数列的极限函数的极限概念09[1].09.22.ppt
二二、函数的极限、函数的极限一、数列的极限一、数列的极限 第二节极限的概念 第二二章 一一、数列的极限、数列的极限1.数列极限的定义数列极限的定义(1)数列：数列：简记作简记作称为称为通项通项(一般项一般项).数列也称为整标函数数列也称为整标函数.自变量取正整数的函数自变量取正整数的函数,例如例如,设有数列设有数列如果当如果当n无限增大时无限增大时,xn无限趋近于某个无限趋近于某个确定的常数确定的常数a,的极限的极限,这时这时,也称数列也称数列 xn 收敛于收敛于a.否则否则,称数列称数列 xn 发散发散.则称则称a为数列为数列 xn 记作记作(2)数列极限的定义数列极限的定义定义定义2.1例如例如,趋势不定趋势不定收收 敛敛发发 散散“无限增大无限增大”，“无限接近无限接近”意味着什意味着什么么?如何用数学语言如何用数学语言定量地定量地刻划它？刻划它？a接近接近b的程度用绝对值：的程度用绝对值：表示表示.问题问题:“当当n变得变得任意大任意大时，时，变得变得任意小任意小”“要要使使任意小任意小，只要，只要n充分大充分大”“任意大任意大”与与“任意小任意小”并非彼此无关并非彼此无关.由此可见：由此可见：“充分大充分大”由由“任意小任意小”所所确定确定.如何定量刻划如何定量刻划“任意小任意小”？用用抽象记号抽象记号 表示表示“任意小任意小”的正数的正数.注意：注意：任何任何固定固定的很小的正数都的很小的正数都不能不能表示表示“任意小任意小”.如何刻划如何刻划 n“充分大充分大”？只要只要要使要使不一定是正整数，注意到：不一定是正整数，注意到：从而有从而有于是于是使得当使得当时，有时，有“充分大充分大”定义定义2.2若数列若数列及常数及常数 a 有下列关系有下列关系:当当 n N 时时,总有总有记作记作此时也称数列此时也称数列收敛收敛,否则称数列否则称数列发散发散.或或则称该数列则称该数列 xn 的极限为的极限为 a,3 N 由由所所确定，故记确定，故记但不但不唯一唯一.4不能与不能与n 有关有关.5数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.注注一般来说，一般来说，越小，越小，N 越大越大;3.几何解释几何解释时，时，恒有恒有注注例例1 已知已知证明数列证明数列的极限为的极限为1.证证要使要使即即只要只要因此因此,取取则当则当时时,就有就有故故N是是正整数正整数,所以要取所以要取整整证证所以所以结论结论:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.例例2证证(1)(2)要使要使即即只要只要例例3例例4证证分析分析N不唯一不唯一,证明证明时可以适当放时可以适当放大大故故得证得证.也可由也可由取取证明：证明：证证要使要使只要只要即即则则当当 n N 时，时，有有从而从而例例5思考思考:对于对于例例5,下列推导是否正确：下列推导是否正确：要使要使只要只要故取故取N 不能与不能与 n 有关！有关！注注 将将适当放大的目的，是为了适当放大的目的，是为了易于求易于求 N.放大时，应该注意放大时，应该注意适当适当！即即要求：要求：否则，若否则，若则则 b(n)就不可能任意小就不可能任意小.其中其中小结小结:用定义证明数列极限存在时用定义证明数列极限存在时,关键是任意关键是任意给定给定 0,寻找寻找 N,但不必求最小的但不必求最小的N.自变量的变化过程有自变量的变化过程有六种六种形式形式:二、函数的极限二、函数的极限1.x 时函数时函数 f(x)的极限的极限(1)定义定义2.3 设函数设函数当当(M为某一正数）为某一正数）时有定义时有定义,如果存在常数如果存在常数 A,当当时时,有有则称常数则称常数 A 为函数为函数当当时的时的极限极限,记作记作当当时时,有有(2)几何解释几何解释注注当当时时,有有当当时时,有有1时函数时函数 f(x)的极限：的极限：定理定理2或或则称直线则称直线 y=A为曲线为曲线 y=f(x)的水平渐近线的水平渐近线.如果如果例如，例如，都有水平渐近线都有水平渐近线都有水平渐近线都有水平渐近线又如，又如，再如，再如，都有水平渐近线都有水平渐近线例例6 证明证明证证取取因此因此注注就有就有故故欲使欲使即即2.x x0时函数时函数 f(x)的极限的极限(1)时时函数极限的定义函数极限的定义定义定义2.4 设函数设函数在点在点的某去心的某去心邻域邻域则称常数则称常数 A 为函数为函数当当时的时的极限极限,或或当当时时,总有总有内有定义内有定义.如果存在常数如果存在常数 A,记作记作几何解释几何解释:注注xO1例例7 证明证明证证故故对对任意的任意的当当时时,因此因此总有总有例例9 证明证明证证故取故取当当时时,必有必有因此因此证证只要只要例例10注注为了确保为了确保有有意义，即意义，即只须只须即即Ox左左极限极限:有有极限存在的充要条件极限存在的充要条件:(2)单侧极限单侧极限当当时时,右右例例11 设函数设函数讨论讨论 时时的的极限是否存在极限是否存在.解解因为因为所以所以不不存在存在.内容小结内容小结1.数列极限的数列极限的“N”定义及应定义及应用用2.函数极限的函数极限的或或定义及应用定义及应用思考与练习思考与练习1.若极限若极限存在存在,2.设函数设函数且且存在存在,则则是否一定有是否一定有3.左、右极限定义及左、右极限相等的等价条件左、右极限定义及左、右极限相等的等价条件故故时时,例例4-1已知已知证明证明证证要使要使只要只要即即取取则当则当N不唯一不唯一,证明时证明时可以适当放大可以适当放大也可由也可由取取有有例例5-1证证 注意到注意到为了使为了使于是于是 a=因此因此,则当则当n N 时时,有有只要使只要使证证例例5-2证证例例6-1例例6-2证证例例8证证分析分析例例9-1 证明证明证证要使要使取取则当则当时时,必有必有因此因此只要只要例例10-1证证由由不等式不等式可得可得已知已知即即于是证明了于是证明了左右极限存在，但不相等左右极限存在，但不相等,证证例例11-1例例11-2解解的的左极限及右极限，左极限及右极限，并说明函数在并说明函数在 点点x=1 处的极限存在与否处的极限存在与否.故函数在故函数在 点点x=1 处的极限存在，且处的极限存在，且
