理学理论力学里所有习题.pptx
第1页/共91页解：1 1、P 点运动方程例：求 P 点的运动方程，P 点的速度和加速度OxyABP2 2、P 点的速度和加速度第2页/共91页第3页/共91页列车沿铁轨行驶 若将列车视为质点且运动轨迹已知。问题:质点M沿椭圆轨道匀速率运动，如何确定其加速度的大小和方向？问题:如果已知点的运动轨迹和点的速度的大小随时间的变化规律，如何确定点的加速度?过山车 车辆转弯时，为什么要限速？高速路坡度拐弯？卫星变轨时从近地轨道转移到远地轨道时，速度的增量是多少？第4页/共91页例：已知点的运动方程，求点任意时刻的速度、加速度的大小和运动轨迹的曲率半径。运动方程:解：第5页/共91页例：半径为R的车轮在地面上纯滚动，轮心速度的大小为u（常量）。求圆盘与地面接触点的加速度。解：建立M M点的运动方程第6页/共91页例：已知图示瞬时动点A的速度和加速度，求该瞬时动点A的 。已知：解：A(x,y)第7页/共91页第8页/共91页第9页/共91页第10页/共91页第11页/共91页第12页/共91页第13页/共91页第14页/共91页第15页/共91页第16页/共91页内力的性质内力的性质对任何一对质点间的相互作用力,由牛顿第三定律知:证明证明:表示第j个质点对第i个质点的作用力.质点组中所有内力的矢量和等于零。由于内力是成对出现的第二章第17页/共91页质点组的所有内力对任一参考点的力 矩的矢量和恒为零.对上式求和就是质点组的所有内力对o点的力矩的矢量和第二章第18页/共91页求半径为R的均质半球的质心。o例题：第二章第19页/共91页质点水平方向的加速度 ;劈的加速度 ;劈对质点的反作用力R1;水平面对劈的反作用力R2.例：质量为m1的质点，沿倾角为 的光滑直角劈滑下，劈的本身质量为m2，又可在光滑水平面上 自由滑动。试求第二章第20页/共91页令 为沿斜面下滑的速度（相对），则第二章第21页/共91页（非惯性系）对m1有第二章第22页/共91页第二章第23页/共91页例题：雨点开始自由下落时的质量为 ，在下落过程中，单位时间内凝结在它上面的水汽质量为 ，略去空气阻力，试求雨点在t秒后所下落的距离。解：因为第二章第24页/共91页积分得：再积分得：第二章第25页/共91页xyzabcO例：求力系Fi向O点简化的结果。解：1、2、3、根据主矢和主矩的计算结果判断该力系的简化结果。第三章第26页/共91页证明：设三个力不平行且平衡,则：三力共面且作用线交于一点ABCBACABCDABCD若三力平衡，有：由此得：共面因为 不平行，相交于D点 合成为力由二力平衡原理得：三力作用线共面且交于一点第三章第27页/共91页例：已知ABAB梁长为l，其上受有均布载荷q，求A处的约束力。AB解：研究AB梁，画受力图。AB第三章第28页/共91页例 题一根均匀的棍子，重为P，长为 。今将其一端置于粗糙地面上，又一其上的c点靠在墙上，墙离地面的高度为h,当棍子与地面的角度 为最小值 时，棍子在上述位置仍处于平衡状态，求棍子与地面的摩擦系数 。解：是共面力系的平衡问题第三章第29页/共91页解出第三章第30页/共91页例 题半径为r的光滑半球形碗，固定在平面上。一均匀棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端在碗外，在碗内的长度为c，试证棒的全长为 第三章第31页/共91页解：均质棒受到碗的弹力分别为棒自身重力为。棒与水平方向的夹角为设棒的长度为 由于棒处于平衡状态，所以棒沿轴和轴的和外力为零 第三章第32页/共91页沿过点且与轴平行的合力矩为0。即：由式得：又由于将代入得：第三章第33页/共91页例题：设质量为m的复摆绕通过某点o的水平轴作微小振动，试求其运动方程及其振动周期，并加以讨论。思路:根据转动定律求出振动动力学方程求其运动方程及其振动周期第三章第34页/共91页解 运动微分方程由转动方程周期第三章第35页/共91页周期与单摆所具有的形式很类似，所以说单摆是复摆的一个特例。第三章第36页/共91页解解 选取均匀杆模型进行估算，选取均匀杆模型进行估算，则自然步频率等于杆的固有频则自然步频率等于杆的固有频率时（共振）最舒服，如图：率时（共振）最舒服，如图：Omgl取取l l为为1 1米，则步频率米，则步频率为为1.621.62秒秒 例 每个人行走时都会有一种自然步频，以这种步频行走很舒服，而试图以较快或较慢的步频行走会感到不舒服。略去膝关节的效应，试用一种最简单的模型来估算该步频。由转动方程第三章第37页/共91页OAB例：已知OA杆的角速度，求图示瞬时滑块B的速度和 AB杆的角速度。解：研究AB杆，取A为基点（1）式在AB杆上投影（1）式在OA杆上投影第三章第38页/共91页解：例：曲柄OA以匀角速度 转动。求当 =60时，滑块B的速度及连杆AB的角速度。研究连杆AB：（1 1）速度瞬心可以位于平面运动刚体之上，）速度瞬心可以位于平面运动刚体之上，也可以位于其延展体上。也可以位于其延展体上。讨论讨论 第三章第39页/共91页研究连杆AB：（2）当 =90时，滑块B的速度及连杆AB的角速度为多少？P？该瞬时，连杆AB的速度瞬心速度瞬心P P在无穷远处，A为基点，杆AB上任一点M的速度该瞬时该瞬时ABAB上各点的速度相等。上各点的速度相等。各点加速度是否相等各点加速度是否相等?该瞬时该瞬时图形上各点的速度分布如同图形作故图形在该瞬时该瞬时的运动称为瞬时平移瞬时平移。平移时的一样。第三章第40页/共91页例:沿直线轨道轨道作纯滚动的车轮，其半径为R，轮心的速度为u，求轮上A、B、C、D的速度。解：车轮与轨道的接触点A为速度瞬心。车轮的角速度为速度瞬心法的特点：速度瞬心法的特点：（1）计算简便；）计算简便；（2）直观解了平面运动图形上各点的速度分布）直观解了平面运动图形上各点的速度分布。第三章第41页/共91页例题长为 的直杆，A端搁在水平地面上，B端靠在墙上，已知A端的水平速度为 ，求杆与竖直方向成 角时B端的速度和杆的角速度。解：瞬心法：方向y轴负方向第三章第42页/共91页基点法求速度 第三章第43页/共91页例 无滑下滚圆柱体的加速度和约束反力。COmgNfOyxC解 （A）机械能守恒定律动能势能机械能求微商，得实心圆柱体空心圆柱体不能求约束反力第三章第44页/共91页质心C点的平动方程：绕质心C点的转动方程：联立方程可求得：COmgNfOyxC解 （B）运动定理第三章第45页/共91页解：解：解：解：这个是一般运动问题这个是一般运动问题 例例 当飞机在空中以定值速度V沿半径为R的水平圆形轨道C转弯时，求当螺旋桨尖端B与中心A的联线和沿垂线成角时，B点的速度及加速度。已知螺旋桨的长度AB l，螺旋桨自身旋转的角速度为1。因此，B点的速度为：第三章第46页/共91页B B点的加速度为：点的加速度为：为恒矢量所以第三章第47页/共91页第三章第48页/共91页AB 例：物块A、B放在半径为R处于静止的水平圆盘的边缘，两者间的静滑动摩擦因数为f，物块的质量分别为mA mB，将物块视为质点，圆盘以角速度t 绕铅垂轴转动。试确定圆盘转动后，物块开始滑动的时间。gf R R解：受力分析与运动分析在圆盘面内：t第49页/共91页 例例 在一光滑水平直管中，有一质量为m的小球，此管以恒定角速度绕通过管子一端的竖直轴转动。如果起始时，球距转动轴的距离为a，球相对于管子的速度为零，求小球沿管的运动规律及管对小球的约束反作用力。解 非惯性参照系小球运动微分方程第50页/共91页ABO二、虚功 虚功（virtual work)：作用于质点(系)上的力在虚位移上所作的功。例：若OAOA杆的虚位移为 ，OAR，求力F 的虚功。第51页/共91页例题：若斜块A A和滑块B B之间 （1 1）：有摩擦；（2 2）：无摩擦。则该系统是否是理想约束AB地面光滑（1）：有摩擦是非理想约束（2）：无摩擦是理想约束第52页/共91页例：已知 OA=L，求系统在图示位置平衡时，力偶矩M与力F的关系（不计摩擦）ABO基本步骤：基本步骤：1.确定系统是否满足原理的应用条件确定系统是否满足原理的应用条件2.分析主动力作用点的虚位移分析主动力作用点的虚位移3.求主动力的虚功之和求主动力的虚功之和 第53页/共91页BOA第54页/共91页AO研究OA杆研究AB 杆和滑块BABOAB平衡方程的求解方法第55页/共91页其中：称为对应于 的广义力BA例题：套筒A和小球B的重力分别为W1和W2，求系统对应于坐标yA的广义力。第56页/共91页例：求系统的平衡位置。若已知：yxO解：方法一根据 独立性第57页/共91页yxO解：方法二yxO第58页/共91页例 题半径为r的光滑半球形碗，固定在平面上。一均匀棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端在碗外，在碗内的长度为c，试证棒的全长为 解：1个自由度第59页/共91页B ByxoA2 2N N1 1N NG G图题1.3.1yxoA2 2N N1 1N N第60页/共91页解：均质棒受到碗的弹力分别为棒自身重力为。棒与水平方向的夹角为设棒的长度为 由于棒处于平衡状态，所以棒沿轴和轴的和外力为零 第61页/共91页沿过点且与轴平行的合力矩为0。即：由式得：又由于将代入得：第62页/共91页平衡的稳定性解：取 =0=0 为系统的零势位若：平衡位置是稳定的。例：系统如图所示，滑块的质量为m,杆长为L(不计质量)，当杆铅垂时弹簧无变形，求系统的平衡位置并分析其稳定性。第63页/共91页5-3 5-3 达朗贝尔原理 动静法例：已知：，求A、B 的约束力。解：研究整体,受力分析与运动分析附加动反力：由于运动引起的约束力第64页/共91页5-3 5-3 刚体惯性力系的简化1、将惯性力向质心、将惯性力向质心C简化简化2、将惯性力向转轴、将惯性力向转轴A简化简化3、将惯性力向杆上、将惯性力向杆上B点简化点简化AB惯性力向质心C简化：AB惯性力向转轴A简化：思考题：已知均质杆长为 L，质量为m，角速度为零，角加速度为 ，AB惯性力向转轴B简化：如何确定惯性力合力的作用线？第65页/共91页AB动静法的应用例：已知 L,m,初始时无初速度，求初始时杆的角加速度和约束力问题：问题：求解该题有几种方法？求解该题有几种方法？方法一：动静法解：受力分析、运动分析、添加惯性力建立“平衡”方程求解方程第66页/共91页动静法的应用方法三：应用动能定理和质心运动定理方法二：应用动量矩定理和质心运动定理运动学关系：AB第67页/共91页第68页/共91页例：图示系统在铅垂平面内运动，各物体的质量均为m，圆盘的半径为R，圆盘在地面上纯滚动，若板上作用在一个力F。求板的加速度。F应用动力学普遍方程解：运动分析 系统自由度k=1受力分析虚位移分析由动力学普遍方程得：第69页/共91页ABCABC例：图示系统在铅垂平面内运动，各物体的质量均为m，圆盘的半径为R，绳索与圆盘无相对滑动。求滑块的加速度和圆盘C 的角加速度。受力分析解：运动分析应用动力学普遍方程自由度K=2第70页/共91页ABC系统的虚位移动力学普遍方程：ABC第71页/共91页问题：1、系统有几个自由度2、系统的广义坐标是什么3、如何建立运动微分方程4、系统存在哪些守恒量 图示机构在铅垂面内运动，均质圆盘在地面上纯滚动，物体间用光滑铰链连接。已知各物体的质量和几何量。ABC第72页/共91页例题质点在主动力F的作用下作平面曲线运动，求其平面极坐标下动力学方程表达式。解：第73页/共91页令则令则令第74页/共91页代入基本形式的拉格郎日方程第75页/共91页例求质点在单摆中的动力学方程广义坐标为S=1第76页/共91页代入 动力学方程第77页/共91页例求质点在重力场中的动力学方程广义坐标为x,y.z S=3第78页/共91页代入 第79页/共91页例求质点在重力场中的运动广义坐标为x,y.z S=3第80页/共91页拉氏函数不显含循环坐标物理含义：抛体运动中，x，y方向动量守恒。第81页/共91页2.如图所示，轴为竖直而顶点在下的抛物线金属丝，以匀角速 绕轴转动，一质量为 的小环，套在此金属丝上，并可沿着金属丝滑动，试用分析力学的方法求出小环在 方向的运动微分方程。已知抛物线的方程为 ，式中 为一常数。yxo图4（第六题）第82页/共91页自由度是1 解：yxo图4（第六题）根据转动参照系速度关系可以写出因而质点相对于静止坐标系的动能是第83页/共91页-代入保守系的拉格朗日方程得第84页/共91页3如图所示，有一质量为m的单摆B，摆长为 ，摆悬挂在质量为M的滑块A 上，滑动可在一光滑直线轨道上运动。第85页/共91页 第86页/共91页+代入拉格朗日方程所以x为循环坐标 水平方向上动量守恒第87页/共91页4.质量为m1的质点被限制在固定的光滑直线上滑动，另一质量为m2的质点，以一长度为 的无质量杆和m1相连，设杆仅在通过固定直线 的竖直平面内运动，且二质点仅受重力作用。第88页/共91页m1m2第89页/共91页选择轴所在平面为零时能参考点 X为循环坐标X方向动量守恒第90页/共91页感谢您的观看！第91页/共91页
