数学分析13-1.ppt

第十三章第十三章函数列与函数项级数函数列与函数项级数13.1 函数项级数及一致收敛性一一 点态收敛点态收敛二二 函数项级数（或函数序列）的基本问题函数项级数（或函数序列）的基本问题三三 函数项级数（或函数列）的一致收敛性函数项级数（或函数列）的一致收敛性四四 一致收敛性判别一致收敛性判别 五五 小结小结问题的提出问题的提出问题问题:（一）函数项级数的一般概念（一）函数项级数的一般概念1.1.定义定义:一一 点态收敛点态收敛现在我们将级数的概念从数推广到函数上去.2.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域:函数项级数的部分和函数项级数的部分和余项余项(x在收敛域上在收敛域上)注意注意函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题,实质上实质上是数项级数的收敛问题是数项级数的收敛问题.3.3.和函数和函数:(定义域是定义域是?)解解由达朗贝尔判别法由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛原级数绝对收敛.原级数发散原级数发散.收敛收敛;发散发散;4.函数项级数与其部分和函数项级数与其部分和在本质上是完全一致的。二二 函数项级数（或函数序列）的基本问题函数项级数（或函数序列）的基本问题1.极限运算与无限求和运算交换次序问题2.求导运算与无限求和运算交换次序问题求导运算与无限求和运算交换次序问题3.极限运算与无限求和运算交换次序问题极限运算与无限求和运算交换次序问题1.函数列及其一致收敛性函数列及其一致收敛性 三三 函数项级数（或函数列）的一致收敛性函数项级数（或函数列）的一致收敛性2.函数项级数的一致收敛性函数项级数的一致收敛性定义定义xyo几何解释几何解释:例例2 2解解余项的绝对值余项的绝对值例例3 3研究级数研究级数在区间在区间(0,1内的一致收敛性内的一致收敛性.解解对于任意一个自然数对于任意一个自然数因此级数在因此级数在(0,1)内不一致连续内不一致连续说明说明:从下图可以看出从下图可以看出:但但虽然函数序列虽然函数序列在在(0,1)内处内处处处在在(0,1)内各点处收内各点处收收敛于收敛于敛于零的敛于零的“快慢快慢”程度是不一致的程度是不一致的(1,1)1小结小结一致收敛性与所讨论的区间有关一致收敛性与所讨论的区间有关3.内闭一致收敛内闭一致收敛（1）概念（2）性质四四.一致收敛性判别一致收敛性判别 定理定理13-1（函数列一致收敛的柯西准则）2.一致收敛的柯西准则一致收敛的柯西准则1用定义用定义 由上确界的定义，亦有 定理定理13-3（函数项级数一致收敛的柯西准则）定理定理13.513.5（WeierstrassWeierstrass判别法）判别法）4.一致收敛性简便的判别法：一致收敛性简便的判别法：证证例例4 4证明级数证明级数证证（2）由此判别法所得结果是绝对一致收敛绝对一致收敛的.5.五、小结五、小结点态收敛点态收敛函数项级数（或函数序列）的基本问题函数项级数（或函数序列）的基本问题一致收敛性判别一致收敛性判别 函数项级数（或函数列）的一致收敛性函数项级数（或函数列）的一致收敛性作业：P35 1-6.