第六章 空间统计分析.ppt

第六章第六章 空间统计分析空间统计分析6.1 属性数据统计分析6.2 回归分析6.3 GIS数据内插方法6.4 景观格局分析6.1 6.1 属性数据统计分析属性数据统计分析1 属性数据的集中特征数（1）频数和频率 将变量xi（i1，n）按照大小顺序排列，并按一定的间距分组，变量在各组出现或发生的次数称为频数；各组频数与总频数之比叫做频率。计算出各组的频率后，可以作出频率分布图，若以纵轴表示频率，横轴表示分组，就可以作出频率直方图，用以表示事件发生的频率和分布状况。分组编号分组编号 数值数值 频数频数 频率频率 1（13）1,1,2,3,3,3 6 0.24 2（46）4,5,5,6 4 0.16 3（79）7,8,8,8,9 5 0.204（1012）10,10,11,12 4 0.165（1315）13,13,14,14,15,15 6 0.24频率分布表频率直方图（2）平均数 平均数反映了数据取值的集中位置。对于数据Xi（i1，2，n），通常有简单算术平均数、加权算术平均数、调和平均数和集合平均数。简单算术平均数：将所有数据的数值相加，再除以数据的总数目，公式为 加权算术平均数：当数据对数据总体的影响的权重值不同时，计算该平均数，将每个数据乘以权值后再相加，所得到的和除以数据的总体权重数，计算公式为 调和平均数：各个数据的倒数的算术平均数的倒数，又称为倒数平均数，调和平均数也分简单调和平均数和加权调和平均数，其公式分别为 几何平均数：是n个数据连乘的积开n次方根，计算公式为（3）数学期望 以概率为权值的加权平均数称为数学期望，其计算公式为其中，Pi为事件发生的概率。（4）中位数 对于有序排列的数据集X，位于中间位置的数据即为中位数。中位数可以代替算术平均数反映某种现象变化的一般水平，不受极端值的影响。在有极大值和极小值的有序数据集中，当数据的个数n为奇数时，(n+1)/2位数为中位数；n为偶数时，n/2和(n/2)+1位的两个数的平均值即为中位数。（5）众数 众数是一个数据集或一组变量中出现次数最多的数据或变量。众数可能不唯一，也不受极端值的影响，在总体数据数目或变量数目较多的情况下，它反映数据或变量分布的集中趋势。2 属性数据的离散特征数（1）极差 极差是一组数据中最大值与最小值之差，即RMaxx1,x2,xnMinx1,x2,xn 根据定义，一个数据集的离差和恒等于0。若将离差取绝对值后求和，再取平均值，得到平均离差:（2）离差、平均离差与离差平方和 一组数据中的各数据值与其平均数之差称为离差，即:离差平方和：平均离差和和离差平方和是表示各数值相对于平均数得离散程度的重要统计量。（3）方差与标准差 方差是均方差的简称，是以离差平方和除以变量个数求得的，记为s2，即：（4）变差系数 变差系数用来衡量数据相对变化的程度：标准差是方差的平方根，记为3 属性数据的图表分析（1）直方图 根据属性数据的某一属性特征值的分布区间将其标识在二维坐标系中，一个坐标轴代表了属性特征值的值域，另外一个坐标轴代表了对应每一属性特征值的数目。直方图可以很好地反映属性数据的分布趋势。（2）散点图 散点图一般是在二维平面上表示。以属性数据的两个属性特征值作为坐标轴，将属性数据标识在二维坐标系中，形成二维空间中的一些离散点。通过判断这些离散点的相互关系，进而确定两种属性的相互关系及其相关性。（3）折线图 以属性数据的两个属性特征值作为坐标轴，将属性数据标识在二维坐标系中，然后沿着一个坐标轴的方向，将这些属性数据连线，构成折线图，反映了一种属性随着另外一种属性持续变化的发展动态及变化趋势。（4）柱状图 柱状图是用长方形的条柱表示属性数据，而条柱的长度则表示为某一属性的大小，可以用条柱的颜色和文理来表示不同的属性特征。有水平条柱图和竖直条柱图之分。（5）饼状图 在表示属性数据的某些特征时，一个饼状图分为若干扇形，每个扇形代表了一个属性数据，该扇形的面积或者弧长则表示该属性数据的一个属性特征在众多属性数据中所占的比重。属性数据越多，用饼状图表示的效果越差。4 属性数据的综合评价（1）主成分法 在处理实际问题时，多个变量之间经常存在一定的相关性，为了降低分析时间和分析难度，提高分析效率，希望能够用较少的几个变量来代替原有的多个变量，且要求这较少的几个变量能够尽可能反映原有的多个变量的信息，主成分法就是这样一种降维方法。基本原理 主成分分析是把多个变量划分为少数几个综合指标的一种统计分析方法，从数学角度看，是一种降维处理技术。假定有n个地理样本，每个样本都有p个变量，则构成一个np矩阵：x11 x12 x1px21 x22 x2p xn1 xn2 xnpX=记原来的变量指标为 x1，x2，xp，新变量指标为z1，z2，zm(mp)，则 当p较大时，如果在p维空间中考察问题，问题比较复杂，需要进行降维。z1 a11x1a12x2a1pxp z2 a21x1a22x2a2pxp zm am1x1am2x2ampxn 系数aij确定原则：（i）zi和zj相互无关；（ii）z1是x1，xp的一切线性组合中方差最大者；z2是与z1不相关的x1，xp的所有线性组合中方差最大者；zm是与z1，xm-1不相关的x1，xp的所有线性组合中方差最大者。这样确定的新变量z1，z2，zm(mp)分别称为原变量x1，x2，xp的第1、第2、第m主成分。其中z1在总方差中占的比例最大，z2，zm 方差依次递减。找主成分就是确定原来变量xj在诸主成分zi上的荷载aij，他们分别是x1，x2，xp的相关矩阵的m个较大的特征值所对应的特征向量。计算步骤（i）计算相关系数矩阵r11 r12 r1pr21 r22 r2p rp1 rn2 rppR=公式（1）（ii）计算特征值与特征向量 解特征方程I-R=0 求出特征值i（i=1，p），并使其按照大小顺序排列，即12p0，然后分别求出对应于特征值i的特征向量ei（i=1，p）。（iii）计算主成分贡献率及累计贡献率 主成分zi的贡献率为：累计贡献率为：（i=1，p）一般取累计贡献率85%95%的特征值1，2，m所对应的第1，第2，第m个主成分。（iv）计算主成分载荷 应用实例样本序号人口密度人均耕地面积森林覆盖率农民人均收入人均粮食产量经济作物比例耕地面积比例果园与林地比例灌溉田面积比例1363.90.35216.1019229526.7418.492.23126.262141.51.68424.30175245232.3114.461.45527.063100.61.06765.60118127018.260.1627.47212.484143.71.33633.20143635417.4811.801.89217.5320117.61.24554.5080517518.105.7890.0488.461（i）计算相关系数矩阵 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x1 1.000 -0.327 -0.714 -0.336 0.309 0.408 0.709 0.156 0.744 x2 -0.327 1.000 -0.035 0.644 0.420 0.255 0.009 -0.078 0.094 x3 -0.714 -0.035 1.000 0.070 -0.740 -0.755 -0.930 -0.109 -0.924 x4 -0.336 0.644 0.070 1.000 0.383 0.069 -0.046 -0.031 0.073 x5 0.309 0.420 -0.740 0.383 1.000 0.734 0.672 0.098 0.747 x6 0.408 0.255 -0.755 0.069 0.734 1.000 0.658 0.222 0.707 x7 0.709 0.009 -0.930 -0.046 0.672 0.658 1.000 -0.030 0.890 x8 0.156 -0.078 -0.109 -0.031 0.098 0.222 -0.030 1.000 0.290 x9 0.744 0.094 -0.924 0.073 0.747 0.707 0.890 0.290 1.000 （ii）由相关系数矩阵计算特征值，以及各个主成分的贡献率与累计贡献率。主成分 特征值 贡献率（%）累积贡献率（%）z1 4.661 51.791 51.791 z2 2.089 23.216 75.007 z3 1.043 11.589 86.596 z4 0.507 5.638 92.234 z5 0.315 3.502 95.736 z6 0.193 2.140 97.876 z7 0.114 1.271 99.147 z8 0.045 0.504 99.650 z9 0.031 0.350 100.00 根据上表中的数据，第一、第二、第三主成分的累积贡献率已经达到了86.596%，因此只需要求出这三个主成分z1、z2、z3即可。（iii）对于特征值1=4.661，2=2.089，3=1.043分别求出其特征向量e1、e2、e3，再计算出各变量x1，x2，x9在主成分z1、z2、z3上的载荷。z1 z2 z3 占方差的百分数（%）x1 0.739 -0.532 -0.006 82.918 x2 0.123 0.887 -0.002 80.191 x3 -0.964 0.009 0.009 92.948 x4 0.004 0.868 0.003 75.346 x5 0.813 0.444 -0.001 85.811 x6 0.819 0.179 0.125 71.843 x7 0.933 -0.133 -0.251 95.118 x8 0.197 -0.100 0.970 98.971 x9 0.964 -0.002 0.009 92.939 从表中可以看出：第一主成分z1与x1（人口密度），x5（人均粮食产量），x6（经济作物比例），x7（耕地比例），x9（灌溉田比例）呈现出较强的正相关，与x3呈现出较强的负相关，这几个变量综合反映了生态经济结构状态，因此可以认为z1是生态经济结构的代表。第二主成分z2与x2（人均耕地面积），x4（人均收入），x5（人均粮食产量）呈现出较强的正相关，与x1呈现出较强的负相关，除了x1，x2，x4，x5这几个变量都反映了人均资源占有量的情况，因此可以认为z2代表了人均资源量。第三主成分z3与x8（果园面积比例呈现的正相关程度最高，其次是x6（经济作物比例），而与x7（耕地比例）呈负相关，因此可以认为第三主成分在一定程度上代表了农业经济结构。表中最后一列（占方差的百分数）在一定程度上反映了三个主成分z1、z2、z3包含原变量的信息量多少。显然，用这三个主成分代替原来的9个变量，可以使问题简化。在实际应用中，一般只选择前几个主成分进行应用，因为前几个主成分的方差占总方差的95%以上。这样既降低了原始数据的数据量，又降低了原始数据的相关性，简化了处理问题的复杂性。例如，遥感TM多光谱图像具有七个波段，其中1、2、3均为可见光波段，彼此之间高度相关，波段4、5、6、7为红外线波段，也具有较高的相关性，对TM数据进行主成分分析，可以将原来相关的多个波段转换为较少的几个彼此不相关的主成分波段。（2）层次分析法 层次分析法由美国运筹学家Satty于20世纪70年代提出，该方法能够对一些模糊的和复杂的决策问题进行求解。层次分析法能将复杂的地理问题系统化、模型化，通过定性描述与定量分析相结合来解决多决策的地理问题。当人们面对一个由相互制约、相互关联的多因素构成的复杂的、缺少辅助信息和定量数据的决策问题时，可以使用层次分析法。层次分析法可以系统化、层次化地将一个复杂的决策问题分解为若干组成因素，并根据各个组成要素与决策目的、备选方案之间的支配关系形成层次结构，然后应用两两比较的方法来确定各个备选方法的相对重要性，将人的主观判断用定量化的形式表达出来并进行科学处理，进而得到决策问题的最终解。排序原理是层次分析法的基本原理。层次分析法形式简单，对复杂问题构建层次模型十分方便，容易被人理解和接受，应用较广。对复杂问题构建层次模型一般分为6个步骤：（1）分析问题，明确问题的实现目标、组成因素、影响因子（权重）和备选方案。（2）建立层次结构，层次结构由三层构成，最上层是目标层，将研究问题最终要得到的结论（目的）放入该层；中间层是准则层，将解决问题所需要的各个组成因素和与之对应的影响因子（权重）放入该层；最底层是决策层，将备选方案放入该层。目标层准则层决策层目标准则1准则2准则3准则n决策1决策2决策3决策n层次分析法的结构 （3）构建关联，将准则层的准则与决策层的备选方案之间建立关联，确定每一条备选方案受到哪些准则的影响。（4）建立判断矩阵，判断准则层和决策层中的各个元素与本层中的其他元素之间的相对重要性。（5）层次排序，分为层次单排序和层次总排序两种类型，层次单排序是指对于上一层中的每个元素，确定本层中与之有关联的多个元素之间的重要性，并进行排序，得到重要性权重。层次总排序是指当完成上一层中每个元素的单排序后，可以根据所有元素的重要性权重对本层中所有元素进行排序。（6）一致性检验 为了评价层次排序结果的一致性，需要进行一致性检验，检验公式为 如果一致性检验满足一定的条件，其结果即为当前的最优结果。提拔一位干部担任领导工作健健康康状状况况业业务务水水平平写写作作水水平平口口才才政政策策水水平平工工作作作作风风甲甲乙乙丙丙w w1 1w w2 2w w3 3w w4 4w w5 5w w6 6目标目标方案层准则6.2 回归分析 回归分析主要是探讨两个或两个以上变量之间关系的一种数据分析方法。变量之间的关系可以分为两类：函数关系，也称确定性关系，变量之间的关系可以用一个函数关系式精确表示，如长方形面积与周长的函数关系y=ab。统计关系，也称为随机关系，是指多变量之间具有一定的关联性，但是不能用确定的函数关系式精确表示，即不能根据自变量完全确定因变量的值，如人的身高和体重之间的关系。回归分析是指对具有相关统计关系的多个变量，根据其关系形态，选择一个合适的数学模型，用来近似地表示多个变量之间的平均变化关系的一种统计分析方法。该数学模型用函数关系式表示为 Y=f(x1,x2,xn)该方程称为回归方程。根据回归模型中变量的个数、回归曲线的形态和回归变量的特征分为一元线性回归、多元线性回归、非线性回归、趋势面分析和空间回归等。1 一元线性回归分析（1）一元线性回归分析 设因变量y与自变量x具有统计关系，现在获得n组独立的观测数据（xi,yi），其中i=1,2,n，则一元线性回归分析模型的最通常的形式为：Yi=xii，i=1,2,n，其中误差项i相互独立，服从同一分布N(0,2)。因此一元线性回归模型可以表示为：其中，和称为模型的回归参数或回归系数。一元线性模型有两个部分：x的线性函数加上误差项，线性部分反映了由于x的变化而引起的Y的变化，误差项i反映了随机因素对Y的影响。（2）总体回归方程和样本回归方程 总体回归直线为E(Y)=X，方程的图示是一条直线，其中是回归直线在y轴上的截距，是直线的斜率，表示当x每变动一个坐标轴单位时，y的平均变动值。样本回归直线为E(Y)=X总体回归方程t=1，n，是估计值，和 是的估计值。样本的回归模型为 其中et是残差，即样本估计值与样本实际值的差。（3）一元线性回归模型的回归参数估计 回归参数估计的基本思想是：根据大量已知样本值来确定回归方程时，总是希望y的估计值从整体来看尽可能接近其实际观测值，即残差e的总量越小越好。残差e的取值有正值也有负值，其代数和可能为零，因此采用残差平方和来衡量总体偏差的大小。对回归系数使用最小二乘法进行估计，设 将Q对 和 求偏导，并令其等于零，整理得 解此方程组可得2 多元线性回归分析（1）多元线性回归模型 设因变量Y与自变量X1，X2，Xn之间共有n组观测数据，且假定因变量与自变量之间存在线性关系，则其数学模型为Y01X12X2mXm 多元回归模型除了满足一元回归模型的基本假定外，还要求多个自变量之间不能有较强的线性关系。多元回归模型的矩阵表示形式为：YX（2）多元线性回归模型的参数估计 设m元线性回归方程为yb0+b1x1+b2x2+bmxm 其中b0，b1，b2，bm为最小二乘估计值。Q为关于b0，b1，b2，bm的m+1元函数。根据多元函数求极值的方法，得到回归系数 其中cij是系数矩阵A的逆矩阵的元素。3 非线性回归分析（1）非线性回归分析常用的函数 抛物线函数：Y=a+bX+cX2 双曲线函数：Y=a+b(1/X)幂函数：Y=aX1b1X2b2Xkbk 指数函数：Y=abX 对数函数：Y=a+blnX S型曲线函数：Y=L/(1+ae-bx)(L,a,b0)多项式函数：Y=b0+b1X+b2X2+bkXk（2）非线性回归模型的估计 非线性回归模型的参数估计，可将非线性函数通过改变因变量表达形式，将其转换为线性回归模型，从而求得回归参数。常用的变换有以下几种。倒数变换：对于双曲线方程Y=a+b(1/X)，设X*=1/X，则双曲线方程可以变换为一元线性方程Y=a+bX*半对数变换 对于对数函数Y=a+blnX，设X*=lnX，则对数函数变换为函数Y=a+bX*双对数变换 对于幂函数Y=aX1b1X2b2Xkbk，对两边求对数得到lnY=lna+b1lnX1+b2lnX2+bklnXk 设Y*=lnY,b0=lna,X1*=lnX1,Xk*=lnXk 则幂函数可以转化为多元线性模型 Y*=b0+b1X1*+b2X2*+,+bkXk*多项式变换 对于多项式函数Y=b0+b1X+b2X2+bkXk 设X1*=X,X2*=X2,Xk*=Xk，则方程变换为Y=b0+b1X1*+b2X2*+,+bkXk*4 趋势面分析 趋势面分析是利用数学曲面模拟现实世界地理要素在空间上的分布及变化趋势的一种方法，是一种线性多元多重统计分析方法。趋势面分析实质上是通过回归分析原理，利用最小二乘法拟合一个曲面函数，模拟地理要素在空间上的分布规律，展示地理要素在地域空间上的变化趋势。（1）趋势面分析模型的建立 趋势面模型包括两个部分，即趋势曲面和随机干扰，所以趋势面的理论模型为：趋势面趋势曲面随机干扰 设z(x,y)表示研究对象的某一种特征值，即某地理要素的实际观测值，f(x,y)表示某一趋势面函数，表示随机干扰误差项，则趋势面分析模型为Zi(x,y)=fi(x,y)+i 趋势面的形状由趋势面函数f(x,y)确定：一次趋势面函数：z=a0+a1x+a2y 二次趋势面函数：z=a0+a1x+a2y+a3x2+a4xy+a5y2 三次趋势面函数：z=a0+a1x+a2y+a3x2+a4xy+a5y2 +a6x3+a7x2y+a8xy2+a9y3 N次趋势面函数：z=a0+a1x+a2y+a3x2+a4xy+a5y2 +,+apyn p=1/2(n+1)(n+2)-1 一般采用的趋势面函数多为二次函数，函数次数过高会导致解的奇异，增加计算复杂度。（2）趋势面模型参数的估计 趋势面分析的核心问题是建立趋势面模型函数，即对趋势面参数的估计。从实际观测值zi、xi、yi(i=1,2,n)出发推算趋势面，确定趋势面函数的系数，采用类似于回归分析中对回归系数估计的方法，使得残差平方和趋于最小 对于二次趋势面函数z=a0+a1x+a2y+a3x2+a4xy+a5y2 可以通过自变量变换将趋势面函数参数估计变换为线性回归问题。令 x1*=x，x2*=y，x3*=x2，x4*=xy，x5*=y2 则原趋势面方程变换为一个多元线性回归方程 z=a0+a1x1*+a2x2*+a3x3*+a4x4*+a5x5*（3）趋势面模型的适度检验 趋势面拟合适度的R2检验 用变量z的总离差平方和中的回归平方和所占的比重表示趋势面模型的拟合程度。总离差平方和等于回归平方和与剩余平方和之和，即 其中SSD为剩余平方和，SSR为回归平方和。SSR越大（或SSD越小），表示趋势面拟合的效果越好。R2SSR/SST1SSD/SST 趋势面拟合适度的显著性F检验 利用变量Z的总离差平方和中剩余平方和与回归平方和的比值，确定变量x,y,z之间的趋势面拟合程度 在显著性水平下，查F分布表得F，若计算得F的值大于临界值F，则认为趋势面方程显著，反之则不然。