.010.9540.0461.960.950.051.6450.900.101.00.6830.3170.67450.50.50.99730.00273.300.9990.001一些常用置信因子对应的置信水平一些常用置信因子对应的置信水平 57第57页，共163页，编辑于2022年，星期三2 2、小样本标准差已知的情形、小样本标准差已知的情形 置信区间半宽度为置信区间半宽度为(单次测量单次测量)置信区间半宽度为置信区间半宽度为(n n次测量次测量)自由度 ，为样本容量 自由度 ，为测量次数 值可通过查 分布表得到，为显著水平 58第58页，共163页，编辑于2022年，星期三3 3、没有标准差已知信息的情形、没有标准差已知信息的情形 置信区间半宽度为置信区间半宽度为59第59页，共163页，编辑于2022年，星期三（1 1）大大样样本本情情形形，估估计计置置信信区区间间的的置置信信因因子子都都用用正正态分布；小样本情形，则用态分布；小样本情形，则用t t分布。分布。（2 2）单单次次测测量量情情形形，估估计计置置信信区区间间的的标标准准差差都都用用单单次次测测量量的的标标准准差差；多多次次测测量量情情形形，则则用用算算术术平平均均值值的的标准差。标准差。总结总结60第60页，共163页，编辑于2022年，星期三用游标卡尺对某一试样尺寸测量10次，假定测量服从正态分布，并已消除系统误差和粗大误差，得到数据如下（单位mm）：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.05，75.08(1)求算术平均值及其标准差，并估计标准差的信赖程度；(2)求算术平均值的极限误差（=0.9973）。【例【例2-52-5】【解】【解】(1)分别计算故该标准差估计的信赖程度为 。61第61页，共163页，编辑于2022年，星期三（2）先按小样本估计，查 分布临界值表,有再按大样本估计，查正态分布临界值表，有综上所述：（1）算术平均值是处理等权测量数据的一个最佳估计量；（2）一般按贝塞尔公式计算和，样本数时只能用最大误差法计算；（3）算术平均值的极限误差一般按确定。计算结果计算结果62第62页，共163页，编辑于2022年，星期三二、二、其他分布的置信区间其他分布的置信区间 对称性分布对称性分布 与处理正态分布置信区间的方法相仿，可以从概率密度函数直接计算该区间概率的方式得到,并用下式表示 非对称性分布非对称性分布 将非对称分布折算为对称正态分布来处理，实质上是依分布于中点值表示，而折算到依均值表示。或63第63页，共163页，编辑于2022年，星期三非正态分布按正态分布折算 估计范围分别依均值和中点值折算到正态分布为 分布系数不对称系数64第64页，共163页，编辑于2022年，星期三1 1、截尾正态误差分布、截尾正态误差分布 加工塞规，废品率已控制在以内，统计塞规加工误差，试求该塞规工件的加工极限误差。【例【例2-62-6】【解】【解】通常塞规在10%废品率控制下合格品的误差服从双边对称截尾正态分布，查表 当置信因子故极限误差65第65页，共163页，编辑于2022年，星期三2 2、均匀误差分布、均匀误差分布 测量的估计量，由下式计算得到 极限误差 极差66第66页，共163页，编辑于2022年，星期三基线尺滑轮摩擦引起的尺寸误差接近均匀分布。若引起24基线尺的尺寸变化数据分别为378，512，413，687，403，687，577，485，364，463 ，试估计基线尺的尺长变化量。【例【例2-72-7】【解】【解】极限误差计算故基线尺的尺长估计为 67第67页，共163页，编辑于2022年，星期三3.3.偏心分布（瑞利分布）误差偏心分布（瑞利分布）误差【例【例2-82-8】为检定某机床弹簧夹头的定心精度，用精密千分尺重复量该精密心轴共15次，该心轴的径向跳动量分别为4，6，5，4，5，6，4，5，7，5，4，8，5，4，4。不计系统误差和粗大误差，试求该弹簧夹头所造成得平均径向跳动量及最小和最大径向跳动量。【解】【解】偏心分布 计算68第68页，共163页，编辑于2022年，星期三计算结果因此，该弹簧夹头所造成的径向跳动平均为5 ，最小径向跳动有3 ，最大径向跳动达9 。注意，这里忽略了心轴及千分表的影响 69第69页，共163页，编辑于2022年，星期三4.4.绝对正态分布（差值模分布）误差绝对正态分布（差值模分布）误差【例【例2-92-9】检定某圆度仪的测量精度，选用圆度误差小于0.5的标准球，重复测量10次，误差数据分别为0.9，0.5，0.3，0.4，0.5，1.3，0.6，0.3，0.4，1.1，试求其误差均值和极限误差(单位：)【解】【解】计算圆度误差定义为该标准球上同一截面的最大与最小半径之差的绝对值，故按绝对正态分布处理70第70页，共163页，编辑于2022年，星期三计算结果查表故其检定结果 71第71页，共163页，编辑于2022年，星期三五、测量的极限误差v测量的极限误差是极端误差，测量结果（单次测量或测量列的算术平均值）的误差不超过该极端误差的概率为P，并使差值（1-P）可予忽略。72第72页，共163页，编辑于2022年，星期三单次测量的极限误差v误差落在区间（-,+）之间的概率时，则得：73第73页，共163页，编辑于2022年，星期三v随机误差在 范围内出现的概率为 ，则超出的概率为v测量列单次测量的极限误差：74第74页，共163页，编辑于2022年，星期三算术平均值的极限误差v测量列的算术平均值与被测量的真值之差称为算术平均值误差v当多个测量列的算术平均值误差 为正态分布时，根据概率论知识，同样可得测量列算术平均值的极限表达式为：v测量列的测量次数较少时，应按“学生氏”分布(“student”distribution)或称t分布来计算测量列算术平均值的极限误差，即75第75页，共163页，编辑于2022年，星期三六、不等精度测量v在科学研究或高精度测量中，往往在不同的测量条件下，在科学研究或高精度测量中，往往在不同的测量条件下，用不同的仪器、不同的测量方法、不同的测量次数以及用不同的仪器、不同的测量方法、不同的测量次数以及不同的测量者进行测量与对比，这种测量称之为不同的测量者进行测量与对比，这种测量称之为不等精不等精度测量度测量。v1、不等精度测量的情况、不等精度测量的情况:改变测量次数改变测量次数 改变测量条件改变测量条件 对于不等精度测量，计算最后测量结果及其精对于不等精度测量，计算最后测量结果及其精 度，不度，不能套用前面的等精度测量的计算公式，需推导出新的计能套用前面的等精度测量的计算公式，需推导出新的计算公式。算公式。76第76页，共163页，编辑于2022年，星期三2、“权权”的概念：的概念：各测量结果的各测量结果的可靠程度可靠程度可用一数值来表示可用一数值来表示,这这个数值即称为该测量结果的个数值即称为该测量结果的”权权”,记为记为p。v“权权”的测量方法：的测量方法：测量结果的权说明了测量的可靠程度。测量结果的权说明了测量的可靠程度。因此可因此可因此可因此可根据这一原则来确定权的大小。根据这一原则来确定权的大小。根据这一原则来确定权的大小。根据这一原则来确定权的大小。77第77页，共163页，编辑于2022年，星期三（1）.最简单的方法是按测量的次数来确定权最简单的方法是按测量的次数来确定权（2）.根本的方法是由标准差来确定根本的方法是由标准差来确定78第78页，共163页，编辑于2022年，星期三3 3 3 3、加权算术平均值、加权算术平均值、加权算术平均值、加权算术平均值4 4、
