《数据、模型与决策 (第二版)》第二章建模和实例.ppt

第二章 建模和实例第二章 建模和实例数据、模型与决策学习目标介绍建模的一般原理了解专业定量分析人员的工作方式在实例中体会建模的技巧与经验的应用 读者对该章可以采用泛读的方式，形成一个初步的概念即可。第二章 建模和实例数据、模型与决策第二章 建模和实例2.1 模型概论2.2 建立数学模型的一般过程2.3 若干初等模型2.4若干博弈模型第二章 建模和实例数据、模型与决策2.1 模型概论2.1.1 模型的本质2.1.2 模型的目的性2.1.3 模型的类型第二章 建模和实例数据、模型与决策2.1.1 模型的本质实体：客观存在的一切事物，都称之为实体，实体是人们认识与实践的对象或客体。模型就是对实体描述的像模型就是用人类可交流的语言或工具（如图像、文字、算符）对实体某一层次的特性与规律的描述。第二章 建模和实例数据、模型与决策2.1.2 模型的目的性人类认识的目的性：人类发展的特殊阶段，往往有特定的价值取向，对有选择的实体选择特定的层次进行研究，这就是人类认识的目的性。借用其他人应用成功的模型解决自己的问题时要特别慎重第二章 建模和实例数据、模型与决策2.1.3 模型的类型宏观 -物理模型 -思考模型 数学模型：用数学语言描述的模型 -模拟模型：根据系统的结构功能原理，由于不同的结构可以有共同的功能的特点，用一个实体的一部分功能来模拟另一实体中相同或类似功能第二章 建模和实例数据、模型与决策第二章 建模和实例2.1 模型概论2.2 建立数学模型的一般过程2.3 若干初等模型2.4若干博弈模型第二章 建模和实例数据、模型与决策2.2 建立数学模型的一般过程第二章 建模和实例数据、模型与决策2.2 建立数学模型的一般过程2.2.1 明确问题，确定目标2.2.2 模型假设2.2.3 建模2.2.4 模型求解2.2.5 模型解的分析与检验第二章 建模和实例数据、模型与决策2.2.1 明确问题，确定目标明确问题：问题的明确就要明确到问题的表达能对应于一种数学结构，而数学结构所展示的模型的解则与问题相对应。（七桥问题）第二章 建模和实例数据、模型与决策2.2.2 模型假设模型假设：对建模对象的特征与存在条件作简化两层含义 -问题的宏观简化与假设 -在宏观简化后变量与变量之间关系的假设第二章 建模和实例数据、模型与决策2.2.3 建模建模：选择一个合理的数学形式，使实际问题中的要素和关系用数学语言表达出来。第二章 建模和实例数据、模型与决策2.2.4 模型求解建模后，可能会涉及纯数学的求解问题，重要的是模型的某种形式解的存在性，或某种形式的解可以转化为解决实际问题的答案。第二章 建模和实例数据、模型与决策2.2.5 模型解的分析与检验模型解的特征是对模型可否接受检验的一个方面，这往往同模型的假设、模型的结构设定及其他步骤联系起来，可能会反馈回去修改假设与模型。第二章 建模和实例数据、模型与决策第二章 建模和实例2.1 模型概论2.2 建立数学模型的一般过程2.3 若干初等模型2.4若干博弈模型第二章 建模和实例数据、模型与决策2.3 若干初等模型2.3.1 椅子的稳定性问题2.3.2 椭圆面积与长短轴的函数关系2.3.3 质量损失描述模型2.3.4 物价指数的困难2.3.5 用四脚动物的身长估计动物的体重第二章 建模和实例数据、模型与决策2.3.1 椅子的稳定性的问题四只脚的椅子，可能由于地面或椅子脚不共面等问题而导致四脚不能同时着地。经验上，人们一般会通过平移、转动椅子等手段使椅子平稳。这里是否有规律性的东西呢？很显然，四脚不共面时，即使是一个平面地面也是无法摆平的。完美到地面是平面，四脚又共面也是无需讨论的。考虑较普通的情况，即地面略有高低变化，椅子四只脚共面，这将会有什么样的结果呢？第二章 建模和实例数据、模型与决策2.3.1 椅子的稳定性的问题假设：地面的高低变化是连续的 椅子四脚是一个平面上的正方形在连续曲面上找到一个共平面的正方形是否存在适当的转角，使四脚着地第二章 建模和实例数据、模型与决策2.3.1 椅子的稳定性的问题以椅子的初始位置对角线为两坐标轴，如图，设A脚离地，B、C、D脚着地。第二章 建模和实例数据、模型与决策2.3.1 椅子的稳定性的问题当转角为 时，用 表示四脚离地面的高度，并作B、C、D脚保持着地的转动，则问题又转化为存在 ，使得第二章 建模和实例数据、模型与决策2.3.1 椅子的稳定性的问题注意到任一 ，四脚中总有三脚可着地，因此必有一相对两脚同时着地，而另一脚离地的高度可以与对脚离地高度转换（只要一按离地脚就可），因此可设：则第二章 建模和实例数据、模型与决策2.3.1 椅子的稳定性的问题问题又转化为找，使如果转动中对任一 有 ，其余脚着地，且当转到90时还是保持这种状态，则由正方形在转动到90时的对称性，可得C、D、A脚着地而B脚离地。从初始状态可得，A点地面在B、C、D决定的平面的下方，转到90时又有B点又在C、D、A决定的平面的下方，这是显然不可能的，即转不到90就会同时着地。第二章 建模和实例数据、模型与决策2.3.1 椅子的稳定性的问题令则而由对称性，知即第二章 建模和实例数据、模型与决策2.3.1 椅子的稳定性的问题由地面的假设可认为 是连续函数，所以由连续函数的介值定理，存在 ，从而有第二章 建模和实例数据、模型与决策2.3.2 椭圆面积与长短轴的函数关系寻找一种函数关系，来描述椭圆面积 与长轴、短轴 的关系：第二章 建模和实例数据、模型与决策2.3.2 椭圆面积与长短轴的函数关系 首先，可以假设 ，且 是光滑函数。进而从 寻找应该满足的条件：-，即把椭圆旋转，面积不变。-，即当长轴、短轴至少有一个为零时，椭圆退化为一长线段或一点，因而面积会为零。-即变更长度单位，面积的变化是长度单位的平方。-当 时，这是椭圆为圆时的要求。第二章 建模和实例数据、模型与决策2.3.2 椭圆面积与长短轴的函数关系 将光滑函数展开成幂级数的形式 由 ，得：同理由 ，得：这样得到 的形式是：第二章 建模和实例数据、模型与决策2.3.2 椭圆面积与长短轴的函数关系由 ，得：再由 ，得：当 时，而 ，因此得第二章 建模和实例数据、模型与决策2.3.2 椭圆面积与长短轴的函数关系这样，只有惟一的光滑函数 能满足要求，而 就是要寻找的函数关系。该建模方法的特点 先假设其关系属于某一函数类，再寻找应该满足的条件，使之函数类缩小。第二章 建模和实例数据、模型与决策2.3.3 质量损失描述模型加工长度为 的零件，实际的加工尺寸是 ，找一个函数来描述由 引起的损失。第二章 建模和实例数据、模型与决策2.3.3 质量损失描述模型假设要找的函数关系为 ，该函数应满足：当 时，一般地 时的损失是极小值。当 假设是二次连续可导时，得其中 是一个连续函数，且 第二章 建模和实例数据、模型与决策2.3.3 质量损失描述模型在质量工程学中，令 作为质量损失，即取 。应用中可对 作这样的估计，当 时，加工的零件成为报废品，这时估计报废的损失如为 ，则求得第二章 建模和实例数据、模型与决策2.3.3 质量损失描述模型如进一步考虑 与 的不对称性，可用 来描述质量损失，用误差上、下限的损失分别估计。第二章 建模和实例数据、模型与决策2.3.4 物价指数的困难产产品品单单位位产产量量价格（元）价格（元）报告期 基期 报告期 基期 1Kg600 4000.20 0.25150 100 1202件600 5000.36 0.40240 200 2163m180 2000.60 0.5090 100 108合计480 400 444 某企业三种产品平均日产量与价格的资料如表所示第二章 建模和实例数据、模型与决策2.3.4 物价指数的困难产量综合指数 即 反映了用基期价格计算的报告期产值与基期产值之比价格综合指数即 反映了用报告期产量衡量的报告期产值与基期产值之比第二章 建模和实例数据、模型与决策以物价指数为例来考虑指数的合理性问题假如只考虑一种商品的涨价幅度都一样，这是不必讨论的。不妨设有 种商品 （），用 表示第 种商品报告期的价格，为第 种商品基期的价格。第二章 建模和实例数据、模型与决策如果认为各商品的重要性一样，则：如果考虑商品的重要性不同，则可用：第二章 建模和实例数据、模型与决策对上式考虑不同的权重，如令：得而令 （按基期消费量加权）则得第二章 建模和实例数据、模型与决策更广泛的加权指数形式可描述为：为了方便描述，令：则第二章 建模和实例数据、模型与决策作为基本要求，假设 是连续函数，它满足的条件或公理如下：单调性，指数是价格的单调上升函数，即当 时：不变性，若 ，则指数不变，即齐次性，若每种商品价格升幅相同，则指数也得为相同升幅，即：平均性，指数介于各个价格 的增幅之间，即独立性，指数与计量单位及基年无关，即对：I(p0,kp,)=kl(p0,p,)（与货币单位无关）恒久性，指数不应随某种商品淘汰而失去意义，即第二章 建模和实例数据、模型与决策对 ，令：则与基年无关是指指数的变化与基年的选择无关，即第二章 建模和实例数据、模型与决策2.3.5 四角动物的身长估计动物重量用四脚动物的身长估计动物体重时，可将四脚动物的躯干简化为质量为 m的圆柱体，长度为 l，断面面积为s，直径为d.第二章 建模和实例数据、模型与决策把圆形躯干看作是一根支撑在四肢上的弹性梁，动物在体重 作用下的最大下垂量为，根据力学理论有：（体积）得若把 也作为自变量，与长度l 一起作为估计重量的变量则有第二章 建模和实例数据、模型与决策第二章 建模和实例2.1 模型概论2.2 建立数学模型的一般过程2.3 若干初等模型2.4若干博弈模型第二章 建模和实例数据、模型与决策2.4若干博弈模型2.4.1 共有地悲剧2.4.2 合作效益分配模式2.4.3“囚徒困境”模型2.4.4 拍卖模型第二章 建模和实例数据、模型与决策2.4.1 共有地悲剧设 n个农民拥有一片草地，每个农民都有在草地上放牧的自由。每年春天，每个农民决定自己养羊的数量，用 表示第 i个农民的饲养量，则 表示了总饲养量；v 代表到冬天时一头羊的价值，显然 的函数。第二章 建模和实例数据、模型与决策2.4.2合作效益分配模式三个沿河城1、2、3，其位置如下图所示，现要求这三城市的污水经处理后才能向河道排放，是否有比各城市单独建污水处理厂更好的办法呢？第二章 建模和实例数据、模型与决策2.4.3“囚徒困境”模型有两个对策者，他们可以有两种选择，即合作与背叛，用表表示对策效益，前一数字表示A的收益，后一数字表示B的收益，如A选合作，B选背叛，则A得0，B得5。A B合作合作背叛背叛合作3，30，5背叛5，01，1第二章 建模和实例数据、模型与决策纳什均衡：纳什均衡是这样一种局面，谁想单独打破这一局面都将付出代价。第二章 建模和实例数据、模型与决策2.4.4 拍卖模型一级密封价格拍卖的规则是，投标人将自己的出价写好后装入信封并密封，交给拍卖人。拍卖人收齐投标人的出价信封后打开信封，拍卖品由出价最高者得到并按他自己的出价支付价格，其他投标人不得也不失。当然从理论上的完美性考虑，再补充规定若 个投标人投出相同的最高价，则在出最高价的 个人之间等概率分配。这里讨论的问题是投标人该如何出价。第二章 建模和实例数据、模型与决策