第6章 常微分方程数值解法精选文档.ppt

第6章 常微分方程数值解法本讲稿第一页，共七十六页绪论 在工程和科学计算中，所建立的各种常微分方程的初值或边值问题，除很少几类的特殊方程能给出解析解，绝大多数的方程是很难甚至不可能给出解析解的，其主要原因在于积分工具的局限性。因此，人们转向用数值方法去解常微分方程，并获得相当大的成功，讨论和研究常微分方程的数值解法是有重要意义的。本讲稿第二页，共七十六页6.1 初值问题的Euler方法本讲稿第三页，共七十六页初值问题的Euler方法本讲稿第四页，共七十六页初值问题的Euler方法本讲稿第五页，共七十六页初值问题的Euler方法本讲稿第六页，共七十六页初值问题的Euler方法本讲稿第七页，共七十六页初值问题的Euler方法本讲稿第八页，共七十六页初值问题的Euler方法本讲稿第九页，共七十六页初值问题的Euler方法本讲稿第十页，共七十六页初值问题的Euler方法本讲稿第十一页，共七十六页初值问题的Euler方法本讲稿第十二页，共七十六页 xEuler法y改进的Euler法y精确解01.0000001.0000001.0000000.11.0000001.0959091.0954450.21.1918181.1840971.1832160.31.2774381.2662011.2649110.41.3582131.3433601.3416410.51.4351331.4164021.4142140.61.5089661.4859561.4832400.71.5803381.5525141.5491930.81.6497831.6164751.6124520.91.7177791.6781661.6733201.01.7847701.7378671.732051本讲稿第十三页，共七十六页6.1.2 误差概述本讲稿第十四页，共七十六页误差概述本讲稿第十五页，共七十六页误差概述本讲稿第十六页，共七十六页误差概述本讲稿第十七页，共七十六页6.1.3 数值稳定性分析本讲稿第十八页，共七十六页数值稳定性分析n定义6.1.3 若某数值算法的绝对稳定性区域包含h平面上的左半平面Re(h)0，则称该方法是A稳定的。n隐式Euler法是A稳定的。本讲稿第十九页，共七十六页6.2 Runge-Kutta方法本讲稿第二十页，共七十六页Runge-Kutta方法本讲稿第二十一页，共七十六页Runge-Kutta方法本讲稿第二十二页，共七十六页 本讲稿第二十三页，共七十六页Runge-Kutta方法本讲稿第二十四页，共七十六页 本讲稿第二十五页，共七十六页6.2.2 四阶Runge-Kutta方法本讲稿第二十六页，共七十六页四阶Runge-Kutta方法本讲稿第二十七页，共七十六页6.2.3 R-K法的稳定性本讲稿第二十八页，共七十六页R-K法的稳定性本讲稿第二十九页，共七十六页R-K法的稳定性本讲稿第三十页，共七十六页6.2.5 隐式R-K法本讲稿第三十一页，共七十六页隐式R-K法本讲稿第三十二页，共七十六页隐式R-K法本讲稿第三十三页，共七十六页隐式R-K法本讲稿第三十四页，共七十六页隐式R-K法本讲稿第三十五页，共七十六页6.3 线形多步法n单步法主要依据yn的信息去计算yn+1。线性多步法是想依据yn，yn-1，yn-r(r1)的信息去计算yn+1。n考虑到线性组合较为方便，因此，线性多步法一般形式可设为 本讲稿第三十六页，共七十六页6.3.1 基于数值积分的方法本讲稿第三十七页，共七十六页基于数值积分的方法本讲稿第三十八页，共七十六页本讲稿第三十九页，共七十六页基于数值积分的方法本讲稿第四十页，共七十六页基于数值积分的方法本讲稿第四十一页，共七十六页基于数值积分的方法本讲稿第四十二页，共七十六页基于数值积分的方法nAdams预估校正法n预估 n校正n并取 本讲稿第四十三页，共七十六页6.3.2 基于Taylar展开式的方法本讲稿第四十四页，共七十六页 本讲稿第四十五页，共七十六页基于Taylar展开式的方法本讲稿第四十六页，共七十六页基于Taylar展开式的方法本讲稿第四十七页，共七十六页 本讲稿第四十八页，共七十六页 本讲稿第四十九页，共七十六页 本讲稿第五十页，共七十六页 本讲稿第五十一页，共七十六页6.4 一阶常微分方程组数值解法n在许多实际问题中，常常出现高阶微分方程和高阶微分方程组，通过引入新的变量，总可化为一阶微分方程组。n由此可知，讨论一阶常微分方程组的数值解法是很有意义的。本讲稿第五十二页，共七十六页6.4.1 解一阶常微分方程组的R-K方法本讲稿第五十三页，共七十六页一阶常微分方程组的R-K方法本讲稿第五十四页，共七十六页本讲稿第五十五页，共七十六页一阶常微分方程组的R-K方法本讲稿第五十六页，共七十六页一阶常微分方程组的R-K方法本讲稿第五十七页，共七十六页一阶常微分方程组的R-K方法本讲稿第五十八页，共七十六页本讲稿第五十九页，共七十六页本讲稿第六十页，共七十六页一阶常微分方程组的R-K算法本讲稿第六十一页，共七十六页本讲稿第六十二页，共七十六页一阶常微分方程组的R-K方法本讲稿第六十三页，共七十六页6.4.2 刚性方程组本讲稿第六十四页，共七十六页刚性方程组本讲稿第六十五页，共七十六页刚性方程组本讲稿第六十六页，共七十六页6.5 常微分方程边值问题的数值解法n设二阶线性常微分方程为n常见边界条件有三类：本讲稿第六十七页，共七十六页6.5.1 差分方程的建立本讲稿第六十八页，共七十六页差分方程的建立本讲稿第六十九页，共七十六页差分方程的建立本讲稿第七十页，共七十六页差分方程的建立本讲稿第七十一页，共七十六页算法本讲稿第七十二页，共七十六页二阶常微分方程边值问题的差分算法本讲稿第七十三页，共七十六页例题n例6.5.1 用差分法求解边值问题本讲稿第七十四页，共七十六页例题本讲稿第七十五页，共七十六页xyy(x)e=y(x)-y1.00.50.501.10.727985690.72637532-1.610*10-31.21.01403901.0113430-2.696*10-31.31.36782411.3644456-3.378*10-31.73.68962363.6865656-3.058*10-31.84.56353164.5612288-2.303*10-31.95.58542695.5841425-1.284*10-32.06.77258876.77258870本讲稿第七十六页，共七十六页