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第3章正交分解本讲稿第一页，共七十一页23.2.1 矢量的正交分解矢量的正交分解2.矢量的正交分解矢量的正交分解1.正交矢量正交矢量本讲稿第二页，共七十一页3本讲稿第三页，共七十一页4则称此函数集为在区间则称此函数集为在区间（t t1 1,t,t2 2）内的正交函数集。内的正交函数集。于是于是信号信号 在区间在区间（t t1 1,t,t2 2）内可以用内可以用n n个互相正交的函数表示个互相正交的函数表示为：为：最佳近似系数：最佳近似系数：3.2.2 实信号的正交分解实信号的正交分解本讲稿第四页，共七十一页5则称此函数集为在区间则称此函数集为在区间（t t1 1,t,t2 2）内的正交复变函数集。内的正交复变函数集。于是于是信号信号 在区间在区间（t t1 1,t,t2 2）内可以用内可以用n n个互相正交的函数表个互相正交的函数表示为：示为：最佳近似系数：最佳近似系数：3.2.3 复变信号的正交分解复变信号的正交分解本讲稿第五页，共七十一页6与矢量分解相似，用一正交函数集中的分量去代表任意一个函与矢量分解相似，用一正交函数集中的分量去代表任意一个函数，这个函数集必须是一完备的正交函数集。数，这个函数集必须是一完备的正交函数集。完备的正交函数集完备的正交函数集有两种定义：有两种定义：A.如果用正交的函数集如果用正交的函数集 在区间在区间（t t1 1,t,t2 2）内近似表内近似表示示 ，若令，若令 ，则称该函，则称该函数集为完备的正交函数集。数集为完备的正交函数集。B.B.如果在正交函数集如果在正交函数集 之外，不存在之外，不存在函数函数 ，满足等式，满足等式:则这个函数集称为完备的则这个函数集称为完备的正交函数集。正交函数集。本讲稿第六页，共七十一页73.3.1 三角傅里叶级数三角傅里叶级数三角函数集三角函数集 在区间在区间（t t0 0,t,t0 0+T+T）()()内为完备的正交函数集。内为完备的正交函数集。本讲稿第七页，共七十一页8任何周期为T的函数f(t)都可分解为无限个正弦和余弦函数的代数和，即f(t)在(t0,t0+T)区间的三三角角傅傅里里叶叶级级数数展开。直流分量 n次谐波分量n=1，基波分量本讲稿第八页，共七十一页直流分量余弦分量系数正弦分量系数本讲稿第九页，共七十一页10基波频率基波频率 ，n n 次谐波频率次谐波频率 令令则则其中其中可证可证:(即即在在一一定定区区间间内内，任任一一 可可以以用用一一直直流流分分量量和和一一系系列列谐波分量之和来表示）谐波分量之和来表示）本讲稿第十页，共七十一页11本讲稿第十一页，共七十一页实用中进行信号分析时，不可能无限多次谐波，而只能取有限项来近似，这不可避免地要有误差n愈大，即所取级数项数愈多，方均误差愈小。方均误差趋于零。本讲稿第十二页，共七十一页例3-1 将下列方波信号展开成三角级数1-1tTT/2本讲稿第十三页，共七十一页14本讲稿第十四页，共七十一页153.3.2 指数傅里叶级数指数傅里叶级数虚指数函数集虚指数函数集 在区间在区间（t t1 1,t,t1 1+T+T）()()内为完备的正交函数集。内为完备的正交函数集。本讲稿第十五页，共七十一页本讲稿第十六页，共七十一页17指数与三角傅氏级数的关系指数与三角傅氏级数的关系a0本讲稿第十七页，共七十一页18指数与三角傅氏级数的关系指数与三角傅氏级数的关系定义复数振幅定义复数振幅本讲稿第十八页，共七十一页193.3.3 周期函数的奇偶性及其三角傅里叶级数特点周期函数的奇偶性及其三角傅里叶级数特点奇函数 是奇函数。周期奇函数的三角傅里叶级数：只有正弦项。偶函数 是偶函数。周期偶函数的三角傅里叶级数：只有余弦项（可能有直流项）。非奇非偶函数三角傅里叶级数：正弦项、余弦项都有，可能有直流分量。本讲稿第十九页，共七十一页20非奇非偶函数本讲稿第二十页，共七十一页21本讲稿第二十一页，共七十一页周期函数的奇谐偶谐性判定及其傅里叶级数特点周期函数的奇谐偶谐性判定及其傅里叶级数特点奇谐函数傅里叶级数：只有奇次谐波。偶谐函数傅里叶级数：只有偶次谐波。非奇谐非偶谐函数傅里叶级数：偶次谐波和奇次谐波同时存在。本讲稿第二十二页，共七十一页23 周期信号周期信号 f(t)的傅立叶级数中所含有的频率分量是的傅立叶级数中所含有的频率分量是_。(A)余弦项的奇次谐波，无直流余弦项的奇次谐波，无直流 (B)正弦项的奇次谐波，无直流正弦项的奇次谐波，无直流 (C)余弦项的偶次谐波，直流余弦项的偶次谐波，直流 (D)正弦项的偶次谐波，直流。正弦项的偶次谐波，直流。例 1偶函数：只含余弦项；偶函数：只含余弦项；半周重叠：半周重叠：只含偶次谐波和直流只含偶次谐波和直流C本讲稿第二十三页，共七十一页24例 2 周期信号周期信号 f(t)的傅立叶级数中所含有的频率分量是的傅立叶级数中所含有的频率分量是_。(A)余弦项的奇次谐波，无直流余弦项的奇次谐波，无直流 (B)正弦项的奇次谐波，无直流正弦项的奇次谐波，无直流 (C)余弦项的偶次谐波，直流余弦项的偶次谐波，直流 (D)正弦项的偶次谐波，直流。正弦项的偶次谐波，直流。奇函数：只含正弦项；奇函数：只含正弦项；奇函数：只含正弦项；奇函数：只含正弦项；半周镜象对称：半周镜象对称：半周镜象对称：半周镜象对称：只含奇次谐波只含奇次谐波只含奇次谐波只含奇次谐波B B本讲稿第二十四页，共七十一页25例例 3 3 习题习题3.83.8（1）已知周期信号f(t)前四分之一周期的波形如图所示，按下列条件绘出整个周期内的信号波形。f(t)是t的偶函数，其傅里叶级数只有偶次谐波；解：波形纵轴对称；半周重叠。解：波形纵轴对称；半周重叠。f(t)=f(t+T/2)f(t)=f(-t)本讲稿第二十五页，共七十一页26习题习题3.8（2）已知周期信号f(t)前四分之一周期的波形如图所示，按下列条件绘出整个周期内的信号波形。f(t)是t的偶函数，其傅里叶级数只有奇次谐波；解：波形纵轴对称；半周镜象重叠。解：波形纵轴对称；半周镜象重叠。f(t)=-f(t+T/2)f(t)=f(-t)本讲稿第二十六页，共七十一页273.4 周期信号的频谱频谱图振幅频谱振幅频谱 相位频谱相位频谱本讲稿第二十七页，共七十一页28周期方波信号本讲稿第二十八页，共七十一页29A周期性矩形脉冲本讲稿第二十九页，共七十一页30特点：离散性、谐波性、收敛性特点：离散性、谐波性、收敛性本讲稿第三十页，共七十一页31周期周期T不变，脉冲宽度不变，脉冲宽度 变化变化本讲稿第三十一页，共七十一页32 由大变小，由大变小，An 的第一个过零点频率增大，的第一个过零点频率增大，即即 ，称为信号的频带宽度，称为信号的频带宽度，确定了频带宽度。确定了频带宽度。由大变小，频谱的频带变宽，频谱的幅度变小。由大变小，频谱的频带变宽，频谱的幅度变小。由于由于 T 不变，谱线间隔不变，即不变，谱线间隔不变，即 不变。不变。本讲稿第三十二页，共七十一页33脉冲宽度脉冲宽度 不变不变,周期周期T变化变化本讲稿第三十三页，共七十一页34 不变，An 的第一个过零点频率不变，即 ，频带宽度不变。T 由小变大，谐波频率成分丰富，并且频谱的幅度变小。T 时，谱线间隔 0，这时：周期信号 非周期信号；离散频谱 连续频谱本讲稿第三十四页，共七十一页35周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点唯一性：一个周期信号与它的频谱（幅度频谱和相位频谱）之间存在一一一个周期信号与它的频谱（幅度频谱和相位频谱）之间存在一一对应的关系。对应的关系。离散性：频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦量，故称频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦量，故称为离散频谱。为离散频谱。谐波性：频谱的每条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上。频谱的每条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上。收敛性：各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小。减小。一般将最大的频谱幅度形象化称为一般将最大的频谱幅度形象化称为主峰高度。主峰高度。本讲稿第三十五页，共七十一页36频带宽度理论上周期信号的谐波分量无限多。实际只考虑频率理论上周期信号的谐波分量无限多。实际只考虑频率较低的一部分分量。较低的一部分分量。周期信号的频带宽度周期信号的频带宽度从零频率开始到需要考虑的从零频率开始到需要考虑的最高分量的频率间的这一频率范围，简称最高分量的频率间的这一频率范围，简称频宽频宽。包络线为抽样函数包络线为抽样函数的频谱的频带宽度的频谱的频带宽度从从零频率零频率开始到频谱包络线开始到频谱包络线第一第一次过零点的频率次过零点的频率(2/)之间的频率范围。之间的频率范围。一般信号一般信号的频谱的的频带宽度的频谱的的频带宽度从从零频率零频率开始到频谱振幅降为开始到频谱振幅降为包络线最包络线最大值（主峰高度）的大值（主峰高度）的1/10的频率之间的频率范围。的频率之间的频率范围。一切脉冲信号的脉宽一切脉冲信号的脉宽（脉冲宽度脉冲宽度）与频宽成反比；时间函与频宽成反比；时间函数中变化较快的信号必定具有较宽的频带。数中变化较快的信号必定具有较宽的频带。本讲稿第三十六页，共七十一页37离散频谱与连续频谱时域时域中中连续的周期函数连续的周期函数，它的频谱在，它的频谱在频域频域中是中是离散的离散的非周期函数。非周期函数。当周期增大，频谱也相应地渐趋密集，频谱的幅当周期增大，频谱也相应地渐趋密集，频谱的幅度也相应的渐趋减小。当度也相应的渐趋减小。当 T （周期函数变成非周（周期函数变成非周期函数）时，频谱线无限密集，频谱幅度无限趋小。这期函数）时，频谱线无限密集，频谱幅度无限趋小。这时，时，离散频谱就变成连续频谱离散频谱就变成连续频谱。本讲稿第三十七页，共七十一页383.5 3.5 傅里叶变换与非周期信号的频谱傅里叶变换与非周期信号的频谱 频谱密度函数频谱密度函数，简称频谱函数简称频谱函数傅里叶正变换式傅里叶正变换式本讲稿第三十八页，共七十一页39傅里叶反变换式傅里叶反变换式本讲稿第三十九页，共七十一页40非周期信号的傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶反变换傅里叶反变换傅里叶反变换傅里叶反变换简记：简记：简记：简记：F F(j(j )=)=F F f f (t(t)称频谱函数；称频谱函数；称频谱函数；称频谱函数；或记为：或记为：或记为：或记为：一一般般来来说说，傅傅里里叶叶变变换换存存在在的的充充分分条条件件为为 f(t)应应满满足足绝绝对对可可积积，即即要求要求 f f (t(t)=F F(j(j )称为原函数。称为原函数。称为原函数。称为原函数。F F-1-1 本讲稿第四十页，共七十一页41与周期信号的傅里叶级数类似，与周期信号的傅里叶级数类似，一般为复函数一般为复函数频率特性频率特性称为称为幅频幅频特性；特性；称为称为相频相频特性。特性。频率特性频率特性本讲稿第四十一页，共七十一页423.6 3.6 常用信号的傅里叶变换常用信号的傅里叶变换 本讲稿第四十二页，共七十一页43本讲稿第四十三页，共七十一页44本讲稿第四十四页，共七十一页45=本讲稿第四十五页，共七十一页46p.115本讲稿第四十六页，共七十一页473.7 3.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 本讲稿第四十七页，共七十一页48一般周期信号一般周期信号本讲稿第四十八页，共七十一页例3-7 求均匀冲激序列的傅里叶变换。本讲稿第四十九页，共七十一页1.线性特性线性特性且设a1,a2为常数，则有 若 3.8 3.8 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质 本讲稿第五十页，共七十一页512.2.延时特性延时特性 含义：信号在时域中延时对应在频域中移相。本讲稿第五十一页，共七十一页52本讲稿第五十二页，共七十一页533.3.移频特性移频特性 表明：信号在时域中与因子 相乘，等效于频域中频率的转移 推论：本讲稿第五十三页，共七十一页54本讲稿第五十四页，共七十一页554.4.尺度变换特性尺度变换特性 若 则 含义：在时域内,信号 沿时间轴压缩至原来的 ,对应于频域中，它的频谱函数展宽 倍。即信号的脉宽与频宽成反比。本讲稿第五十五页，共七十一页56本讲稿第五十六页，共七十一页57推论 例：求 的傅里叶变换 解：本讲稿第五十七页，共七十一页585.5.奇偶特性奇偶特性 如果 是t的实函数，且设 则有(1)(2)偶偶偶偶奇奇奇奇实偶实偶实偶实偶实奇实奇虚奇虚奇本讲稿第五十八页，共七十一页596.6.对称性质对称性质 推论本讲稿第五十九页，共七十一页60213例例1例例2本讲稿第六十页，共七十一页61例例3本讲稿第六十一页，共七十一页62 7 7、时域微分特性、时域微分特性 含义：含义：信号对时间取导数，相当于在频域中用因子信号对时间取导数，相当于在频域中用因子 去乘去乘它的频谱函数它的频谱函数。本讲稿第六十二页，共七十一页638 8、时域积分特性、时域积分特性 推论：推论：则本讲稿第六十三页，共七十一页64求导求导求导本讲稿第六十四页，共七十一页65本讲稿第六十五页，共七十一页669 9、频域的微分与积分性质、频域的微分与积分性质 若若 则则 本讲稿第六十六页，共七十一页6710.10.卷积定理卷积定理 1 1时域卷积定理时域卷积定理 2 2频域卷积定理频域卷积定理 本讲稿第六十七页，共七十一页683.9 3.9 帕赛瓦尔定理与能量频谱帕赛瓦尔定理与能量频谱（一）（一）信号的能量信号的能量W W和平均功率和平均功率P P 1.1.信号的能量：信号的能量：2 2信号的平均功率：信号的平均功率：3 3能量信号（能量有限信号）能量信号（能量有限信号）能量为有限值（能量为有限值（W W有限值，有限值，P=0P=0）4.4.功率信号功率信号 平均功率为有限值（平均功率为有限值（P P有限值，有限值，W=W=）本讲稿第六十八页，共七十一页69（二（二）周期信号的功率周期信号的功率表明：表明：对周期信号，对周期信号，在时域中求得的信号功率与在频域中求在时域中求得的信号功率与在频域中求得信号功率相等，得信号功率相等，且频域中的信号功率表示为各谐波分且频域中的信号功率表示为各谐波分量功率之和，其中每一分量的功率为该谐波的方均值。量功率之和，其中每一分量的功率为该谐波的方均值。周期信号的功率等于该信号在完备正交函数集中各周期信号的功率等于该信号在完备正交函数集中各分量功率之和。分量功率之和。本讲稿第六十九页，共七十一页70(三）三）非周期信号的能量和能谱（能量密度频谱函数）非周期信号的能量和能谱（能量密度频谱函数）1 1.非周期信号的能量非周期信号的能量表明：表明：对非周期信号，在时域中求得的信号能量与在频域中求对非周期信号，在时域中求得的信号能量与在频域中求得的信号能量相等。得的信号能量相等。雷利定理雷利定理 本讲稿第七十页，共七十一页712 2.非周期信号的能谱非周期信号的能谱 能量密度频谱（能谱）定义：能量密度频谱（能谱）定义：单位角频率的能量，单位角频率的能量，以以 表示表示 本讲稿第七十一页，共七十一页